七年級下數(shù)學(xué)因式分解講義

1、定義：把一個多項式化成兒個整代的積的形式 因式分解的意義-與整式乘法的關(guān)系l互逆提取公因式法：ma + diib + me = /(& + z? + c)因式分解的主耍方法聞方差公式:臼2 一護(hù)=（臼+ 朱 _力）因式分解公式法-完全平方公式：（a± bj =± 2ab + / -因式分解的一-般步驟：先看能否用提取公因式，再看能否用公式法匚因式分解的應(yīng)用4.1因式分解知識點：一般地，把一個多項式化成兒個整式的積的形式,叫做因式分解，也叫分解因式?？键c:判斷因式分解。關(guān)鍵：1、等式右邊是幾個整式乘積的形式2、是否分解徹底；3、用整式乘法來檢驗因式分 解的正確性。例1

2、：下列各式從左到右的變形中，是因式分解的是（）a. / 一 2/ + 3 =（x -+ 2 b. x2y2 + 2xy - 1 = （xy + 一 1）c. 3t2/ - xy = y（32 一 ）d. - 42 + 9y2 = （一+ 3y）例2：檢驗卜列因式分解是否正確.（1）2a2 - 1 =（2a -+ 1） t3 - 9x =+ 3）（a- - 3）（3）m - 11/77 + 24 = （/ + 8）（/77 + 3）（4）2x2 + xy - y2 =（2x 一 yx + y）考點：已知因式或其中一個因式，求原多項式的系數(shù)。關(guān)鍵：1、將因式的乘積用整式乘法做化簡，再與原多項 式一

3、項一項對比。2、若只知一個因式，則將另一個因式設(shè)為類似mxn的形式，再與己知因式相乘做化簡，最后與 原多項式對比。例1：若（/ - 3加-4）是多項式/ 一處+ 12分解因式的結(jié)果，則臼的值是.例2：若（x - 3）是多項式嚴(yán)一勁+ 12分解因式的結(jié)果，則儀的值是例3：若g - 3）是多項式/ 一 7“ + /分解因式的結(jié)果，則日的值是.例4：甲、乙兩名同學(xué)分解因式/ +站+方時，甲看錯了方，分解結(jié)果為（x + 2）（x + 4）；乙看錯了臼，分解結(jié) 果為（x + 1）（/ + 9）,則 a - b = 考點：將考點反過來，己知原多項式和它的因式分解的其屮一個因式，求另一個因式.例 1： 一

4、lab 一 laabx + 49az?y = 一7日力()，括號里應(yīng)填()a. 一 1 + 2x + 7y b. - 1 -+ 7y c. 1 - 2/ - 7y d. 1 + 2/ - 7y例2：已知將嚴(yán)+ * - 12因式分解得到的一個因式是仗-3),另一個因式是.考點：利用因式分解簡單計算.例 1： (1) 2012 - 201 (2) 652 一 3524.2提取公因式法知識點一：公因式1. 一般地，一個多項式中每一項都含有的相同的因式,叫做這個多項式各項的公因式.2. 多項式各項的公因式應(yīng)是各項系數(shù)的最大公約數(shù)與各項都含冇的相同了母的最低次幕的積.知識點二：提取公因式法3. 如果一個

5、多項式的各項含有公因式，那么可把該公因式提取出來進(jìn)行因式分解,這種方法叫做提取公因式法。4. 提取公因式法的一般步驟：確定公因式參頓式的首項系數(shù)為負(fù)時，把“”提出用公罟式去除這個多項式,將所得的商少公因式寫成乘積的形式。5. 添括號法：括號前面是“ + ”，括號里的各項都不變號;括號前面是“”，括號里的各項都變號.(與去括號一樣)考點：尋找公因式.關(guān)鍵：公因式可以是單項式，也可以是多項式.例1：寫出卜-列各式的公因式(l)3/zza2 一 6加力(2)3(/ - y)3 + 27(/ - yj + 6(y 一 %)(3) 25才方$ + 15a2/? 一 5丹3(4)- x2 xy - x2z

6、考點：用提取公因式法因式分解.關(guān)鍵：1、多項式的某一項等于公因式時，提取z后補1；2、公因式是負(fù)因式時，用添括號法則;3、公因式可以是單項式，也可以是多項式.例 1：分解因式: 4/3 - 6/(2) a3/?3 + a2/?2 一 ab (3) x(x - 3)+ 3(3 一 x)(4) 6a(b - af - 2(a 一屮-対+ x® (6)- an,b2b1+i + a/il+1b2m考點：添括號法則的應(yīng)用.例1:當(dāng)?shù)稙闀r， b) =(/? )；當(dāng)/?為時，(日一力)=(b (n為整數(shù))考點：提取公因式法的應(yīng)川.例 1：計算(1)5392 - 439 x 539(2)2003

7、x 99 - 27 x 11例2：若護(hù)+曰=0,求2/ + 2臼+ 2015的值.例3:己知/ +臼+ 1 = 0,求1 +日+盤2+£3+$8的值.4.3用乘法公式分解因式知識點一：曰2 力2 =(日*朱_亦兩個數(shù)的平方并,等于這兩個數(shù)的和與羌的積.知識點二：a1 ± 2ab + b2 = (a ±方丫，兩個數(shù)的平方和,加上(減去)這兩個數(shù)的和(差)，等于這兩個數(shù)和(差)的平方.考點：用乘法公式因式分解，將乘法公式與提取公因式法結(jié)合運用，運用因式分解做多項式與多項式的除法. 例1: (1)下列各式中，不能用平方差公式分解的是()a. azb2 - 1 b. 4-

8、0. 25/c.- a2 - b2 d.- %2 + 1(2) 下列各式，能用完全平方公式分解的是() 嚴(yán) 一 + 46嚴(yán) + 3/ + 1 4嚴(yán)-仃 + 1 / + 4xy +9亍 一 20xy + 16y2a.b.c.®d.若/ - kx + 9是一個完全平方式，則k=.例2：分解因式(1)<23 一 4日=(2)*' - 9刃2 =16(曰+ bj - 9(臼-曲=嚴(yán)-8% + 16 = (5)護(hù)+臼方+丄=4(5) - a2 + ab - 4/?2 = (6)16%2 + 24% + 9 =例3：利用因式分解計算：(1)972 + 194 + 1(2)73 x

9、1452 一 1052 x 73(3)1. 2222 x 9 - 1. 3332 x 4例4：因式分解 16(日 + 亦9(臼-聽(2)2/ - 8刃"3)2日2 _ 1(4)(x 一 yj - x + y (5)8(2 + 1) - 16盤(6)(/ - l)(x - 3)+ 1(7)-+ 3y5 (8) ci1 + 1一 4日$(9)嚴(yán) + 4 4x(10) 一 6站 + 9臼(11) 164 一 12x + 81(12)( + 64 - 16(% + y)總結(jié)方法：一般地，能提取公因式的，先提前公因式，再看能否用乘法公式，最后檢查是否已分解到不能再分解.因式分解綜合應(yīng)用：例 1

10、：若 m + n = &肋=12 ,則肋 2 + m2n =.例 2：若 rn + n = &肋=12 ,則 x'y - 2x2y2 + xy =.例3：我們知道護(hù)+ 6日+ 9二 +，但是護(hù)+ 6日+ 8不能寫成完全平方式，這時我們通常這樣的方法:白2 + 6日+ 8 =曰2 + 6自+ 9 _ 9 + 8 =(日+ 一 1 =(日+ 2如+ 4)仿照此法，分解因式：(1)礦 + 3 <3 28(2) 6/ 27例4：己知+ y2 - 4 + 6y + 13 = 0 ,求屮的值.例 5：若嚴(yán) 一 xy + 5y2_2y + l = 0,求 x + y 的值.例5

11、： aabc的三邊長分別為a, b, c ,且曰+ 2ab = c + 2bc，請判斷zabc是什么三角形.例6： aabc的三邊長分別為a, b, c ,且才+ c? -日/? 一比一日c = 0 ,判斷aabc是什么三角形.例7：某水渠的橫截面是梯形(如圖所示)，用含a,b的代數(shù)式表示橫截而的而積，并計算當(dāng)日=1.5,/? = 0.5時,a橫截血的血積.例&某單位在修剪一個邊長自=84c勿的正方形廣場時，欲將其四個角均留出一個邊長為b = 8c的正方形修建 花壇，其余地方種草，請倪用最簡單的方法計算草坪的血積是多少？例 9：分解因式:8日3方彳 一 12ab3c + 6a3z?2(

12、2)a2(a 一方)+ b2(b 一 a)(3) 3/ 3/ 12 4- 12/3例 10：計算：(孑 一 4)一 (日 + 2)(2)(/ + xy + 4y2)十( + 2y)拓展：分組分解法：把多項式分成若干組，每組分別進(jìn)行因式分解，再從總體上因式分解. am + an bin bn = ain + 刀)+ bin + 刀)=(臼 + bin + /?)例 1: (l)a2 + ay - b2 + by (2)2x2 + 2xy - 3% - 3y (3)e?2 - b2 + 4臼一 4b(4) 4 _ y2 _ 8yz 一 16z2a dbxc 十字相乘法：常見的一元二次項形式：嚴(yán)+(q + pq = x + px + q)通用形式：mx1 + px + n = ax + dbx + c) 5 =