中心極限定理（課堂PPT）

1、1第五章第五章 隨機變量序列的極限隨機變量序列的極限概率論的基本任務(wù)是研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性概率論的基本任務(wù)是研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性. 引進引進隨機變量之后隨機變量之后, 我們集中研究了隨機變量取值的統(tǒng)計我們集中研究了隨機變量取值的統(tǒng)計規(guī)律性規(guī)律性. 在一個具體問題中在一個具體問題中, 這種統(tǒng)計規(guī)律性往往通過這種統(tǒng)計規(guī)律性往往通過大量的重復(fù)觀測來體現(xiàn)大量的重復(fù)觀測來體現(xiàn), 對大量的重復(fù)觀測作數(shù)學(xué)處理對大量的重復(fù)觀測作數(shù)學(xué)處理的常用方法是研究極限的常用方法是研究極限.25.1 大數(shù)定律大數(shù)定律 law of large numbers在在1.3中中, 我們曾經(jīng)提到頻率的穩(wěn)定性我們曾經(jīng)提到頻率

2、的穩(wěn)定性. 設(shè)隨機事件設(shè)隨機事件A的概率的概率P(A)=p, 在在n重貝努利試驗中事件重貝努利試驗中事件A發(fā)生的頻率為發(fā)生的頻率為 .當當n很大時很大時, 將與將與p非常接近非常接近. 由由 nfA驗可能取不同的值驗可能取不同的值, 因而需要對隨機變量序列引進新因而需要對隨機變量序列引進新于于 本質(zhì)上是一個隨機變量，它隨著不同的本質(zhì)上是一個隨機變量，它隨著不同的n次試次試 nfA的收斂性定義的收斂性定義.3定義定義5.1 依概率收斂依概率收斂設(shè)設(shè) 是一個隨機變量序列是一個隨機變量序列. 如果存在一個常數(shù)如果存在一個常數(shù)c12,XX 使得對任意一個正數(shù)使得對任意一個正數(shù) , 總有總有l(wèi)im1nn

3、P Xc記作記作:則稱隨機變量序列則稱隨機變量序列 依概率收斂于依概率收斂于c12,XX PnXc 4定理定理5.1,PPnnXa Yb 如果如果且函數(shù)且函數(shù),g x y在在, a b處連續(xù)處連續(xù), 則則,Pnng XYg a b 下面下面, 考慮頻率的穩(wěn)定性考慮頻率的穩(wěn)定性5定理定理5.4 貝努里大數(shù)定律貝努里大數(shù)定律 設(shè)設(shè) 是一個隨機變量序列是一個隨機變量序列. 且每一個隨機變量且每一個隨機變量12,XX 都服從都服從0-1分布分布 , 則則 1,BpPXp 證明關(guān)鍵步驟證明關(guān)鍵步驟: 1,1E Xp D Xppn6定理定理5.3 獨立同分布情形下大數(shù)定律獨立同分布情形下大數(shù)定律 設(shè)設(shè) 是

4、一個獨立同分布的隨機變量序列是一個獨立同分布的隨機變量序列. 且且12,XX 證明關(guān)鍵步驟證明關(guān)鍵步驟: 21,E XD Xn2,.E XD XPX 則則7定理定理5.2 切比雪夫大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律 設(shè)設(shè) 是兩兩不相關(guān)的隨機變量序列是兩兩不相關(guān)的隨機變量序列. 且且12,XX 方差一致有界方差一致有界. 則則1111nnPiiiiXE Xnn 證明關(guān)鍵步驟證明關(guān)鍵步驟:1111nniiiiEXE Xnn82112121111cov,nniiiiniiijDXDXnnD XijncncnnX X95.2 中心極限定理中心極限定理在數(shù)理統(tǒng)計中經(jīng)常要用到在數(shù)理統(tǒng)計中經(jīng)常要用到n個獨立同分布的隨

5、機變量個獨立同分布的隨機變量1niiX12n,XXX的和的和 的分布的分布, 但要給出其精確分布但要給出其精確分布有有時很困難時很困難.正態(tài)分布具有可加性，若正態(tài)分布具有可加性，若212, iid, ,niXXXXN 則則: 21 ,niiXN nn10標準化后得標準化后得12 0,1niiXnNn因此因此: 1niiXnPbbn 11定理定理5.5 獨立同分布的中心極限獨立同分布的中心極限2,0 1,2,iiE Xp D Xi則對任意的則對任意的 有有,xx 1lim.niinXnpPxxn 12,nXXX設(shè)設(shè) 是獨立同分布的隨機變量序列是獨立同分布的隨機變量序列, 且且 121 niiP

6、aXb 應(yīng)用應(yīng)用 當當 充分大時充分大時n12niiXnanbnPnnnbnannn 13例例1 某人要測量甲、乙兩地的距離某人要測量甲、乙兩地的距離, 限于測量工具限于測量工具, 他他解解 設(shè)第設(shè)第 段的測量誤差為段的測量誤差為 所以累計誤差為所以累計誤差為i,iX12001,iiX又又 為獨立同分布的隨機變量為獨立同分布的隨機變量, 由由121200,X XX0.5,0.5iXR 得得分成分成1200段進行測量段進行測量, 每段測量誤差（單位每段測量誤差（單位: 厘米）服從厘米）服從0.5,0.5區(qū)間區(qū)間 上的均勻分布上的均勻分布, 試求總距離測量誤差的試求總距離測量誤差的20絕對值超過絕

7、對值超過 厘米的概率厘米的概率. 1410, 1,2,1200 .12iiE XD Xi由獨立同分布情形下的中心極限定理由獨立同分布情形下的中心極限定理:1120201120012niniiiXnPXPn15112niiXnPn 122 2 120.0456.定理定理5.5中限定條件得到如下定理中限定條件得到如下定理5.616定理定理 5.61,nniiYX則對任意的則對任意的 有有,xx 221lim,21txnnYnpPxedtnpp即當即當 充分大時充分大時, 近似服從標準正態(tài)分布近似服從標準正態(tài)分布.n1nYnpnpp1,iXBp隨機變量序列隨機變量序列,且且 令令12n,XXX設(shè)設(shè)

8、是一個獨立同分布的是一個獨立同分布的17例例2. 在次品率為在次品率為1/6的一大批產(chǎn)品中的一大批產(chǎn)品中, 任意取出任意取出300件產(chǎn)件產(chǎn)品品,利用中心極限定理利用中心極限定理, 計算抽取的產(chǎn)品中次品數(shù)在計算抽取的產(chǎn)品中次品數(shù)在40到到60之間的概率之間的概率.解解 以以 表示表示300件產(chǎn)品中次品的總數(shù)件產(chǎn)品中次品的總數(shù), 由題意得由題意得nY1300,6nYB此時此時, 25050,1,6npnpp由中心極限定理得由中心極限定理得405060504060250/6250/61nYnpPXPnpp181.551.55 21.5510.8788. 19例例3. 有一批鋼材有一批鋼材, 其中其中

9、80%的長度不小于的長度不小于3m, 現(xiàn)從鋼材現(xiàn)從鋼材中隨機取出中隨機取出100根根, 試利用中心極限定理求小于試利用中心極限定理求小于3m的鋼的鋼不超過不超過30根的概率根的概率.解解 以以 為為100根鋼材中小于根鋼材中小于3m的鋼材根數(shù)的鋼材根數(shù), 由題意知由題意知:nY100,0.2 ,nYB20,116,npnpp則則0203020030441nnYnpPYPnpp2.550.9938. 20例例4. 設(shè)一個車間有設(shè)一個車間有400臺同類型的機床臺同類型的機床, 每臺機床需用每臺機床需用解解 令令 表示在時刻表示在時刻 時正在開動的機器數(shù)時正在開動的機器數(shù), 則則 可以表可以表nYt

10、nY示在示在400次相互獨立的重復(fù)實驗試驗中事件次相互獨立的重復(fù)實驗試驗中事件“ ”發(fā)生的發(fā)生的次次A0.75,p Q電電 瓦瓦, 由于工藝關(guān)系由于工藝關(guān)系, 每臺機器并不連續(xù)開動每臺機器并不連續(xù)開動, 開動的開動的3/4,時候只占工作總時間的時候只占工作總時間的 問應(yīng)該供應(yīng)多少瓦電力能問應(yīng)該供應(yīng)多少瓦電力能99%的概率保證該車間的車床能正常工作的概率保證該車間的車床能正常工作.（假定在工作（假定在工作期內(nèi)每臺機器是否處于工作狀態(tài)是相互獨立的）期內(nèi)每臺機器是否處于工作狀態(tài)是相互獨立的）.數(shù)數(shù), 由前面所討論的知由前面所討論的知:21及及 因因 由中心極限定理知由中心極限定理知, 對對400,0

11、.75 ,nYB400,n ,1npYnpPxxnp 由條件所設(shè)由條件所設(shè), 所求的概率為所求的概率為 0.99.x而而 為標準正態(tài)分布的分布函數(shù)為標準正態(tài)分布的分布函數(shù), 查表得查表得 x2.326.x , x任意的任意的 有有即即:222.3260.99.1pXnpPnp從而從而33002.326 204X 30020320.即即: 只要供應(yīng)只要供應(yīng) 瓦的電力瓦的電力, 就能以就能以99%的把握保證該的把握保證該320Q車間的機器能正常工作車間的機器能正常工作.23例例5. 為了測定一臺機床的質(zhì)量為了測定一臺機床的質(zhì)量, 將其分解成若干個部件將其分解成若干個部件1,1 .iXR 解解 以以

12、 表示第表示第 個部件的稱量誤差個部件的稱量誤差, 設(shè)分成設(shè)分成n個部件個部件 iXi從而從而210, 3kg來稱量來稱量. 假定每個部件的稱量誤差（單位假定每個部件的稱量誤差（單位: ）服從區(qū)）服從區(qū)1,1間間 上的均勻分布上的均勻分布, 且每個部件的稱量是獨立的且每個部件的稱量是獨立的, 試試問至多分成多少個部件才能以不低于問至多分成多少個部件才能以不低于99%的概率保證的概率保證機床的稱量總誤差的絕對值不超過機床的稱量總誤差的絕對值不超過10.2411100103niniiiXnPXPnn100210.993n 0.9951002.5763un2103452.576n所以所以25例例6. 某單位有某單位有200臺分機臺分機, 每臺使用外線通話的概率每臺使用外線通話的概率為為15%, 若每臺分機是否使用外線是相互獨立的若每臺分機是否使用外線是相互獨立的, 問該問該單位至少需要裝多少多少條外線單位至少需要裝多少多少條外線, 才能以才能以95%的概率保的概率保保證每臺分機能隨時接通外線電話保證每臺分機能隨時接通外線電話.解解 以以 表示在時刻表示在時刻 使用的外線數(shù)使用的外線數(shù), 則則nYt200,0.15 .nYB此時有此時有30,125.5.npnpp若以若以 表示安裝的外表示