微專題1：與雙切點(diǎn)有關(guān)的一類問(wèn)題(含解析)

1、1 微專題：與雙切點(diǎn)有關(guān)的一類問(wèn)題【原題呈現(xiàn)】 （南通市2019 屆高三第二次調(diào)研測(cè)試第19 題第 3 問(wèn)）已知函數(shù)21( )2ln2f xxxaxa，r ，是否存在一條直線與函數(shù)( )yf x 的圖象相切于兩個(gè)不同的點(diǎn)？并說(shuō)明理由【典例】已知217( )ln,( )(0),22f xx g xxmxm直線l與函數(shù)( ),( )f xg x 的圖像都相切，且與( )f x 圖像的切點(diǎn)為(1, (1),f則 m 等于. 【變式 1】若存在過(guò)點(diǎn)(1,0) 的直線與曲線3yx 和21594yaxx都相切，則 a 等于. 2 【變式2】已知函數(shù)( ), ( )ln,.f xx g xax ar 若曲線

2、( )yf x 與曲線( )yg x 相交，且在交點(diǎn)處有相同的切線，求( )g x 的解析式及該切線的方程. 【變式3】二次函數(shù)222yxx與2(0,0)yxaxb ab的圖像在它們的一個(gè)交點(diǎn)處互相垂直，求14ab的最小值 . 【變式 4】已知函數(shù)325( )2f xxxaxb（,a b為常數(shù)），其圖像是曲線c.已知點(diǎn)a為曲線c上的動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)a處作曲線c的切線1l 與曲線c交于另一點(diǎn)b， 在點(diǎn)b處做曲線c的切線2l ，設(shè)切線12,l l 的斜率分別為12,k k .問(wèn)：是否存在常數(shù)，使得21kk ?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 3 【感悟高考 】 （四川高考題改編）已知函數(shù)22,0

3、( )ln,0 xxa xf xx x，其中a是實(shí)數(shù)，設(shè)11(,()a xf x,22(,()b xf x為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且12xx ，若函數(shù)( )f x 的圖象在點(diǎn)a ，b處的切線重合求證：ln21a【拓展延伸 】已知函數(shù)2( )f xxxt0()t，( )lng xx ，直線l與函數(shù)( )f x ，( )g x 的圖象都相切.試討論直線l的條數(shù)，并說(shuō)明理由.4 再問(wèn)若把0()t去掉呢？【小試牛刀 】已知函數(shù)( )exf x，( )lng xx ，是否存在直線l，使得l同時(shí)是( )f x ，( )g x 的切線？說(shuō)明理由 . 5 微專題：與雙切點(diǎn)有關(guān)的一類問(wèn)題【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 熟練掌握

4、消元法處理一類雙切點(diǎn)問(wèn)題的策略；2. 體會(huì)設(shè)而不求、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想. 引入：同學(xué)們，函數(shù)圖象的切線問(wèn)題內(nèi)涵豐富，一直是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，而雙切點(diǎn)問(wèn)題更是重中之重.今天這節(jié)課，我跟大家一起來(lái)研究與雙切點(diǎn)有關(guān)的一類問(wèn)題首先，一起來(lái)回顧一下二?？荚嚨?9 題的第 3 問(wèn).【原題呈現(xiàn)】 （南通市2019 屆高三第二次調(diào)研測(cè)試第19 題第 3 問(wèn)）已知函數(shù)21( )2ln2f xxxaxa，r ，是否存在一條直線與函數(shù)( )yf x 的圖象相切于兩個(gè)不同的點(diǎn)？并說(shuō)明理由【思路分析 】1. 設(shè)兩個(gè)不同的切點(diǎn)111()t xy，222()t xy，.2. 分別寫(xiě)出切線方程1l ：111(

5、)()()yf xfxxx，2l ：222()()()yf xfxxx3. 因?yàn)?l ，2l 為同一直線，所以12111222()()()()()().fxfxf xx fxf xx fx，4. 研究方程組122211222112ln2ln22x xxxxx，是否有解【解題策略 】方法 1：由122211222112ln2ln.22x xxxxx，消去2x 得，22112122ln022xxx 令212xt，由120 xx 與122x x，得(01)t，6 記1( )2lnp tttt，則222(1)21( )10tp tttt，所以( )p t 為 (01)，上的單調(diào)減函數(shù)，所以( )(1)

6、0p tp從而 式不可能成立，所以假設(shè)不成立，從而不存在一條直線與函數(shù)( )f x 的圖象有兩個(gè)不同的切點(diǎn)方法 2：由122211222112ln2ln22x xxxxx，得：2211212121221221()()2ln2xxxxxxxxxxx xxx 令12xtx，由120 xx ，得(01)t，記1( )2lnp tttt，則222(1)21( )10tp tttt，所以( )p t 為 (01)，上的單調(diào)減函數(shù)，所以( )(1)0p tp從而 式不可能成立， 所以假設(shè)不成立，從而不存在一條直線與函數(shù)( )f x 的圖象有兩個(gè)不同的切點(diǎn)師：在以上兩種解法中主要用到了怎樣的解題策略？消元方

7、程是否有解 （請(qǐng)學(xué)生回答）【總結(jié)提煉 】雙切點(diǎn)問(wèn)題中多變量的處理方法主要就是消元法，常見(jiàn)的消元法有帶入消元、齊次化消元、整體消元等，消元以后轉(zhuǎn)化為研究方程根的問(wèn)題【感悟高考 】 （四川高考題改編）已知函數(shù)22,0( )ln,0 xxa xf xx x，其中a是實(shí)數(shù)，設(shè)11(,()a xf x,22(,()b xf x為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且12xx ，若函數(shù)( )f x 的圖象在點(diǎn)a ，b處的切線重合求證：ln21a【證】當(dāng)0 x時(shí)，( )22fxx；當(dāng)0 x時(shí)，1( )fxx.所以當(dāng)120 xx或210 xx時(shí)，12()()fxfx，所以120 xx .7 函數(shù)( )f x 的圖象在點(diǎn)11(

8、,()xf x處的切線方程為：21111(2)(22)()yxxaxxx，即211(22)yxxxa .函數(shù)( )f x 的圖象在點(diǎn)22(,()xf x處的切線方程為：2221ln()yxxxx，即221ln1yxxx.所以12221122ln1xxxxa，由及120 xx 知，110 x.由消去2x 得，2211111ln1ln(22)122axxxx. 令122tx，(0t， ，則112tx.記22( )(1)ln1ln24ttp tttt ，(0t， ，則2122( )1022tttp ttt，所以( )p t 在 (0， 是減 函數(shù) .則( )(2)ln 21p tp，所以ln21a.

9、 師：剛才兩個(gè)問(wèn)題都涉及到一個(gè)函數(shù)的雙切點(diǎn)問(wèn)題，如果是兩個(gè)函數(shù)又該如何處理呢？【拓展延伸 】已知函數(shù)2( )f xxxt0()t，( )lng xx ，直線l與函數(shù)( )f x ，( )g x 的圖象都相切.試討論直線l的條數(shù)，并說(shuō)明理由.【解】設(shè)直線l分別切( )f x ，( )g x 的圖象于點(diǎn)11(,()a xf x,22(,()b xg x. 由( )21fxx，得l的方程為：21111()(21)()yxxtxxx. 由1( )gxx，得l的方程為：2221ln()yxxxx. 所以12212121ln1xxxtx，消去1x 得：22222(1)ln(1)04xxtx. 8 令22(

10、1)( )ln(1)4xh xxtx，0 x，則23331121(21)(1)( )222xxxxxhxxxxx. 令( )0h x，得：1x. 當(dāng)(0 x， 時(shí)，( )0h x，( )h x 單調(diào)遞減；當(dāng)(1x，時(shí)，( )0h x，( )h x 單調(diào)遞增 . 從而min( )(1)h xht . 當(dāng)0t時(shí)，min( )0h x，方程在(0，存在唯一解，即存在一條滿足題意的直線. 當(dāng)0t時(shí)，min( )0h x，方程在(0，無(wú)解，不存在滿足題意的直線. 師：從剛才的分析過(guò)程中，我們可以體會(huì)到，兩個(gè)函數(shù)跟一個(gè)函數(shù)的處理方法其實(shí)是一樣的，還是通過(guò)消元轉(zhuǎn)化為方程根的問(wèn)題.【小試牛刀 】已知函數(shù)( )

11、exf x，( )lng xx ，是否存在直線l，使得l同時(shí)是( )f x ，( )g x 的切線？說(shuō)明理由 . 【解】假設(shè)直線l分別切( )f x ，( )g x 的圖象于點(diǎn)11(,()a xf x,22(, ()b xg x. 由( )exfx，得l的方程為：111ee ()xxyxx. 由1( )gxx，得l的方程為：2221ln()yxxxx. 所以112121ee (1)ln1xxxxx，消去2x 得：111e (1)1xxx. 令( )e (1)1xh xxx，則( )e (2)1xh xx. 令( )e (2)1xp xx，則( )e (3)xp xx . 令( )0p x，得3x. 當(dāng)(3)x， 時(shí)，( )0px；當(dāng)(3)x，時(shí)，( )0p x；所以( )p x 在 (3)， 上單調(diào)遞增，在(3)，上單調(diào)遞減 . 即( )hx 在 (3)， 上單調(diào)遞增，在(3)，上單調(diào)遞減 . 9 所以3(3)1e( )0hh x，所以( )h x 單調(diào)遞減 . 又(1)20h，2(2)e30h，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得( )h x 在 (1，上存在唯一零點(diǎn)，即方程有唯一解. 所以