大學(xué)數(shù)學(xué)(高數(shù)微積分)習(xí)題課(課堂講義)-文檔資料

1、1第四章習(xí)題課2積分法原 函 數(shù)選擇u有效方法基本積分表第一換元法 第二換元法直接積分法分部積分法不 定 積 分幾種特殊類(lèi)型函數(shù)的積分一、主要內(nèi)容31、原函數(shù) 如果在區(qū)間如果在區(qū)間I內(nèi)，可導(dǎo)函數(shù)內(nèi)，可導(dǎo)函數(shù))(xF的導(dǎo)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)為)(xf， 即， 即Ix ， 都 有， 都 有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，那么函數(shù)，那么函數(shù))(xF就稱(chēng)為就稱(chēng)為)(xf或或dxxf)(在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)原函數(shù)內(nèi)原函數(shù).定義原函數(shù)存在定理 如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，那那么么在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)存存在在可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xF，使使Ix ，都都有有)()(xfxF .即：4

2、2、不定積分(1) 定義 在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)，函數(shù)內(nèi)，函數(shù))(xf的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱(chēng)為的原函數(shù)稱(chēng)為)(xf在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)的內(nèi)的不定積分不定積分，記，記為為 dxxf)(CxFdxxf )()(函函數(shù)數(shù))(xf的的原原函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形稱(chēng)稱(chēng)為為)(xf的的積積分分曲曲線線.5 dxxgxf)()(10 dxxgdxxf)()(2) 微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是的. dxxkf)(20 dxxfk)(（k是是常常數(shù)數(shù)，)0 k(3) 不定積分的性質(zhì) )()(xfdxxfdxd dxxfdxxfd)()( CxFdxxF)()( CxFxdF)()(63、基本積分表 kCk

3、xkdx()1(是常數(shù))1(1)2(1 Cxdxx Cxxdxln)3( dxx211)4(Cx arctan dxx211)5(Cx arcsin xdxcos)6(Cx sin xdxsin)7(Cx cos xdxxtansec)10(Cx sec xdxxcotcsc)11(Cx csc dxex)12(Cex xdx2cos)8( xdx2secCx tan xdx2sin)9( xdx2cscCx cot7 dxax)13(Caax ln Cxxdxcoslntan)16( Cxxdxsinlncot)17( Cxxxdx)tanln(secsec)18( Cxxxdx)cotln

4、(csccsc)19(Caxadxxa arctan11)20(22Cxaxaadxxa ln211)22(22Caxdxxa arcsin1)23(22Caxxdxax )ln(1)24(2222Caxaxadxax ln211)21(22Cx sh)14( xdxch xdxCx ch)15(sh85、第一類(lèi)換元法4、直接積分法定定理理 1 設(shè)設(shè))(uf具具有有原原函函數(shù)數(shù)，)(xu 可可導(dǎo)導(dǎo)，則則有有換換元元公公式式 dxxxf)()( )()(xuduuf 第一類(lèi)換元公式（）由定義直接利用基本積分表與積分的性質(zhì)求不定積分的方法.9;)(. 11dxxxfnn ;)(. 2dxxxf;)

5、(ln. 3dxxxf;)1(. 42dxxxf;cos)(sin. 5xdxxf;)(. 6dxaafxx常見(jiàn)類(lèi)型:;sec)(tan. 72xdxxf;1)(arctan. 82dxxxf 106、第二類(lèi)換元法定定理理 設(shè)設(shè))(tx 是是單單調(diào)調(diào)的的、可可導(dǎo)導(dǎo)的的函函數(shù)數(shù)，并并且且0)( t ，又又設(shè)設(shè))()(ttf 具具有有原原函函數(shù)數(shù)，則則有有換換元元公公式式 )()()()(xtdtttfdxxf 其中其中)(x 是是)(tx 的反函數(shù)的反函數(shù).第二類(lèi)換元公式11常用代換:.,)(. 1Rbatx .sin,)(. 222taxxaxf 令令如如三角函數(shù)代換三角函數(shù)代換.,)(. 3

6、22ashtxxaxf 令令如如雙曲函數(shù)代換雙曲函數(shù)代換.1. 4tx 令令倒置代換倒置代換127、分部積分法分部積分公式dxvuuvdxvu duvuvudv 8.選擇u的有效方法:LIATE選擇法L-對(duì)數(shù)函數(shù)；I-反三角函數(shù)；A-代數(shù)函數(shù)；T-三角函數(shù)；E-指數(shù)函數(shù)； 哪個(gè)在前哪個(gè)選作u.139、幾種特殊類(lèi)型函數(shù)的積分（1）有理函數(shù)的積分定義兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱(chēng)之.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(其其中中m、n都都是是非非負(fù)負(fù)整整數(shù)數(shù)；naaa,10及及mbbb,10都都是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)，并并且且00 a，00 b.真分式化為部分分式之和的待

7、定系數(shù)法14四種類(lèi)型分式的不定積分;ln. 1CaxAaxAdx ;)(1()(. 21CaxnAaxAdxnn ;arctanln2. 342422222CqxqNqpxxMdxqpxxNMxpppMp dxqpxxNqpxxdxpxMdxqpxxNMxnMpnn)()()2(2)(. 42222此兩積分都可積,后者有遞推公式15令2tanxu 212sinuux 2211cosuux uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sinduuuuuuR22221211,12 （2） 三角函數(shù)有理式的積分定義 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱(chēng)之一般記為)cos,(

8、sinxxR16（3） 簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分討論類(lèi)型：),(nbaxxR ),(necxbaxxR 解決方法：作代換去掉根號(hào);necxbaxt 令令;nbaxt 令令17二、典型例題例1 dxxx1)23()23(2原式原式解.4932 dxxxxx求求 1)23()23(23ln12xxd 123ln12tdt dttt)1111(23ln21Ctt 11ln)2ln3(ln21.2323ln)2ln3(ln21Cxxxx tx )23(令令18例2解.cos1)sin1( dxxxex求求 dxxxxex2cos2)2cos2sin21(2原式原式 dxxexexx)2tan2cos21(2

9、2tan)2(tan( xxdexxde )2tan(xedx.2tanCxex 19例3解.15)1ln(22 dxxxx求求5)1ln(2 xx,112x 5)1ln(5)1ln(22 xxdxx原式原式.5)1ln(32232Cxx )1221(1122xxxx 20例4解.1122 dxxxx求求,1tx 令令dttttt)1(1)1(111222 原式原式dttt 211 22212)1(11ttddttCtt 21arcsin.1arcsin12Cxxx (倒代換)21例5解.1632 xxxeeedx求求,6tex 令令,ln6tx ,6dttdx dttttt61123 原原式

10、式dtttt )1)(1(622211)1)(1(6tDCttBtAttt 設(shè)設(shè))1()()1()1)(1(622 ttDCttBtttA22解得. 3, 3, 3, 6 DCBAdttttt)133136(2 原式原式Ctttt arctan3)1ln(23)1ln(3ln62.arctan3)1ln(23)1ln(3636Ceeexxxx 23例6解.)1ln(arctan2 dxxxx求求dxxx)1ln(2 )1()1ln(2122xdx .21)1ln()1(21222Cxxx 21)1ln()1(21arctan222xxxxd 原原式式xxxxarctan)1ln()1(2122

11、2 dxxxx1)1ln(21222 24例7解.)2(10 xxdx求求 )2(10109xxdxx原式原式 )2()(101101010 xxxdCxx )2ln(ln2011010.)2ln(201ln2110Cxx .2)1ln(23)1ln()1(arctan212222Cxxxxxxx 25例8解.)1()1(342 xxdx求求.)1()11()1()1(234342 xxxxx,11 xxt令令,)1(22dxxdt 則則有有 原原式式 234)1()11(xxxdxdtt 3421Ct 3123.11233Cxx 26例9解.cos1sin dxxxx求求dxxxxx 2co

12、s22cos2sin22原式原式dxxdxxx 2tan2cos22dxxdxxxx 2tan2tan2tan.2tanCxx 27例10解 dxxfxfxfxfxf)()()()()(322原式原式.)()()()()(32 dxxfxfxfxfxf求求 dxxfxfxfxfxfxf)()()()()()(22 )()()()(xfxfdxfxf.)()(212Cxfxf 28例11解., 1max dxx求求, 1max)(xxf 設(shè)設(shè),1,11,11,)( xxxxxxf則則,),()(上連續(xù)上連續(xù)在在xf).(xF則必存在原函數(shù)則必存在原函數(shù)29須須處處處處連連續(xù)續(xù)，有有又又)(xF.

13、1,2111,1,21)(32212 xCxxCxxCxxF)21(lim)(lim12121CxCxxx ,21112CC 即即)(lim)21(lim21321CxCxxx ,12123CC 即即30.1,12111,211,21, 1max22 xCxxCxxCxdxx故故.1,2132CCCC 可可得得,1CC 聯(lián)聯(lián)立立并并令令31一、一、 選擇題：選擇題：1 1、 設(shè)設(shè))(, )(21xFxF是區(qū)間是區(qū)間I內(nèi)連續(xù)函數(shù)內(nèi)連續(xù)函數(shù))(xf的兩個(gè)不的兩個(gè)不 同的原函數(shù)，且同的原函數(shù)，且0)( xf, ,則在區(qū)間則在區(qū)間I內(nèi)必有內(nèi)必有（ ）（A A） CxFxF )()(21；（B B） C

14、xFxF )()(21；（C C） )()(21xCFxF ；（D D） CxFxF )()(21. .2 2、若、若, )()(xfxF 則則 )(xdF= =（ ）（A A） )(xf； （B B） )(xF；（C C） Cxf )(； （D D） CxF )(. .測(cè) 驗(yàn) 題323 3、)(xf在某區(qū)間內(nèi)具備了條件在某區(qū)間內(nèi)具備了條件（ ）就可保證它的）就可保證它的 原函數(shù)一定存在原函數(shù)一定存在（A A） 有極限存在；有極限存在； （B B）連續(xù)；）連續(xù)；（B B） 有界；有界； （D D）有有限個(gè)間斷點(diǎn)）有有限個(gè)間斷點(diǎn) 4 4、下列結(jié)論正確的是、下列結(jié)論正確的是（ ）（A A） 初等函

15、數(shù)必存在原函數(shù)；初等函數(shù)必存在原函數(shù)；（B B） 每個(gè)不定積分都可以表示為初等函數(shù)；每個(gè)不定積分都可以表示為初等函數(shù)；（C C） 初等函數(shù)的原函數(shù)必定是初等函數(shù)；初等函數(shù)的原函數(shù)必定是初等函數(shù)；（D D） CBA,都不對(duì)都不對(duì) . .335 5、函函數(shù)數(shù)2)()(xxxf 的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù) )(xF( ( ) )（A A）334x; ; （B B）234xx; ;（C C) )(3222xxx ; ; （D D）)(322xxx . .6 6 、 已已 知知 一一 個(gè)個(gè) 函函 數(shù)數(shù) 的的 導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù) 為為xy2 ，21 yx時(shí)時(shí)且且, ,這這個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)是是（ ） （A A）;2Cxy

16、 （B B）;12 xy （C C）Cxy 22; ; （D D）.1 xy347 7、下列積分能用初等函數(shù)表出的是、下列積分能用初等函數(shù)表出的是（ ） （A A） dxex2； （B B） 31xdx； （C C） dxxln1； （D D） dxxxln. .8 8、 ,)()(CxFdxxf且且,batx 則則 dttf)(（ ） （A A）CxF )(； （B B） CtF )(; ; （C C）CbatFa )(1; ; （D D）CbatF )( . .35 9 9、 dxxx2ln（） （A A）Cxxx 1ln1; ; （B B）Cxxx 1ln1; ; （C C）Cxxx 1

17、ln1； （D D）Cxxx 1ln1. . 1 10 0、 10)14( xdx（ ） （A A）Cx 9)14(191； （B B）Cx 9)14(1361； （C C）Cx 9)14(1361； （D D）Cx 11)14(1361. .36二、求下列不定積分：二、求下列不定積分： 1 1、 dxxx1cos12; ; 2 2、 522xxdx; ; 3 3、 dxxxx2215)1ln(; ; 4 4、 dxxx222)1(; ; 5 5、 211xdx; ; 6 6、 dxxxx1122; ; 7 7、 )1(2xxeedx; ; 8 8、 xdxx arccos2; ; 9 9、

18、234811xxdxx; ; 10 10、 dxxx32)1(arccos. .37三、設(shè)三、設(shè) 0,)32(0, )1ln()(22xexxxxxxfx，求，求 dxxf)(. .四、設(shè)四、設(shè)xbxaefxcossin)( ,(,(ba ,為不同時(shí)為零的為不同時(shí)為零的 常數(shù)常數(shù)) )，求，求)(xf. .五、五、0 x設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，)(xf連續(xù)，求連續(xù)，求 dxexxfxxxfx2)()1()(. .38一一、1 1、D D； 2 2、D D； 3 3、B B； 4 4、D D； 5 5、D D； 6 6、B B； 7 7、D D； 8 8、B B； 9 9、D D； 1 10 0、C C. .二、二、1 1、Cx 1sin； 2 2、Cx 21arctan21； 3 3、Cxx 3225)1ln