線性代數(shù)知識點總結(jié)

1、線性代數(shù)知識點總結(jié)第一章行列式a11a12La1n1. n 階行列式 Da21a22La2 nt p1 p2 L pna1pa2 pL anpM M O M p1 p2 L pn112nan1an2Lann2.特殊行列式a11a12La1n0a22La2 nt 12Lna11a22 LannDMOM1a11a22 L annM00Lann1122n n11 2Ln ，1212 LnONnn3.行列式的性質(zhì)a11a12La1 na11a 21La n1定義記 Da21a22La2 n ， D Ta12a 22La n 2 ，行列式 DT 稱為行列式MMOMMMOMan 1an 2anna1na

2、2 nLa nnD 的轉(zhuǎn)置行列式。性質(zhì) 1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。性質(zhì) 2互換行列式的兩行 rirj 或列 cicj，行列式變號 。推論如果行列式有兩行（列）完全相同（成比例），則此行列式為零。性質(zhì) 3行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)k (r jk ) ，等于用數(shù) k 乘此行列式；推論 1D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D的外面;推論 2D 中某一行（列）所有元素為零，則D=0。a11 a12 L(a1ia1i )La1n性質(zhì) 4若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和，則a21a22L(a2ia2i )La2 nDMMMMan1an2L(aniani )Lann大學(xué)

3、數(shù)學(xué)aaLaLaaaLaLa11121i1n11121i1na21a22La2iLa2na21a22La2 iLa2nLLLLLLLLLLan1an 2LaniLannan1an2LaniLann性質(zhì) 6把行列式的某一列 （行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行 )對應(yīng)的元素上去，行列式的值不變。計算行列式常用方法：利用定義；利用運算rikrj 把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值。4. 行列式按行（列）展開余子式在 n 階行列式中，把元素aij所在的第 i 行和第 j 列劃去后，留下來的 n 1階行列式叫做元素 aij 的余子式，記作 M ij 。代數(shù)余子式記Aij1 i jM

4、ij ，叫做元素 aij 的代數(shù)余子式。引理一個 n 階行列式，如果其中第i行所有元素除（ij (i,j )元外aij 都為零，那么這， ）行列式等于 aij 與它的代數(shù)余子式的乘積，即Daij Aij 。（高階行列式計算首先把行列上的元素盡可能多的化成0，保留一個非零元素，降階）a11a12La1n定理n 階行列式 Da21a22La2 n等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)MMOMan1an 2Lann的代數(shù)余子式的乘積之和，即Dai 1Ai1ai 2 Ai 2Lain Ain ， (i1,2,L , n)或 Da1 jA1 j a2 j A2 jLanj Anj ， ( j1,2,L,

5、n) 。第二章矩陣1.矩陣a11a12La1nAa21a22La2 nLLLLam1am1Lamn行列式是數(shù)值，矩陣是數(shù)表，各個元素組成方陣：行數(shù)與列數(shù)都等于n 的矩陣 A。 記作： An。行 (列 )矩陣： 只有一行 (列 )的矩陣。也稱行 (列)向量。同型矩陣： 兩矩陣的行數(shù)相等，列數(shù)也相等。相等矩陣： AB 同型 ,且對應(yīng)元素相等。記作： A B零矩陣： 元素都是零的矩陣（不同型的零矩陣不同）大學(xué)數(shù)學(xué)對角陣： 不在主對角線上的元素都是零。單位陣： 主對角線上元素都是1 ，其它元素都是0，記作： E注意矩陣與行列式有本質(zhì)的區(qū)別，行列式是一個算式，一個數(shù)字行列式經(jīng)過計算可求得其值，而矩陣僅僅

6、是一個數(shù)表，它的行數(shù)和列數(shù)可以不同。2.矩陣的運算a11b11a12b12La1nb1na21b21a22b22La2nb2n矩陣的加法 A BLLLLam1bm1am2bm2Lamnbmn說明只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，才能進(jìn)行加法運算。矩陣加法的運算規(guī)律1ABBA；2ABCABCa11a12La1n3設(shè)矩陣 Aaij, 記A (aij )m na21a22La2 n，A 稱為矩陣 ALLLLm nam1am1Lamn的 負(fù)矩陣4AA0, ABAB 。數(shù)與矩陣相乘a11a12La1n數(shù) 與矩陣 的乘積記作或A ,規(guī)定為AAa21a22La2 nAALLLLam1am1Lamn數(shù)乘矩陣的運算規(guī)

7、律（設(shè)A、B 為 mn 矩陣，, 為數(shù)）1AA ； 2AA A；3ABA B 。矩陣相加與數(shù)乘矩陣統(tǒng)稱為矩陣的線性運算。矩陣與矩陣相乘設(shè) B(b ij ) 是一個 ms 矩陣， B(b ij ) 是一個 sn 矩陣，那么規(guī)定矩陣 A與矩陣 B的乘積是一個m n矩 陣C(cij )， 其 中b1 jai1 ai 2 Laisb2 jai1b1 jai 2 b2 jLais bsjsaik bkj ， i 1,2,Lm; j1,2, L , n ，Mk 1bsj大學(xué)數(shù)學(xué)并把此乘積記作CAB注意1。A 與 B 能相乘的條件是：A 的列數(shù) B 的行數(shù)。2。矩陣的乘法不滿足交換律，即在一般情況下，乘積可

8、能是零矩陣。ABBA ，而且兩個非零矩陣的3。對于 n 階方陣 A 和 B，若 AB=BA，則稱 A 與 B 是可交換的。矩陣乘法的運算規(guī)律1 ABC ABC；2ABABAB3 A B C AB AC ， B C A BA CA 4 Am n En n Em mAm nAm n5 若 A 是 n 階方陣，則稱Ak 為 A 的 k 次冪，即 AkA ALA ，并且Am AkAmk ，14 243k個Am kAmk m,k為正整數(shù) 。規(guī)定： A0 E（只有方陣才有冪運算）ABkAk Bk （但也有例外）注意矩陣不滿足交換律，即BA， AB轉(zhuǎn)置矩陣把矩陣 A 的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做A

9、的轉(zhuǎn)置矩陣，記作A ，1 ATTA ； 2A BTBT； 3TAT； 4 ABTATABTAT。方陣的行列式由 n 階方陣 A 的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣A 的行列式，記作 A注意矩陣與行列式是兩個不同的概念，n 階矩陣是 n2 個數(shù)按一定方式排成的數(shù)表，而 n階行列式則是這些數(shù)按一定的運算法則所確定的一個數(shù)。1 ATA ； 2AnA ；(3) ABA BB ABA對稱陣設(shè) A 為 n 階方陣，如果滿足A=AT，那么 A 稱為對稱陣。伴隨矩陣行 列 式A 的 各 個 元 素 的 代 數(shù) 余 子 式 Aij所構(gòu)成的如下矩陣A11A21LAn1AA12A22LAn2稱為矩陣 A 的伴隨矩陣。L

10、LLLA1nA2nLAnn性質(zhì)AAA AA E （易忘知識點 ）總結(jié)（1）只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，才能進(jìn)行加法運算。（ 2）只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘,且矩陣相乘不滿足交換律。（3）矩陣的數(shù)乘運算與行列式的數(shù)乘運算不同。逆矩陣：AB BA E，則說矩陣A 是可逆的，并把矩陣B 稱為 A 的逆矩陣。 即A 1B 。大學(xué)數(shù)學(xué)說明1A ，B 互為逆陣，A = B-12 只對方陣定義逆陣。 （只有方陣才有逆矩陣）3.若 A 是可逆矩陣，則A 的逆矩陣是唯一的。定理 1 矩陣 A 可逆的充分必要條件是A0，并且當(dāng) A 可逆時，有 A 11A*（重要 ）A奇異矩陣與

11、非奇異矩陣當(dāng) A0時， A 稱為奇異矩陣，當(dāng)A 0 時， A 稱為非奇異矩陣。即 A可逆A為非奇異矩陣A0。(1)先求 | A|并判斷當(dāng) | A|0時逆陣存在；求逆矩陣方法（2）求 A*；(3)求1A*A 1。| A |初等變換的應(yīng)用：求逆矩陣： ( A | E)初等行變換。E|A1逆矩陣的運算性質(zhì)1 若A可逆 ,則 A 1亦可逆 ,且 A 11A2 若A可逆,數(shù)0,則 A可逆 ,且 A1A1。13 若 A, B為同階方陣且均可逆 , 則 AB亦可逆 , 且( AB) 1B1A1。4 若 A可逆 ,則 AT亦可逆 , 且 AT1A 1T 。5 若A可逆,則有 A 11A 。3.矩陣的初等變換初

12、等行（列）變換1對調(diào)兩行，記作 (ri r j ) 。2以數(shù) k 0 乘以某一行的所有元素，記作 (ri k ) 。大學(xué)數(shù)學(xué)3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行對應(yīng)的元素上去，記作(rikrj ) 。初等列變換： 把初等行變換中的行變?yōu)榱?，即為初等列變換，所用記號是把 “ r”換成 “ c”。矩陣等價如果矩陣 A 經(jīng)有限次初等變換變成矩陣B，就稱矩陣 A 與 B 等價。行階梯形矩陣： 可畫出一條階梯線，線的下方全為零， 每個臺階只有一行， 臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)階梯線的豎線 （每段豎線的長度為一行） 后面的第一個元素為非零元， 也是非零行的第一個非零元。 （非零行數(shù)及矩陣的秩）21032求矩

13、陣 B03125的秩.0004300000R(B)=3行最簡形矩陣： 行階梯矩陣中非零行的第一個非零元為 1，且這些非零元所在的列的其他元素都為 0.標(biāo)準(zhǔn)型 ：對行最簡形矩陣再施以初等列變換，可以變換為形如FErO的矩陣，稱OO m n為標(biāo)準(zhǔn)型。標(biāo)準(zhǔn)形矩陣是所有與矩陣A 等價的矩陣中形狀最簡單的矩陣。初等變換的應(yīng)用初等行變換A初等列變換E求逆矩陣： ( A | E)E|A1 或A1 。E4.矩陣的秩矩陣的秩任何矩陣 Am n ，總可以經(jīng)過有限次初等變換把它變?yōu)樾须A梯形，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)是唯一確定的。（非零行的行數(shù)即為矩陣的秩）說明1. 矩陣 Am × n，則 R(A) mi

14、n,n;2. R(A) = R(AT);3.R(A) r的充分必要條件是至少有一個 r 階子式不為零 ;4.R(A) r的充分必要條件是所有r + 1 階子式都為零 .滿秩和滿秩矩陣矩陣 Aaij mn ，若 R( A) m ，稱 A 為行滿秩矩陣； 若 R( A)n ，稱 A 為列滿秩矩陣； 若A為n階方陣 ,且R( A) n,則稱 A為滿秩矩陣 。若 n階方陣A 滿秩，即R ( A )nA0；A 1必存在；A為非奇異陣；A必能化為單位陣En , 即 A En .大學(xué)數(shù)學(xué)矩陣秩的求法定理 1矩陣 A 經(jīng)過有限次行 (列)初等變換后其秩不變。即若A B，則 R(A)=R(B)。推論若P、 Q可

15、逆，則 R( PAQ)R( A)矩陣秩的性質(zhì)總結(jié)(1)0 R( Am n ) min m, n(2)R(AT) R(A)(3)若 A B,則 R AR B(4) 若P、Q可逆，則 R( PAQ) R( A)(5) max R( A), R( B)R( A,B)R(A) R(B)特別當(dāng) Bb為非零列向量時，有R( A) R(A,b) R( A)1.(6)R( AB)R( A)R( B)(7)R( AB)min R(A), R(B).(8)若 Am n Bnl O,則 R( A) R( B)n.(9)設(shè)AB=O ，若 A 為列滿秩矩陣，則 B=O（矩陣乘法的消去率） 。第三章1. n 維向量n 個

16、數(shù)a1,a2, ,an組成的一個有序數(shù)組(a1,a2, ,an) 稱為一個n 維向量 ,記為a1a2(列向量形式 )或 T(a , a , a （)行向量形式） ，其中第 i 個數(shù) ai 稱為向量.12 Lnan的第 i 個分量。向量組若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組。a11a12La1 jLa1n設(shè)矩陣A=(aij)m × n 有 n 個 m 維列向量，即 Aa21a22La2 jLa2n，MMMMMMam1am2LamjLamn向量組 a1,a2 ,L ,an 稱為矩陣 A的列向量組 。同理，也可說矩陣A 有 m 個行向量組組成。向量，向量組，矩陣與

17、方程組的關(guān)系向量組矩陣：A( 1,2 ,L , m )大學(xué)數(shù)學(xué)a11a12a1mb1向量方程方程組：a21 x1a22x2.a2m xmb2，MMMMan1an2anmbn可簡寫作1x12 x2Ln xnx1b1向量方程方程組矩陣形式 Axb( 1,2 ,L , m )x2b2MMxnbn線性組合給定向量組A: 1,2 ,L, m 和向量b，如果存在一組數(shù)1，2，L ,m 使b1 122 Lmm ，則向量 b 是向量組 A 的線性組合 ，這時稱 b 向量能由向量組 A線性表示 。定理 1向量 b 能由向量組 A : 1,2,L ,m 線性表示的充分必要條件是矩陣A(a1, a2 ,L,am )

18、 的秩等于矩陣B(a1 , a2 ,L , am ,b) 的秩。即 R(A)=R(A,b)。向量組的線性表示設(shè)有兩個向量組 A : 1,2 ,L , m及 B : 1, 2 ,L ,s ，若 B 組中每個向量都能由向量組A 線性表示，則稱向量組B 能由向量組 A 線性表示，若向量組 A 與向量組 B 能相互線性表示，則稱這兩個向量組等價。向量組的線性相關(guān)給定向量組 A : 1, 2,L, m ，如果存在不全為零的數(shù)k1 ,k2 ,L , km使 k1 1k22Lkmm 0 ，則稱向量組是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)；若當(dāng)且僅當(dāng) k1k2Lkm0時上式成立，則稱向量組A 線性無關(guān)。線性相關(guān)：可線

19、性組合表示的，線性無關(guān)：相互獨立，互不代表注意大學(xué)數(shù)學(xué)1.對于向量組來說，不是線性無關(guān)，就是線性相關(guān)。2.對于兩個向量來說，線性相關(guān)意味著兩向量的分量對應(yīng)成比例，幾何含義兩向量共線；三個向量線性相關(guān)意味著三向量共面。3.向量組只有一個向量時 ,若0則說線性相關(guān) , 若0, 則說線性無關(guān)。4.包含零向量的任何向量組是線性相關(guān)的，此時總存在不為零的k，使得0 10 2Lk0L0 n0線性相關(guān)性的判定定理向量組1 , 2 ,L ,m（當(dāng) m2 時）線性相關(guān)的充分必要條件是1 , 2 ,L ,m 中至少有一個向量可由其余m-1 個向量線性表示定理 4向 量 組 A : a1, a2 ,L,am 線 性

20、 相 關(guān) 的 充 分 必 要 條 件 是 它 所 構(gòu) 成 的 矩 陣A (a1, a2 ,L ,am ) 小于向量的個數(shù) m，向量組線性無關(guān)的充分必要條件是R（ A） =m。最大線性無關(guān)向量組設(shè)有向量組 A，如果在 A 中能選出 r 個向量1 , 2 ,L , r ，滿足：（1）向量組A0 : 1, 2 ,L , r 線性無關(guān) ；(2) 向量組 A 中任意 r +1 個向量 (如果有的話 )都線性相關(guān)；則稱向量組 A0 : 1, 2 ,L , r 是向量組 A 的一個最大線性無關(guān)向量組。(2)*向量組 A 中任何一個 (其它 )向量可由 A0 :1, 2 ,L , r 線性表示。第四章線性方程組的解a11 x1a12 x2L a1n xnb1線性方程組a21x1a22 x2La2 n xnb2如果有解，則稱其為相容的，否則稱為不相容L LL LL LL Lam1 x1am2 x2 Lamn xnbm的。n 元齊次線性方程組Ax=0（ 1） R(A) = nAx=0 有唯一解，零解（無非零解）（ 2） R(A) < nAx=0 有非零解 .n 元非齊次線性方程組 Axb（ 1）無解的充分必要條件是 R(A)R(A, b)（ 2）有唯一解的充分必要條件是R(A