2019屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何層級(jí)快練48文

1、層級(jí)快練（四十八）的球面上，則該圓柱的體積為（）3nB.一1.（2017 唐山模擬）正三棱錐的高和底面邊長(zhǎng)都等于6,則其外接球的表面積為（）A. 64nB. 32nC. 16nD. 8n答案 A解析 如圖，作 PML平面 ABC 于點(diǎn) M,則球心 0 在 PM 上,AM A0 貝 U OA 0A= R（R 為外接球半徑），在 Rt OAM 中,2=R,又 AB= 6，且 ABC 為等邊三角形，故 AM= 3 * 62 32= 2 3，貝 U R2PW 6,連接0M= 6 R, OA（6 R）2 = （23）：貝 V R= 4，所以球的表面積 S= 4nR = 64n.2.已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面

2、上的正四棱柱高為4，體積為 16,則這個(gè)球的表面積是（A. 16nC. 24nB. 20nD. 32n答案 C解析 由 V= Sh,得 S= 4,得正四棱柱底面邊長(zhǎng)為2.畫出球的軸截面可得，該正四棱柱的對(duì)角線即為球的直徑，所以球的半徑為R=2.2 + 2 +4= 6.所以球的表面積為S= 4nR=24n.故選 C. / Tk若一個(gè)正方體的體積是8, 則 這 個(gè) 正 方 體 的 內(nèi) 切 球 的 表 面 積 是（）3.A.C.答案 CB. 6nD.n解析設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則 a3= 8.因此內(nèi)切球直徑為2,. S表=4n=4n.4. （2017 課標(biāo)全國(guó)川）已知圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在

3、直徑長(zhǎng)為2 的同一個(gè)球A.n24C. 7答案 B解析 根據(jù)已知球的半徑長(zhǎng)是1,圓柱的高是 1，如圖，所以圓柱的底面半徑r =37. （2018 廣東惠州一模）已知一個(gè)水平放置的各棱長(zhǎng)均為4 的三棱錐形容器內(nèi)有一小球 0（質(zhì)量忽略不計(jì)），現(xiàn)從該三棱錐形容器的頂端向內(nèi)注水，小球慢慢上浮，當(dāng)注入的水的體-2-= ，所以圓柱的體積 V=nr2h=n X(2X1 = |n .故選 B.5. （2018 安徽合肥模擬）已知球的直徑 SC= 6,A,B是該球球面上的兩點(diǎn)，且AB= SA= SB=3，則三棱錐 S- ABC 的體積為（）答案 D解析 設(shè)該球球心為 O,因?yàn)榍虻闹睆?SC= 6, A, B 是該

4、球球面上的兩點(diǎn)，且-AB= SA= SB=3，所以三棱錐 S- OAB 是棱長(zhǎng)為 3 的正四面體，其體積 VS-OAB=gxgx3X323x6=專,同理VO-ABC=，故三棱錐 S ABC 的體積 VsABC= V-OAB+VO-ABC= .，故選 D.42* J6.已知直三棱柱 ABC- ABC 的 6 個(gè)頂點(diǎn)都在球 O 的球面上，若 AB= 3, AC= 4, AB 丄 AC, AA=12，則球 O 的半徑為（B.2 _1013D. 3 10答案解析所以球 O 的半徑R= OA=(5)2+ 62=多OM= jAA= 6,又 AM=|BC=5,4積是該三棱錐體積的7時(shí)，小球與該三棱錐各側(cè)面均

5、相切（與水面也相切），則小球的表面積8等于（）5243nD.128答案 C解析 如圖所示，0 為球心，設(shè) 0G = x,貝 U 0B= SO= 2 x,同時(shí)由正方體 的性質(zhì)可知 BG=，則在 Rt OBG 中，0B2= GB2+ 0G，即（2 x）2=x2+ （#）2，解得 x = 所以球的半徑 R= OB= 8,所以球的表面積 S= 4 nRR= 靄，故選C.9. （2018 鄭州質(zhì)檢）四棱錐 P ABCD 勺五個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，該四棱錐的三視圖如圖 所示，E, F 分別是棱 AB CD 的中點(diǎn)，直線 EF 被球面所截得的線段長(zhǎng)為2 2，則該球的表 面積為（）A.76n2C.3n答案 C

6、4B.3n1D.qn解析 由題知，沒(méi)有水的部分的體積是三棱錐形容器的體積的1，三棱錐形容器的體積為8! 42罟 4= 氣2所以沒(méi)有水的部分的體積為 害.設(shè)其棱長(zhǎng)為 a,則其體積為 3X=，二 a = 2，設(shè)小球的半徑為r，貝 V 4X1X3Xr =晉，解得 r =,1 2球的表面積為 4n X =- n，故選 C.638.如圖，ABCD- ABCD 是棱長(zhǎng)為 1 的正方體，S ABCD 是高為 1 的正四棱 錐，若點(diǎn) S, A, B1, C1, D 在同一個(gè)球面上，則該球的體積為（）A.25nB.49n匸祝圖側(cè)視圖C.81n6A. 9nC. 2 2n答案 DC. 3答案 B11（2017天津）

7、已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為 則這個(gè)球的體積為.解析 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 a,則 6a2= 18,得 a= . 3,設(shè)該正方體外接球的半徑為,3a = 3,得 R= 2,所以該球的體積為 3nR=3n（2）彳=Qns12.若一個(gè)正四面體的表面積為S,其內(nèi)切球的表面積為 S2,則 =S2答案口n解析 該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體可看作由正方體截得，則正方體外接球的直徑即為 PC.由直線 EF 被球面所截得的線段長(zhǎng)為 2 2，可知正方形 ABCD 寸角線 AC 的長(zhǎng)為 2 2,可得正方形 ABCD 勺邊長(zhǎng) a = 2,在厶 PAC : PC= 22+（ 2；2）

8、2= 2 3，球的半徑 R= 3, （2014 湖南）一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示.中,10.S表=4nR=4n X（、.,3）2= 12n.將該石材切削、打磨，加工成球, 則能得到的最大球的半徑等于（）正視圖A. 1俯視圖B.解析此幾何體為一直三棱柱，底面是邊長(zhǎng)為6, 8, 10 的直角三角形，側(cè)棱為 12,故其最大球的半徑為底面直角三角形內(nèi)切圓的半徑，故其半徑為r=2x(6+810)=2,故選 B.B. 3nD. 12n18,R,貝 U 2R9答案 97解析設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為 a,則正四面體的表面積為 S = 4 屮 a2= . 3a2,8其內(nèi)切球半徑為正四面體高的4,即 r =

9、4 虧 a = pa,因此內(nèi)切球表面積為 S2= 4nr ?=曠,則空=旨=出S2n2n-6313.已知一圓柱內(nèi)接于球O,且圓柱的底面圓的直徑與母線長(zhǎng)均為2，則球 O 的表面積為答案 8n解析 圓柱的底面圓的直徑與母線長(zhǎng)均為2,所以球的直徑為22+ 22= 8 = 2 2，即球半徑為；2 ,所以球的表面積為 4nX（.2） = 8n.14. （2017 衡水中學(xué)調(diào)研卷）已知正三棱錐 P ABC 點(diǎn) P, A, B, C 都在半徑為.3 的球面上, 若PAPB PC 兩兩相互垂直，則球心到截面ABC 的距離為答案解析方法一：先在一個(gè)正方體中找一個(gè)滿足條件的正三棱錐，再利用正方體的性質(zhì)解題如圖，滿

10、足題意的正三棱錐的一部分，其外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線，且面的交點(diǎn)是體對(duì)角線的一個(gè)三等分點(diǎn)，所以球心到平面 ABC 的距離等于體P ABC 可以是正方體ABC 與體對(duì)角線對(duì)角線長(zhǎng)的1，故球心到截面 ABC 的距離為 2 3=663方法二：用等體積法：V3ABC= VAPBC求解）.15.（2018 四川成都診斷）已知一個(gè)多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側(cè)視圖都是直角邊長(zhǎng)為1 的等腰直角三角形，俯視圖是邊長(zhǎng)為 1 的正方形，若該多面體的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的側(cè)視圖表面積為答案 3n俯視圖解析由三視圖知幾何體為四棱錐，且四棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面，高等于 1,其底面是邊長(zhǎng)為 1 的

11、正方形，四棱錐的外接球即是邊長(zhǎng)為1 的正方體的外接球，外接球的直徑為3，外接球的表面積 S= 4n X23）2= 3n.16. （2018 河北唐山模擬）已知矩形 ABEF 所在的平面與矩形 ABCD 所在平面互相垂直，AD=2, AB= 3, AF=誓,M 為 EF 的中點(diǎn)，則多面體 M ABCD 勺外接球的表面積為答案 16n910解析 記多面體 MkABCD 勺外接球的球心為 0,如圖，過(guò)點(diǎn) 0 分別作平面 ABCD 和平面 ABEF的垂線，垂足分別為 Q, H,連接并延長(zhǎng)，交 AB 于點(diǎn)N,連接 0M NQ AQ 設(shè)球 0 的半徑為 R,球心到平面 ABCD 勺距離為 d，即 0Q=

12、d,T矩形ABEF 所在的平面與矩形 ABCD 所在的平面互相垂直， AF=323, M 為 EF 的中點(diǎn), MN=葺3, AN= NB= |, NQ= 1,- R2=（寧）2+ d2= 12+ （孚d）2,多面體 M-ABCD 的外接球的表面積為 4n氏=16n.備選題1. （2017 課標(biāo)全國(guó)n,文）長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別為3, 2, 1，其頂點(diǎn)都在球 0 的球面上，則球 0 的表面積為答案 14n解析 依題意得，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為 32+ 22+ 12=.14,記長(zhǎng)方體的外接球的半徑為R,則有 2R= J4, R=2 ，因此球 0 的表面積等于 4nR = 14n.2. （2018 湖

13、南長(zhǎng)沙一中模擬）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線及粗虛線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體外接球的表面積答案 DA. 8nC. 12n為（）r 25nB._241nD.-4解析根據(jù)三視圖得出，幾何體是正方體中的一個(gè)四棱錐方體的棱長(zhǎng)為 2, A, D 為所在棱的中點(diǎn)根據(jù)幾何體可以判斷，球心應(yīng)該在過(guò) A, D 的平行于正方體底面的中截面上，設(shè)球心到平面ST/0- ABCD 正BC0 的距3離為 x,則到 AD 的距離為 2 x，所以氏=x2+ （ 2）2,氏=12+ （2 x）2，解得 x = 4241該多面體外接球的表面積為4nR = n，故選 D.43. （2014 陜西，理）已知底

14、面邊長(zhǎng)為 1，側(cè)棱長(zhǎng)為I2 的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面1112上，則該球的體積為（）C. 2n答案 D1解析因?yàn)樵撜睦庵耐饨忧虻陌霃绞撬睦庵w對(duì)角線的一半，所以半徑r =12+ 12+（：2）2=1,所以 V球=X1 =.故選 D.334.（2018 洛陽(yáng)統(tǒng)一考試）如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積為（）分別為 5、4、3，所以其外接球半徑 R 滿足 2R= 42+ 32+ 52= 5 .2,所以該幾何體的外接球 的表面積為 S= 4nR = 4n X （）2= 50n，故選 D.5. （2018 廣東清遠(yuǎn)三中月考）某一簡(jiǎn)單幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的

15、表面積是（）A. 13nA.32nB. 4nD.A. 200nC. 100n答案 DB. 150nD. 50n解析 由三視圖知，該幾何體可以由一個(gè)長(zhǎng)方體截去3 個(gè)角后得到，該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高B. 16nD. 27n俯視圖3-13C. 25n答案 C14解得 R = 16,所以球 O 的表面積為 4nR = 64n，故選 D.7.（2018 四川廣元模擬）如圖，邊長(zhǎng)為 2 的正方形 ABCD 中,點(diǎn) E, F 分別是 AB, BC 的中點(diǎn), 將厶 ADE EBF, FCD 分別沿 DE, EF, FD 折起，使得 A, B, C 三點(diǎn)重合于點(diǎn) A,若四面 體A解析由于AEF 可以補(bǔ)全為邊長(zhǎng)為

16、1 的正方形，貝 U 該四面體必能補(bǔ)全為長(zhǎng)、寬、高分別為 1 , 1, 2的正四棱柱，三棱錐的外接球與正四棱柱的外接球是同一個(gè)球，易知正四棱柱的外接球的直徑為，12+ 12+ 22= 6.故球的半徑為 8.（2017 德州模擬）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長(zhǎng)為1 的兩個(gè)全等的等腰直角三角形，該幾何體的體積是_;若該幾何體的所有頂點(diǎn)在同一球面上，則球的表面積是解析 由三視圖可知該幾何體是底面為正方形的長(zhǎng)方體，底面對(duì)角線為4，高為 3,設(shè)外接球半徑為 r，則 2r =(2.,2)2+( 2 2)2+ 32= 5, r= | ,長(zhǎng)方體外接球的表面積S2=4nr=25n.6. （2018 福建廈門模擬）已知球 O 的半徑為 R, A, B, C 三點(diǎn)在球 O 的球面上，球心 O 到平AB= AC= BC= 2-3，則球 O 的表面積為（16A亍nB. 16n64C亍nD. 64n答案 D解析 因?yàn)?AB= AC= BC= 2“J3 ,所以 ABC 為正三角形，其外接圓的半徑*、1設(shè)厶 ABC 外接圓的圓心為 O,貝 y