04冪指對函數(shù)

1、【知識點歸納】1、哥函數(shù)(1)募函數(shù)定義：形如(2)由于備函數(shù)的指數(shù)事指對函數(shù)y =xk ( k是常數(shù)，k w Q )的函數(shù)叫做募函數(shù)。k的取值不同，相應募函數(shù)的定義域及奇偶性(圖像的對稱性)可能各不相同，但所有騫函數(shù)的一個顯著特征是：都經過第一象限；都過點(1,1)。于是我們只考慮哥函數(shù)在第象限的圖像特征，至于該函數(shù)的全部圖像可由該函數(shù)的定義域及奇偶性來得到。(3)下面是幾種情況下的哥函數(shù)在第一象限的圖像:a為底，N的對數(shù)，記作logaN =b。其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。通常以10為底N的對數(shù)叫做常用對數(shù)，記作lg N ；以e為底N的對數(shù)叫做自然對數(shù)，記作ln N 。(2)對數(shù)函數(shù)的

2、概念：函數(shù) y=logax (a >0,a 01)叫做對數(shù)函數(shù)，其中(0,y)。對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。(3)對數(shù)函數(shù)的圖像：根據(jù)圖像，可知對數(shù)函數(shù)的性質。4.指對運算法則m nm -nm.nm _n,m、na a=a ；a-=a ;(a)mn=am aalOgaN =N ； loga(M N)=logaM +loga N ；,M , lOga lOga M 7OgaNNlogb N =lOga N (換底公式)；logam Nn =nloga N (N > 0)ologabm5.簡單的指對方程(不等式)的解法化同底；指對互化；換元法；圖像法147【例題講解】1.(1)已知 l

3、og23 = a, log35=b，試用 a、b表示 log15 20。2 1 .(2)設 3a =4b =36 ,求一+的值。a b解：(1) b =log 3 5 = log2 5 二 log 2 5 = ab ,log 2 3 log15 20log2 20log2152 log 2 5log 2 3 log252 aba aba 一 b(2) . 3 =4 =36, /. alog6 3 =blog6 4 =2 ,. 2,-1, 八 21, c, 二 10g6 3 , = 10g6 2 , 4 = log 6 3 +l0g 6 2 =1 ° aba b2.已知對數(shù)函數(shù) f(x

4、)=log2(ax 2x + 3),(1)定義域為R,求實數(shù)a的范圍；(2)值域為R,求實數(shù)a的范圍。a 0解：(1)定義域為R a 0 u a/， ：:03a 0 ,、1(2)值域為 Ru 或 a=0u 0WaE。：,033.(1)指數(shù)函數(shù)y = f(x)的反函數(shù)的圖象過點(2,1),則此函數(shù)為 y=? y=2x(C) y=3x(D) y=10x,-11,(2)在 P(1,1), Q(1,2), M (2,3)和 N(一, 一 )四點中，函數(shù) 2 4可能是(A) P(B) Q(C) My =ax的圖像與其反函數(shù)的圖像的公共點只(D )(D) N(3)設 f (x) =|3x -1|,c<

5、;b <a ,且f(b) < f (a)< f (c),則下列關系式一定成立的是c bb a(A) 33(B) 33(4) 在 y=2x , y=log2x , y =x2 ,x x f (x) f (x)f(，2)8恒成立的個數(shù)是22(A) 0(B) 1(C) 3a 3c 2(D) 3a 3c :二 2,1.v .一y =(-)這四個函數(shù)中，當0<Xi<X2<1時，使2(B )(C) 2(D) 3解：(1)選(A),原函數(shù)過點(一1,2);(2)選(D), P、Q顯然是不可能的，可代入驗證知D答案正確。本題學生有個誤解，認為原函數(shù)與其反函數(shù)的公共點只可能在

6、直線y = x上，實際上還可以有關于直線y = x對稱的公共點，本題中的兩函數(shù)應該有3個公共點。又如：已知函數(shù) y =jaXKb的圖像與它的反函數(shù)的圖像有- 選(D),如圖，f(c)=1 S, f (a)=3a 1,于是由 f(c) A f (a)= 1 -3c a3a 1= 3a +3c <2。個交點 M (1,2),則兩個函數(shù)有 3個交點。4.a為何值時關于x的方程lg 2 + lgx = 2lg(x +a )有一解？兩解？無解?解:x 0x a 0一 ,、22x =(x +a)x . 0 j=2x = x a 0x 0a = 2x-x(4)選(B),滿足題意的函數(shù)在(0,1)上應是

7、凸函數(shù)。則a=t-+t。由圖像得21 一 ，-，aw(0,)時，有兩解；當a =21 ,、，一、1或aW0時，有一解；當a> 2時，無解。5.設方程log3x+x=3的根為為；方程3x+x =3的根為x2,求x +x2的值。解：方法一：由題意，log3x+x1=3;3x2+x2=3,注意到本題并未要求解出X,x2,觀察兩式特點并發(fā)現(xiàn) x=log33x,于是方程3x2+x2=3 ulog3 3x2+3x2=3。由于函數(shù)f(t)=log3t+t在定義域內為單調增函數(shù),且 f 國)="3'2)=3,于是 Xi=3X2 ,所以 x+x2=3。像特征來求橫坐標。方法二：注意到指對

8、函數(shù)互為反函數(shù)，我們可考慮利用它們的圖解。方程 log3 x +x = 3即 log3 x = 3 x ;方程 3x +x =3 即 3x =3 x。于是Xi, X2分別為函數(shù)y=log3x, y=3x與直線y=3x交點的 :函數(shù)y=log3x與函數(shù)y=3x互為反函數(shù)，.圖像關于直線 y=x對稱，直線 y = 3-x與直線y=x垂直，于是兩交點在直線y =3 -x上，又關于直線 y =x對稱，故兩交點的中點是兩直線的交點，于是6.解下列方程： 2x 5x =(10x)510解：原方程= 10x 1 =105x° = x 1 =5x-10x2logo x(2) x g3 =81解：兩邊

9、取對數(shù)：210g3 x log3x =log381 =4= log32x =2：= x=3二2 10g3(1 10g3(" 一3) =2x1 一xx解：原萬程 = 10g3(3x-1) 10g3 (3x1)=2= 10g3(3x-1)1og 3(3x1)1 =23u 10g3(3x1)1og3(3x1)2 =0u 1og3(3x 1)2 1og 3(3x1)+1 = 010g3(3x -1) -2 =0= 3x -1 =32 =9= 3x =10= x =1og31010g3(3x -1) 1=0- 3x -1 =3'二得 4,4，3 =: x = log 3 = -1 70

10、g 3 433(4)9x 4x解:原方程5 X =624 x 52 x:= 1 (一)x = (一)x 匕92 3吟2x 2 =02 x 2 x2(-)x -1(-)x -2 =0 332 x2 x 12(3Tog2 = 0 = x =1og 2 2 o3 x 3x =4解：原方程u 3x=4_x。作函數(shù)丫 = 3*與丫=4_*的 圖像，其交點的橫坐標 x =1即為解。x = 1og2 2|1g |x-1|7.設定義域為 R的函數(shù)f(x)=0_ 2f (x) +bf (x) +c =0有7個不同頭數(shù)解的充要條件是(A) b <0H c>0(C) c =0 且 b <0(B)

11、b >0且 c<0(D) b0且 c=0解：f (x)的圖像(如右圖)與直線y =a的交點數(shù)為：時，無交點；當 a=0時，有3個交點；當a >0時，有4個交點。，x的方程f 2(x)+bf (x)+c=0有7個不同實數(shù)解當于t的方程t2 +bt+c =0有1個零解與1個正數(shù)解。即有x的方程則關于Cc =0 且 b < 0。當 a ：二 0且僅當關8.已知f (x) =1og2 (x+1),當點(x, y)在函數(shù)y = f (x)的圖像上運動時，點(x,?)在函數(shù)y = g(x)的圖3 2像上運動。(1)寫出y=g(x)的解析式；(2)求出g(x) > f (x)的

12、x范圍;(3)在(2)的范圍內，求 y =g(x) f (x)的最大值。解：(1)因為點(x, y)在函數(shù)y = f (x)的圖像上運動，所以y =1og2 (x+1),又點('，")在函數(shù)y = g(x)的3 2圖像上運動，所以g(x) ='=11og2 (x+1),3221 1、所以 g(x) = - 1og2(3x+1)(x >-)。2 33x 1 00<x<1o(3) 110g2(3x 1) log2(x 1)：= x 1 . 0 ：三 3x 1 (x 1)211 (x 1)2(4) y = -log2(3x 1) -log2(x 1) =

13、log2 22 3x 1t -1令 3x +1 =t , x =,t W (1,4),再令3t -12h(x 1)2 (可2h(t)=3x 1 tt 2 2(-)23tt24t4一 十一 + _999 ,t 一9當且僅當即 ymaxt 4上=4 ,即t =29 9t181 一此時 x = 3時，h(t)min44c29t 989't 449 9t9log2 - = log2 3 - -o292,29.已知函數(shù) f (x)=x* *(kwZ),且 f (2) < f (3) o求k的值;(2)試判斷是否存在正數(shù)p ,使函數(shù)g(x) =1 pf (x)+(2 p 1)x在區(qū)間一1,2

14、上的值域為17.4, o 右存8在,求出這個 p的值，若不存在，說明理由。解:(1) - f(2) < f(3) ,2*2*書 <3*2*= (C),2書 <13-k2 +k +2 >0 =-1 <k <2 ； . k EZ ,，k =0或 k =1。 22(2)當 k=0 或 k=1, f(x)=x。g(x) =1 pf (x)+(2 p 1)x = px +(2p1)x + 1c2p -1- p>0，g(x)=p(x-2p2p -1rr 4p -1<-1,即<0 U I2p2pI 2(2p -1)2-)2 +- +1。4p1 ,，、八，

15、0 < p < 時，g(x)在1,2單調遞減,417g(-1)7= 一3P178g(2) = 4-1 <2p- 2p2= 2(2p -1)2一 n 1p ,4-1 一r1M2 ,即p之一4時,2p -1 g(2p)="_ (2pT)2 18 4p1782二9p = 8p -17p 2=0 =(8p1)(p2)=0,p =2。這時，g(x) - -2(x -3)2 -,最小值: 48- p =2為所求的p的值?！眷柟叹毩暋縡(x)=ax+loga (x + 1)在0,1上的最大值與最小值之和為(A)(C) 2(D) 4ax與loga(x+1)有相同的增減性， f(x)

16、是給定區(qū)間上的單調函數(shù)，由故選(B)。01a +loga 1+a+loga(1+1) =a 得 loga 2 = 1 , a=一,2(l)x (x _4)2.設函數(shù) f(x)=42，則 f(log23) =f(x 3) (x ：:4)提示:1og2 3 :： 43.若ln 2a =，2(A) a : b:c1提示：a =ln 22所以c<a,又(B) A(C) 48f (log 2 3) = f(3 log 2 3) = f (1og2 24)ln3 ln5 皿9，c=W則(B) c :二 b :二 a11,b =ln33, c=ln55，比較知f (x) = In x為增函數(shù)，故選出(

17、D)1241 =(2)10g2 241o24(C) c : a :二 b(2，)6 =8 , (33)6 =9(C)。(D) b :二 a :二 c知 a<b ,而(2攵)10=32, (5寫)10=25 ,4.對于函數(shù)f (x)定義域中任意的Xi,X2 (Xi #x2),有如下結論:f (Xi+X2)= f (Xi)，f (X2); f(X1X2)= f (Xi) + f (X2)f (Xi)f (x2)>0x1 - x2”2) <f(x1) 2f (x2)。若f(x) = lgx,則正確結論的序號是 。x 15.關于函數(shù)f(x)=lg (xWR,x00),有下列命題： 函

18、數(shù)y = f (x)的圖象關于 y軸對稱； 當|x|x>0時，f(x)是增函數(shù)；當x<0時，f(x)是減函數(shù)； 函數(shù)f(x)的最小值是lg2 ；當1<x<0或x >1時，f(x)是增函數(shù)。其中正確命題的序號是(把你認為正確的序號都填上)。16 .求函數(shù)y 的定義域和值域，并指出函數(shù)在(0,收)上的單倜性。2 -1略解：定義域：D =(3,0) = (0戶)，值域是(3,1)=(0嚴)；函數(shù)在(0,收)上是減函數(shù)。7 .是否存在實數(shù)a ,使函數(shù)f (x) =loga(ax2-x)在2,4上是增函數(shù)，若存在，求出a的值；若不存在,說明理由。略解：當a >1滿足題

19、設條件，當 0<a<1不滿足題設條件。8 .設函數(shù) f (x) =|lg x| ,若 0 <a <b ,且 f (a) > f (b),求證：ab <1。證：: f(x) Tlgx住0, f (a) >f (b) y lg2alg2b.、_ _a=(1g a +lg b)(lg a -lg b) >0 ,即(1g ab)，lg >0。 ba. a而 0<a<by 0<一 <1 " lg <0, bba(lg ab) lg - >0 => lg ab <0 ,于是有 ab <1。

20、 b9 .設y = f (x)是函數(shù)y =ax -1 (a >0,a =1)的反函數(shù)，(1)試比較3 f (x)與f(3x)的大小;(2)若函數(shù)y = f(x)在區(qū)間1,2上的最大值比最小值大1,求實數(shù)a的值。解：(1)求出 f (x) =1oga (x 1) (x . -1)o所以 3f (x) =31oga 僅 + 1)= log x + 1); f (3x) =1oga(3x +1),由于(x+1)3(3x+1)=x2(x+3)20,當且僅當x=0時取等號。于是有：當 a：>1時，3 f (x) 之 f (3x),當且僅當 x=0時取等號；當0ca<1時，3 f (x)

21、Mf(3x),當且僅當x=0時取等號。(2)當a>1時，函數(shù)f (x)在1.2上為增函數(shù)，所以1oga(2 + 1)loga 2= 1一 3=a=2;當 0<a<1 時，函數(shù) f(x)在1.2上為減函數(shù)，所以 loga 21oga(2+1) = 12=a =。 310. (1)在實數(shù)范圍內解不等式：5x"x+1;(2)利用解上題的方法證明：3x +4x=5x有唯一解。解：(1) 5x 之4x +1 = (f)x +(1)x W1。55' (4)x單調遞減；d)x單調遞減，f(x) =(-)x Y1)'單調遞減。5555而 f(1) =4+1 =1 ,(4)x +(1)x <1 x 之1。不等式的解集：1,y)。5 555(2) 3x+4x=5x=(-)x+(4)x=1,g(x)=(3)x+(