2019-2020學(xué)年福建省泉州市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、2019-2020 學(xué)年福建省泉州市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題r r r r1已知向量 a 1, 2,3 ,b x，2，3 若 ar /br ，則 x （ ）A -1B 0C1D 2【答案】 C【解析】 根據(jù)空間向量平行的等價條件，列出方程，即可求得本題答案 .【詳解】r r 1 2 3 因為 a/b ，根據(jù)空間向量平行的等價條件，有，得 x 1.x 2 3故選： C【點睛】 本題主要考查空間向量平行的等價條件，屬于基礎(chǔ)題 .2在等差數(shù)列 an 中，若 a3 a7 10，a6 7 ，則公差 d （ ）A 1B 2C3D 4【答案】 B【解析】 把a3,a6,a7用a1,d 表示出來，根據(jù)

2、題目條件列出方程組，即可求得本題答案【詳解】a1 2d a1 6d 10 在等差數(shù)列 an 中，因為 a3 a7 10, a6 7 ，所以 1 1 ，求得a1 5d 7a1 3 d 2 .故選： B【點睛】 本題主要考查等差數(shù)列通項公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題 .3過點 M 2， 3 且與直線 x 2y 90平行的直線方程是（)D x 2y 1 0A 2xy8 0B x 2y 70 C x 2y 40【答案】C【解析】設(shè)所求的直線方程為 x 2ym 0 ，代入點 M （2,3)，即可求得本題答案 .詳解】因為所求直線方程與直線 x 2y 9 0 平行，所以可設(shè)為 x 2y m 0 ，又因為經(jīng)過 點

3、M (2, 3) ，代入可得 m 4 ，則所求直線方程為 x 2y 4 0. 故選： C【點睛】 本題主要考查直線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題 .4已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an 單調(diào)遞增， 且 a1 a336， a1 a2 a3 26，則第 7 頁 共 18 頁a4 (A 24B 36C48D 54【答案】 D【解析】 由 a1 a3 36可求得 a2的值，然后通過解方程組求得 a1, a3的值，進而可得到 本題的答案 .【詳解】因為 a1 a3 36 ，且 an 為各項是正數(shù)的等比數(shù)列，得 a26，所以a1a1a3 3620，a3a1由于 an 為遞增的等比數(shù)列，可得 1a3218，根據(jù) a1

4、a4a2 a3 ，得a454.故選： D點睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題x25若雙曲線 C:42by2 1經(jīng)過點6，4 ，則 C的漸近線方程是(答案】解析】詳解】2 2xB y 2xD代入點 ( 6, 4) ，可求得雙曲線的標(biāo)準方程，進而可得本題的答案2把點( 6,4)代入 x4 by2 1，可得 b2 32 ，所以雙曲線的標(biāo)準方程為2 y2 1 ， 3222令 x y 0 ，可求得雙曲線的漸近線方程為4 32y 2 2x.故選： A【點睛】本題主要考查雙曲線的漸近線方程的考法，屬于基礎(chǔ)題6記 Sn 為數(shù)列 an 的前 n 項和若點 an,Sn ，在直線 xy 6 0上，則 S4(

5、)9254540ABCD2489【答案】CS1,n 1【解析】由題可得，an Sn 60 ，根據(jù) an，可求得 an為等比SnSn 1,n2n數(shù)列，進而可求得本題答案 .【詳解】因為點 an,Sn 在直線 x y 6 0上，所以 an Sn 6 0 . 當(dāng) n 1 時， a1 S1 6 0 ，得 a1 3 ；當(dāng) n 2 時，an Sn 60 ， an 1Sn 160 ， -得，an 1 ， an 1 2 ，所以數(shù)列 an為等比數(shù)列，且公比 q12，首項a1 3 ，則 S4a1 11q112458故選：點睛】 本題主要考查根據(jù) an , Sn的關(guān)系式求通項公式 an 的方法.7已知正四棱錐的底面

6、邊長為 2 ，高為 3 ，則此四棱錐的側(cè)棱與底面所成角的大小為()A 30 °B 45°C60°D75【答案】C【解析】求出PAO 的大小，即可得到本題的答案 .【詳解】在正四棱錐 P ABCD 中，連接 AC，BD 交于點 O，再連接 PO，因為 P ABCD 是 正四棱錐，所以 PO 與底面 ABCD 垂直，則 PAO為側(cè)棱與底面所成角，由題有，AB 2 ， PO 3 ，因為 ABCD 為正方形，所以 AO 1 ，在 Rt AOP 中，POtan PAO 3 ，解得， PAO 60 .AO故選： C【點睛】 本題主要考查直線與平面所成角的求法，屬基礎(chǔ)題 .8若

7、拋物線 x2 8y上一點 P x0，y0 到焦點的距離是該點到 x軸距離的 2倍，則 y0 （）1A B 2C1D 22【答案】 D【解析】 利用拋物線 x2 2py 上的點 x0,y0 到焦點的距離為 y0 2p ，列出方程，可 求得本題答案 .【詳解】因為 P x0,y0 到焦點的距離 d y0 2 ，則 y0 2 2y0，解得 y0 2 故選： D【點睛】 本題主要考查利用拋物線的定義求拋物線上的點的坐標(biāo)，屬基礎(chǔ)題 .9已知圓 C 與直線 x y 0及 x y 2 0 均相交，若四個交點圍成的四邊形價為正 方形，則 C 的半徑為（ ）A 3B 2C2D 1【答案】 D【解析】 正方形的對

8、角線即圓的直徑，求出對角線的長即可得到本題答案 .詳解】 因為直線 x y 0與直線 x y 2 0 互相平行，20所以兩直線之間的距離 d 2 ，12 12由題意，圓 C 與兩直線相交，四個交點圍成的四邊形為正方形， 則兩平行線之間的距離即為正方形的邊長，正方形的對角線即圓的直徑222設(shè)圓的半徑為 r ，有 2r 2 2 2 ，解得 r 1 ， 故選： D【點睛】 本題考查直線與圓的綜合應(yīng)用問題，屬于中檔題10 圓錐曲線與空間幾何體具有深刻而廣泛的聯(lián)系，如圖所示，底面半徑為1，高為 3是以 F 為一個的圓柱內(nèi)放有一個半徑為 1 的球，球與圓柱下底而相切， 作不與圓柱底面平行的平面 與球相切于

9、點 F ，若平面 與圓柱側(cè)面相交所得曲線為封閉曲線焦點的橢圓，則 的離心率的取值范圍是（ ）3344A ，1B 0，C 0，D ，15555【答案】 B【解析】 考慮 與底面趨于平行和 與底面的夾角最大兩種情況，即可確定離心率的取值范圍 .【詳解】當(dāng) 與底面趨于平行時，幾乎成為一個圓，因此離心率可以充分接近0當(dāng) 與底面的夾角最大時，的離心率達到最大，下面求解這一最大值如圖， A, B為長軸， F 為焦點時， e最大 a c BF BG 2，易知 b 1，所以5 a430,5， e 則離心率的取值范圍是 35 c4本題主要考查圓錐曲線與空間幾何的綜合應(yīng)用問題，難度稍大 二、多選題11記 Sn為等

10、差數(shù)列 an 的前 n 項和若 a1 3a5 S7 ，則以下結(jié)論一定正確的是（）A a4 0B Sn的最大值為 S3C S1 S6D a3 a5【答案】 AC【解析】 由 a1 3a5 S7，可得 a4 0 ，進而逐項判斷，可得本題答案 .【詳解】設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d ，則 a13a14d7a121d ，解得a13d ，所以 an a1 n 1 d n 4 d ，所以 a4 0 ，故 A 正確；因為 S6 S1 5a4 0 ，所以 S1 S6 ，故 C 正確；由于 d 的正負不清楚，故 S3 可能為最大值或最小值，故 B 不正確；因為 a3 a5 2a4 0 ，所以 a3a5 ，即 a3

11、 a5 ，故 D 不正確故選： AC【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的綜合應(yīng)用問題，屬中檔題 .12如圖，正三棱柱 ABC A1B1C中， BC1 AB1、點 D為 AC中點，點 E為四邊形BCC1B1內(nèi)（包含邊界）的動點則以下結(jié)論正確的是（uuur 1 uuur uuur uuurA DAA1A B1A BC2 1 12 B若 DE /平面 ABB1A1 ，則動點 E的軌跡的長度等于2 AC2C異面直線 AD與 BC1，所成角的余弦值為D若點 E到平面 ACC1 A1 的距離等于3 EB ，則動點2E的軌跡為拋物線的一部分答案】 BCD解析】 根據(jù)空間向量的加減法運算以及通過建立空間直角坐標(biāo)系求

12、解，逐項判斷，進 而可得到本題答案 【詳解】uuur 1 uuur uuur uuur解析：對于選項 A， ADA1A B1A BC ，選項 A 錯誤；2 1 1對于選項 B，過點 D作AA1的平行線交 A1C1于點 D1uuur uuur uuuur以 D 為坐標(biāo)原點， DA,DB,DD1 分別為 x, y, z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系 Oxyz 設(shè)棱柱底面邊長為a，側(cè)棱長為 b，則A a2,0,0，B0,a,0B10, 3 a,b22 AC 選項 B 正確2auuuura,3uuura,3C1,0, b，所以 BC1a, b ，AB1a,b22222uuuur uuurBC1 AB1，

13、 BC1 AB10，即a23a 2 b2 0，a b 0 ，解得b2a222因為 DE/ 平面 ABB1 A1 ，則動點 E的軌跡的長度等于 BB1對于選項 C，在選項 A 的基礎(chǔ)上，A a2,0,0 ，B 0, 23a,0 ，D 0,0,0a 2 uuur a uuuur C1,0, a ，所以 DA ,0,0 ， BC11 2 2 2 12 uuuuruuurauuuur uuurBC1DA2因為 cosBC1, DAuuuur1uuur1| BC1 | DA | a 6a角的余弦值為 6 ，選項 C 正確6a,- 3 , 2 ， ,- a, a ，2 2 26 ，所以異面直線6BC1,D

14、A所成對于選項 D，設(shè)點 E在底面 ABC 的射影為 E1，作E1F垂直于 AC ，垂足為 F，若點 E到平面 ACC1A1的距離等于 3 EB ，即有 E1F3 EB ，又因為在 CE1F 中，22E1F3 E1C ，得 EB2E1C ，其中 E1C 等于點 E 到直線 CC1的距離， 故點 E 滿足第 16 頁 共 18 頁拋物線的定義，另外點 E為四邊形 BCC1B1內(nèi)（包含邊界）的動點，所以動點 E 的軌跡 為拋物線的一部分 ,故 D 正確 .故選： BCD點睛】 本題主要考查立體幾何與空間向量的綜合應(yīng)用問題，其中涉及到拋物線定義的應(yīng)用三、填空題213拋物線 x24y 的焦點坐標(biāo)是 ，

15、準線方程是 答案】 0， 1y 1解析】 根據(jù)拋物線 x22py 的焦點坐標(biāo)為0, p ，準線方程為 y p ，可得本22詳解】因為拋物線的標(biāo)準方程為 x24y，得 p 2 ，所以其焦點左邊為 (0, 1) ，準線方程為 y 1.故答案為： 0，1 ； y 1【點睛】 本題主要考查拋物線的焦點坐標(biāo)和準線方程，屬于基礎(chǔ)題 .14記 Sn為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an 的前 n項和若 a1 a2 3，a3 a4 12 ，則公比 q ， S6 【答案】 2 63【解析】 兩個式子相除可求得 q，代入 式可求得 a1 ，最后可得本題答案 .【詳解】因為等比數(shù)列 an 的各項均為正數(shù)， a1 a2 3，a

16、3 a4 12，÷得，q= 2， a1 1 q61 26代入 ，可得 a1 1，所以 S6 1 1 2 63.6 1 q 1 2故答案為： 2； 63【點睛】 本題主要考查等比數(shù)列通項公式與求和公式的綜合應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題 .2215已知圓 C:x2 y 21，則圓心 C到直線 l :3x y 12 0的距離為若P為l上任意一點， 過P作C的切線，則切線長最短時的切線方程為答案】 10 y 3或 3x 4y 3 0【解析】易得圓心為 (0, 2) ，直接利用點到直線的距離公式可得第一空的答案；當(dāng)|PC |取最小值時， 切線長最短， 先求出 PC 的直線方程， 聯(lián)立兩個直線方程確定點 P

17、的坐標(biāo)， 利用圓心到切線的距離等于半徑長，求出切線斜率即可得到第二空的答案 .【詳解】第一空解析：易得圓心為 (0, 2) ，所以圓心 (0,2)到直線 3x y 12 0的距離|232 1212| 10第二空解析： 設(shè)切線長為 L，則LPC2 1 ，所以當(dāng)切線長 L取最小值時， PC 取最小值，過圓心 C 0，2 作直線 l 的垂線，則點 P 為垂足點，此時，直線 PC的方程為 x 3y 6 0 ，3x y 12 0 x 3聯(lián)立 ，得，點 P 的坐標(biāo)為 3，3 x 3y 6 0 y 32 3 3k 3由題意可得 1，解得 k 0或k 3 ，由題意可得k2 1 ，解得 或k 4 ，此時，所求切

18、線的方程為 y 3或3x 4y 3 0 故答案為： 10 ； y 3或 3x 4y 3 0【點睛】本題考查過點的圓的切線方程的求解， 考查圓的切線長相關(guān)問題， 在過點引圓的切線問 題時， 要對直線的斜率是否存在進行分類討論， 另外就是將直線與圓相切轉(zhuǎn)化為圓心到 切線的距離等于半徑長，考查分析問題與解決問題的能力，屬于中等題16 幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召， 開發(fā)了一款面向中學(xué)生的應(yīng)用軟件 為激發(fā)大家 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣， 他們推出了 “解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼 ”的活動。 這款軟件的激活碼為面數(shù)學(xué)題的答案：記集合Akxxak2kk1ak 1 210a1 2 a0 2 ，k N ，ak 1，a0，a

19、1， ， ak 1 0或1例如： A12，3 ， A2 4，5，6，7，若將集合A4的各個元素之和設(shè)為該軟件的激活碼，則該激活碼應(yīng)為 定義 f xAk 現(xiàn)0，x的表達式中 a0， a1，a2， ， ak等于1的個數(shù)為偶數(shù)1，x的表達式中 a0，a1， a2， ， ak 等于1的個數(shù)為奇數(shù)指定 k 5 ，將集合 x f x 1，x Ak 的元素從小到大排列組成數(shù)列cn ，若將cn 的各項之和設(shè)為該軟件的激活碼，則該激活碼應(yīng)為 【答案】 376 760【解析】令 a0a1a2a30 ，可得到A4 的最小元素為16，令 a0a1a2a31 ，Cn 的各項可以看成首位為可得到 A4 的最大元素為 31

20、，進而可得到第一空的答案；結(jié)合二進制表示，當(dāng)k 5時，1的六位二進制數(shù)，求出 a4 1 ，符合條件 f(x) 1的有 8 個數(shù)，同理可得到其他情況的個數(shù)，即可得到本題答案詳解】解析：集合A44n a4 2a33 2 123 a2 22 a1 21a0 20 ，當(dāng) a4 1 ，a0a1a2a3 0 時，n 16 ；當(dāng) a0 a1a2a3a41 時， n31；所以 A416，17，18，31 共有 16 個元素，故激活碼為16 16 31 376 ；結(jié)合二進制表示，當(dāng)5時，Cn 的各項可以看成首位為1 的六位二進制數(shù)，對于 a4 1 ，符合條件 f1的有 8 個數(shù)，同理對于 a3 1 ， a2 1

21、， a11， a0 1 時，符合條件的也分別是 8 個數(shù)，故激活碼為 16 25 8 24 23 22 24 20760故答案為： 376； 760點睛】本題非常巧妙的將實際問題與二進制融合在一起，讀懂題目所表達的具體含義是解決本題的關(guān)鍵 .四、解答題2， a3是a1與 a7的等比中項27？17 已知公差不為零的等差數(shù)列an 滿足 a11）求 an 的通項公式；2）是否存在 n 值，使得 an 的前 n項和 Sn【答案】（ 1） an n 1（ 2）存在【解析】（ 1）由 a1 2 ， a3 是 a1 與 a7 的等比中項，可算得 d，進而可求得 an 的通項公式；（ 2）列出等式求解，即可得

22、到本題答案 .【詳解】解：（ 1）設(shè) an 的公差為 d ，2因為 a3是a1與 a7的等比中項，所以 a32 a1 a72因為 a1 2 ，所以 2 2d 2226d ，解得 d 1 ，所以 an n 1 n 2 n 1nn3 n n 3（ 2）因為 Sn，令 27 ，n222則 n2 3n 54 0 ，解得 n6所以存在 n 為 6，使得 Sn 的值為 27【點睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題，屬基礎(chǔ)題 .18已如圓 C的圓心在直線 y 3上且 C經(jīng)過點 A 4，2 ，D 0，2 （ 1）求 C 的標(biāo)準方程；2）過點 P 1，1的直線 l被 C所截得的弦長為4，求 l 的方程答

23、案】（ 1） x222y 3 52) x1或 3x4y10解析】（1）設(shè)圓的方程為 x a y223 r ，代入點 A 4，2 ,D 0，2 ，求出方程組的解，即可得到本題答案；2）考慮斜率存在和不存在兩種情況，求出滿足題目條件的直線方程詳解】1）設(shè)圓心 C a,3 ，圓 C 方程： x a y 3 r 2 由A 4,2 ,B 0,2 在C上有，224 a 2 32232ra，解得r2522圓 C 的方程為 x 2 y 3 5l 距離為 1，符合題意2）由已知得圓心 C到直線 l距離為 d 5 4 1當(dāng)l斜率存在時，設(shè) l :y 1 k x 1 ，即kx y k 1 0圓心 C到直線 l距離

24、d2k 3 k 1 3 1，解得 k 3 1 k2 4當(dāng) l 斜率不存在時，直線方程為x 1 ，此時圓心到直線3 故 l 方程為 y 1 x 1 ，即 3x 4y 1 0 4綜合 有，所求直線方程為 x 1或3x 4y 1 0【點睛】 本題主要考查圓的標(biāo)準方程以及已知圓的弦長求直線方程的問題，屬基礎(chǔ)題 .3 19已知頂點在坐標(biāo)原點 O，焦點在 x軸上的拋物線 C 過點 ，6 2（ 1）求 C 的標(biāo)準方程；（ 2）若直線 y x 4與C交于 A，B兩點，證明： OA OB【答案】（ 1） y2 4x（ 2）證明見解析2）直線方程與拋物線方程聯(lián)立消【解析】（ 1）把點 3， 6 代入拋物線方程 y

25、2 2 px ，求得 p，即可得到本題答案；y，利用韋達定理，證明 x1x2 y2y2 0 ，即可得到 本題答案 .【詳解】231）解：設(shè)所求拋物線方程為y2 2px ,因為拋物線 C過點 32，6 ，所以 3p 6，解得 p 2 ，故所求拋物線方程為 y2 4x 2）聯(lián)立方程組y2 4x ，消去 x，得 y2 4y 16 0 y x 4設(shè) A x1,y1 ,B x2,y2 ，由方程 得：y1y216，2y1y24x14x2則 x1x222y1 y216uuur uuur16 ，所以 OA OBx1x2 y2 y2 0，所以 OA OB 聯(lián)立直線方程與拋【點睛】本題主要考查拋物線標(biāo)準方程的求法

26、以及直線與拋物線的綜合問題，物線方程，利用韋達定理，逐步化簡求解，是解決此類問題的關(guān)鍵 20 已知數(shù)列 an 滿足 a1 1，nan 1 n 1 an 11）設(shè) bn an ，求數(shù)列 bn 的通項公式； n2）求數(shù)列 2nan 的前 n項和 Sn 答案】（ 1） bn21n2) Sn2n3 2n 1 6解析】1）等式兩邊同除以 nn 1 ，再用累加法， 即可求得數(shù)列 bn 的通項公式；2）先求得 an2n 1，接著用錯位相減的方法求前n 項和 Sn .詳解】1）因為 nan 11，兩邊同除以an 1得 n 1n1an，令 bnann，則 bn 1bn1n1所以 b2b1112，b3b213，

27、b4 b3 3 bnbn1n 1 n，得 bnb11121231341 n1又因為b1a11，所以 bn2）annbn2n 1 ，令Cn2nan2n所以Sn1 213 22 5232n2n2Sn222 323 5 242n2n21 2 Sn 2 2 223+2n2nSn4 1 2n 1所以228 2n 12n 32n2n2n 1 2n 12n2n2n 11 2n2n1，2n，1，2n16，Sn2n 32n 1 6點睛】2第 18 頁 共 18 頁n 項和 .本題主要考查用累加法求數(shù)列的通項公式以及用錯位相減的方法求數(shù)列的前21折紙與數(shù)學(xué)有著千絲萬縷的聯(lián)系， 吸引了人們的廣泛興趣 因 A4紙的長

28、寬比 2:1 稱為白銀分割比例，故 A4紙有一個白銀矩形的美稱現(xiàn)有一張如圖1 所示的 A4紙EFCH ， EF :EH 2:1 A，B，C，D分別為 EF，F(xiàn)G，GH，HE 的中點，將其按折痕 AB，BC，CD，DA，AC 折起（如圖 2），使得 E， F， G， H 四點重合，重合后的點 記為 S ，折得到一個如圖 3所示的三棱錐 D ABC 記O為 AC的中點，在 SOB中， SP為 BO 邊上的高第 24 頁 共 18 頁（ 1）求證： SP/ 平面 ACD ；（ 2）若M ，N分別是棱 AB，BC上的動點，且 AM BN 當(dāng)三棱錐 B DMN 的體 積最大時，求平面 DAB 與平面 D

29、MN 所成銳二面角的余弦值【答案】（ 1）證明見解析2）3510解析】（ 1）通過證明 SP/DO ，可得到 SP/平面 ACD；（ 2）因為 VB DMN VD BMN 且三棱錐 D BMN 的高為定值，所以當(dāng) S BMN 最大時，三 棱錐 B DMN 的體積取得最大值，由此可確定M，N 兩點為 AB，BC 的中點，接著通過建立空間直角坐標(biāo)系求解，可得到本題答案 .【詳解】（1）連接 DO 設(shè) EH 4a，則 EF 4 2a ，翻折后的 BD DE FB 4a在 SAC中， SA SC 2 2a， AC 4a，O為 AC 的中點， SO 2a又在 SOB中， BS 2a,SP BO ， P

30、為 BO 的中點， SP/DO SP 平面 ACD ， DO 平面 ACD ， SP/ 平面 ACD 2)VBDMN VD BMN 且三棱錐 D BMN 的高為定值， S BMN 最大時，三棱錐B DMN 的體積取得最大值設(shè) AM BN x 0 x 2 3a ，所以1S BMN BM BN sin MBN21 x 2 3a x sin MBN22x- 3a 3a2 sinMBN又 sinMBN 為定值， 當(dāng) x3a 時， SVBMN 最大，即三棱錐 BDMN 的體積最大此時 M,N 分別是 AB,BC上的中點，由（ 1）可得 SP DO ， SP BO，DO BO DA DC ， BA BC

31、， DO AC， BO AC uuur uuur uuur以 O為坐標(biāo)原點， OA,OB, OD 分別為 x, y, z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系 Oxyz ， 則A 2a,0,0 ,B 0,2 2a,0 ,C 2a,0,0 ,D 0,0,2 2a ,M a, 2a,0 ，uuuur uuuur uuurN a, 2a,0 ，DMa, 2a, 2 2a ,NM 2a,0,0 ,DA 2a,0, 2 2a ，uuurAB 2a,2 2a,0 ur設(shè)平面 DMN 的一個法向量為 n1 x1,y1,z1 uv nuv1uuuuvDM uuuuv0，ax12ay1 2 2az1 0，n1NM02ax10，ur取 z11，則y1 2，x1 0， 平面 DMN 的一個法向量為n1 0,2,1uur設(shè)平面DAB的一個法向量為n2 x2, y2,z2 uuvn