拉氏變換基本性質(zhì)學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1拉氏變換基本拉氏變換基本(jbn)性質(zhì)性質(zhì)第一頁(yè)，共45頁(yè)。拉氏變換拉氏變換(binhun)的基本性質(zhì)（的基本性質(zhì)（2）尺度(chd)變換)(atfasFa1)(lim)0()(lim0sSFftfst終值定理(dngl)(lim)()(lim0sSFftfst卷積定理)(*)(21tftf)().(21sFsF初值定理初值定理)().(21tftf)(*)(2121sFsFj第1頁(yè)/共44頁(yè)第二頁(yè)，共45頁(yè)。4.時(shí)域平移 2.對(duì)t微分3.對(duì)t積分7.初值8.終值(一).時(shí)域平移特性(txng)和應(yīng)用1.時(shí)移性設(shè))()(sFtf則otsFettuttfostoo)()()(0P189.

2、表4.2 拉氏變換(binhun)的性質(zhì)重點(diǎn)(zhngdin)討論0t)(tf)(0ttf0t第2頁(yè)/共44頁(yè)第三頁(yè)，共45頁(yè)。0)()(:)()(:0tjejFttfjFtf則則若若這個(gè)性質(zhì)(xngzh)表明信號(hào)在時(shí)域中的延時(shí)和頻域中的移相是相對(duì)應(yīng)的.傅立葉變換(binhun)的時(shí)移性質(zhì)第3頁(yè)/共44頁(yè)第四頁(yè)，共45頁(yè)。2.四個(gè)不同(b tn)的函數(shù))()(.)()(.)()(.)()(.0000ttuttfdttutfctuttfbtutfa)()(sin)()()(sin)()()()(sin)()()()(sin)()(sin)(0000000000000ttuttttuttftttu

3、ttutftutttuttftuttutfttf設(shè)第4頁(yè)/共44頁(yè)第五頁(yè)，共45頁(yè)。 )()(sin00tutt)()(sin000ttutt0tt0)(sin0tutt0)(sin00ttut0tt00tt0ttfsin)(設(shè)第5頁(yè)/共44頁(yè)第六頁(yè)，共45頁(yè)。2Tt0sint)(. 1tf為其它值時(shí)t0)2()(sin)(:Ttututtf解3.時(shí)移特性(txng)的應(yīng)用p250.4-2 (1)2T-tu(tsin-tu(t)sin第6頁(yè)/共44頁(yè)第七頁(yè)，共45頁(yè)。)1 ()2()2(sin)(sin)()2()2(sin()(sin)(sin)2(sin2sincoscossin)sin(

4、222sTesTtuTtttuLtfLTtuTtttutftTtTB和利用第7頁(yè)/共44頁(yè)第八頁(yè)，共45頁(yè)。 *臺(tái)階(tiji)函數(shù))()43(4)2(4)4(4)(4)(TtEuTtuETtuETtuEtuEtfsEtuE4)(4414)(4324sTsTsTsTeeeesEtf*單邊周期函數(shù)(zhu q hn sh)的拉氏變換定理:若接通的周期函數(shù)(zhu q hn sh)f(t)的第一個(gè)周期的拉氏變換為 則函數(shù)f(t)的拉氏變換為)(1sF01)()(1sTesFsFET第8頁(yè)/共44頁(yè)第九頁(yè)，共45頁(yè)。例：周期例：周期(zhuq)信號(hào)的拉氏變換信號(hào)的拉氏變換)()(11sFtfLT)(

5、)(11sFenTtfsnTLTSTnSnTLTnesFesFnTtf1)()()(1010第一周期(zhuq)的拉氏變換利用(lyng)時(shí)移特性利用無(wú)窮遞減等比級(jí)數(shù)求和q-1as1第9頁(yè)/共44頁(yè)第十頁(yè)，共45頁(yè)。求全波整流周期(zhuq)信號(hào)的拉氏變換例1：)(tf12T0T2T1)(0tf0tt)2()(sinTtututT22)1(2SeTLTT222211)1(2TSeSeT信號(hào)加窗第一(dy)周期第10頁(yè)/共44頁(yè)第十一頁(yè)，共45頁(yè)。)21(12 ssees)(tf 單對(duì)稱(chēng)(duchn)方波 周期(zhuq)對(duì)稱(chēng)方波 乘衰減(shui jin)指數(shù)s22se11)e1(s1包絡(luò)函數(shù)

6、te12) 2() 1(2)(tututu)1()1()1(1)1()1(SSees.求圖示信號(hào)的拉氏變換求圖示信號(hào)的拉氏變換ssees111第11頁(yè)/共44頁(yè)第十二頁(yè)，共45頁(yè)。抽樣信號(hào)(xnho)的拉氏變換0)()(nTnTttSTnSnTTees11)(0)()()(ttftfTs0)()(nSnTsenTfsF抽樣(chu yn)序列抽樣(chu yn)序列的拉氏變換時(shí)域抽樣信號(hào)抽樣信號(hào)的拉氏變換第12頁(yè)/共44頁(yè)第十三頁(yè)，共45頁(yè)。*抽樣(chu yn)信號(hào)的拉氏變換 00000)()()()()()()(11)()()()(nnTsSTnStTnTnTtnTfnTtnTfttftf

7、edtentttLnTtt第13頁(yè)/共44頁(yè)第十四頁(yè)，共45頁(yè)。 000)()()()(nnsTnStSenTfdtenTtnTftfL抽樣信號(hào)(xnho)的拉氏變換可表示為S域級(jí)數(shù)第14頁(yè)/共44頁(yè)第十五頁(yè)，共45頁(yè)。10)(11210)0()()0()0()0()()0()(),()(. 1nrrrnnnnnnnnefssFsffsfssFsdtfdsRfssFdtdfsFtf和和則則若若證明(zhngmng):時(shí)域微分積分特性時(shí)域微分積分特性二二).(第15頁(yè)/共44頁(yè)第十六頁(yè)，共45頁(yè)。式）和見(jiàn)可以推廣到高階是指數(shù)階函數(shù)令31429-p183,4()0()()(0)(lim )()()

8、()()(0)()()()(:)()()(lim000fssFdttdfLtfetfssFoftfedtsetftfetfLvduuvudvsedutfvtdfdveutdfedtedttdftfLsttsttstststststst第16頁(yè)/共44頁(yè)第十七頁(yè)，共45頁(yè)。*幾點(diǎn)說(shuō)明(shumng)a.如果所處理(chl)里的函數(shù)為有始函數(shù)即00)(ttf)0(),0(),0()1(nfff則都為零.那么(n me)()()(sFsdttfdLssFdtdfLnnn但若f(t)在t=0有躍變,應(yīng)嵌入一個(gè)沖激.相相等等。不不一一定定和和但但雖雖然然)()()()()()(:tfdtdLtutfdt

9、dLtutfLtfL?)0(有有關(guān)關(guān)與與為為什什么么微微分分得得變變換換式式里里f第17頁(yè)/共44頁(yè)第十八頁(yè)，共45頁(yè)。)(2tf0.1t0. teat)(1tf)(2tf)(a1)()(111ssFasdtdfLtuaetdtdfat)()(22tuaetdtdfat)0()(1222fssFassasadtdfL) t (ue) t (fat1設(shè)：設(shè)：第18頁(yè)/共44頁(yè)第十九頁(yè)，共45頁(yè)。這里還要說(shuō)明一個(gè)基本問(wèn)題,即不要把單邊拉氏變換理解為只能用于因果信號(hào). 如在利用微分和積分定理求非因果信號(hào)的單邊拉氏變換時(shí),這樣理解，可能(knng)會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)果,如.結(jié)結(jié)果果就就錯(cuò)錯(cuò)了了若若誤誤認(rèn)認(rèn)

10、為為0) t (f1) t (f0t20t2c.為了不使t=0點(diǎn)的沖激丟失(dis),在單邊拉氏變換中一般采用 系統(tǒng).而且采用 系統(tǒng),對(duì)解決實(shí)際問(wèn)題較為方便.00第19頁(yè)/共44頁(yè)第二十頁(yè)，共45頁(yè)。2.時(shí)域積分(jfn)特性若 則)()(sFtfsdfssFdfssFdftt00)()()()()(:且且拉拉tjFjdfjFtf)(1)(),()(:則則付付0)(,2)0()()(2)(3dfftudftfdtdftt求:第20頁(yè)/共44頁(yè)第二十一頁(yè)，共45頁(yè)。ssdfssFsFfssFt1)()( 2)(3)0()(3)(23112312)(22tteetfssssssF解:初始條件自動(dòng)包

11、含在變換式中，一步(y b)求出系統(tǒng)的全響應(yīng)。第21頁(yè)/共44頁(yè)第二十二頁(yè)，共45頁(yè)。三.初值和終值定理1.初值定理若f(t) 及其導(dǎo)數(shù) 可以進(jìn)行(jnxng)拉氏變換且)()(sFtfdtdf則)(lim)0()(lim0ssFftfst證明(zhngmng):利用時(shí)域微分特性)0()(0fssFdtedtdfdtdfLst先假定(jidng)f(t)在原點(diǎn)連續(xù),則 在原點(diǎn)處不dtdf第22頁(yè)/共44頁(yè)第二十三頁(yè)，共45頁(yè)。包含沖激(chn j).于是00)0()(lim0limfssFdtedtdfssts即)(lim)0()0()0(ssFfffs再假定f(t)在原點(diǎn)有躍變,則f(t)的

12、導(dǎo)數(shù)(do sh)可寫(xiě)成0)()0()0(1ttffdtdfdtdf其中 在t=0連續(xù)(linx),于是)(1tf第23頁(yè)/共44頁(yè)第二十四頁(yè)，共45頁(yè)。)0()0(0)()0()0(limlim)(lim0001ffdtetffdtedtdfdtedttdfstsstssts即)(lim)0()0()0()0()(limssFffffssFss*幾點(diǎn)說(shuō)明(shumng)a.要注意初值f(t) 為t= 時(shí)刻的值,而不是(b shi)f(t)在t= 時(shí)刻的值,無(wú)論拉氏變換F(s)是00第24頁(yè)/共44頁(yè)第二十五頁(yè)，共45頁(yè)。采用 系統(tǒng)(xtng)還是采用 系統(tǒng)(xtng),所求得的初值總是 00

13、)0 (fb.若F(s)是有理代數(shù)式,則F(s)必須是真分式即F(s)分子的階次應(yīng)低于分母的階次,若不是真分式,則應(yīng)用(yngyng)長(zhǎng)除法,使F(s)中出現(xiàn)真分式,而初值 等于真分式 逆變換 .)0 (f)(0tf)(0sFc.物理(wl)解釋:)(js相當(dāng)于接入信號(hào)的突變高頻分量.所以可以給出相應(yīng)的初值)0(fd.由上式也說(shuō)明,根據(jù)象函數(shù)F(s)判斷原函數(shù)是否否包含沖激函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)存在第25頁(yè)/共44頁(yè)第二十六頁(yè)，共45頁(yè)。2.終值定理若f(t)及其導(dǎo)數(shù)可以進(jìn)行拉氏變換(binhun)且 存在,則)(limtft)(lim)(lim0ssFtfst證明(zhngmng)見(jiàn)p188終值定

14、理表明信號(hào)在時(shí)域中 值,可以通過(guò)復(fù)頻域中的F(s)乘以s取 的極限得到而不必求F(s)的反變換 )(f0s*兩點(diǎn)說(shuō)明(shumng):a. 存在等價(jià)于限制F(s)的極點(diǎn)在s左半平面內(nèi)和原點(diǎn)僅有單階極點(diǎn))(limtft第26頁(yè)/共44頁(yè)第二十七頁(yè)，共45頁(yè)。b.物理(wl)解釋?zhuān)?0js相當(dāng)于直流狀態(tài)(zhungti)因而得到(d do)電路穩(wěn)定的終值.54 .251值值和和終終值值分分別別求求下下列列逆逆變變換換的的初初p)2() 1()3(. 2)5)(2()6(. 12ssssss0)5)(2()6(lim)(lim1)5)(2()6(lim)0(. 1:0sssstfssssfsts解解

15、第27頁(yè)/共44頁(yè)第二十八頁(yè)，共45頁(yè)。3)1()()(:ssNtfL已已知知(1)如果(rgu)N(s)=3 利用初值定理求f(t)的展開(kāi) 式332210)(tatataatf中前兩項(xiàng)中 非零項(xiàng).0)2() 1()3(lim)(lim0)2() 1(3lim)0(. 2202sssstfssssfsts第28頁(yè)/共44頁(yè)第二十九頁(yè)，共45頁(yè)。0)1(3lim)0()1(3)(:303sSafstfLS由題義可知(k zh)解32 32 3s133) 1(3)0() 1(3)(0) 1(3lim)0() 1(3)0() 1(3)(f ssfsstfLsssafssfsstL第29頁(yè)/共44頁(yè)第

16、三十頁(yè)，共45頁(yè)。3233 33332322 )1()133(33)1(3)0()1(3)(233)1(32)0(limSSSSSfSSdttfdLaSSSafS第30頁(yè)/共44頁(yè)第三十一頁(yè)，共45頁(yè)。323323)3(2323)(239) 1() 133(36)0(limtttfassssafs3)1(3)0()1(3)(33 33)3(ssfsstfL第31頁(yè)/共44頁(yè)第三十二頁(yè)，共45頁(yè)。:點(diǎn)評(píng)是否為真分式。需要判斷象函數(shù)利用初值定理時(shí))(,. 1sF).0(,);0(,ff的初值即為然后利用初值定理求出則首先將其化為真分式假分式若為初值可直接利用初值定理求為真分式式時(shí)的所有極只有當(dāng)先判

17、斷終值是否存在利用終值定理前)(,. 2sF).(,f定理求終值存在。才可以利用終值其終值才點(diǎn)只有一階極點(diǎn)時(shí)點(diǎn)均在左半平面或在原11lim)(1)()(0ssfstuLsFs如求終值。等卻不能應(yīng)用終值定理但teatsin,第32頁(yè)/共44頁(yè)第三十三頁(yè)，共45頁(yè)。*卷積定理dzzsFzFjtftfLsFsFdtffLsFtfsFtfjjt)()(21)()()()()()()()(),()(2121212012211則若為一復(fù)頻域中的圍線積分(jfn)。第33頁(yè)/共44頁(yè)第三十四頁(yè)，共45頁(yè)。求圖示三角 波f(t)的拉氏變換(binhun).解:方法一:按定義式積分 221210)1 (1)2(

18、)()(0sstststesdtetdttedtetfsF方法(fngf)二:利用線性迭加和時(shí)移定理2202)1 (1)()()(1)()2()2()1()1(2)()(0ssessFtesFtfLsttuLtuttutttutft112)(tf第34頁(yè)/共44頁(yè)第三十五頁(yè)，共45頁(yè)。方法三:利用(lyng)微分積分定理將f(t)微分二次222)1 ()2() 1(2)()(setttLdttfdL根據(jù)(gnj)微分定理:2212121222)1 (1)()1 ()(0)0(0)0()0()0()()(ssessFesFsffsffsFsdttfdL第35頁(yè)/共44頁(yè)第三十六頁(yè)，共45頁(yè)。方法

19、四:利用卷積定理f1(t)可以看作(kn zu)是f1(t)自身的卷積.22111111)1 (1)()1 (1)()()()()(*)()(ssessFessFsFsFsFtftftf )(1tf)(1tf第36頁(yè)/共44頁(yè)第三十七頁(yè)，共45頁(yè)。*利用所示矩形脈沖的 Laplace 變換(binhun)式和本章所述拉氏變換(binhun)的性質(zhì),求圖示函數(shù)的拉氏變換(binhun).1f2222224(a)(b)( c)(d)(e)(f)2f4f3f5f6f第37頁(yè)/共44頁(yè)第三十八頁(yè)，共45頁(yè)。：)(12)(21)()()2()()()()()1(1)()2()()()(221212211ssssxxssseeeeeeshxsheessFsFtttfdtdtfbessFtututfa第38頁(yè)/共44頁(yè)第三十九頁(yè)，共45頁(yè)。)1 (1/)()()()()()()()2()()()()()2(2)2()()()(221011331/3133sttesssFsdttfssFd