三角形的五心及其應(yīng)用

1、 bachelor s thesis摘要摘要本文對(duì)三角形五心的性質(zhì)，特征以及其在幾何中的應(yīng)用等與三角形五心有關(guān)的重要內(nèi)容進(jìn)行了研究。三角形五心是新頒發(fā)的初中數(shù)學(xué)大綱特別加強(qiáng)的內(nèi)容。與之相關(guān)的幾何問(wèn)題通常涉及的知識(shí)面廣，難度大，要求的技巧性強(qiáng)，故三角形五心問(wèn)題考察學(xué)生邏輯思維能力的較佳題型，近年來(lái)，已成為開(kāi)學(xué)考試以及數(shù)學(xué)竟賽中的熱點(diǎn)。關(guān)鍵詞：關(guān)鍵詞： 三角形的五心，角平分線，高線，中線等目目錄錄摘要摘要.1引言引言.21.1.外心外心.21.1 定義.21.2 重要性質(zhì).21.3 隱含特征.22.2.內(nèi)心內(nèi)心.42.1 定義.42.2 重要性質(zhì).42.3 隱含特征.43.3.重心重心.63.1

2、定義.63.2 重要性質(zhì).63.3 隱含特征.64.4.垂心垂心.74.1 定義 .74.2 重要性質(zhì) .74.3 隱含特征 .75.5.旁心旁心.95.1 定義.95.2 重要性質(zhì).95.3 隱含特征.9總結(jié)總結(jié).11致謝致謝.13引言引言三角形的五心指的是外心，內(nèi)心，重心，垂心，旁心。它們各自是三角形的某三條特殊直線的巧合點(diǎn)。三角形五心各有特點(diǎn)。掌握了它們的定義性質(zhì)及特征，對(duì)熟練應(yīng)用其來(lái)證明某些題是很有幫助的。1.1.外心外心1.11.1 定義定義三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)（即三角形外接圓的圓心） ，稱(chēng)為三角形的的外心。1.21.2 重要性質(zhì)重要性質(zhì)外心與三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。1.

3、31.3 隱含特征隱含特征（1）三角形的三條邊就是外接圓的弦；（2）外心與個(gè)頂點(diǎn)連線將三角形分成三個(gè)等腰三角形；（3）由外心向個(gè)邊作垂線，平分個(gè)邊且平分個(gè)邊所對(duì)的弧；（4）外心與個(gè)邊中點(diǎn)連線必垂直與個(gè)邊；（5）三角形任意邊的垂直平分線必過(guò)其外心；cbao（6）三角形的外心可能在三角形內(nèi)部，外部或邊上（如下圖） 。(直角三角形) （銳角三角形） （鈍角三角形）例 1：若 p 點(diǎn)到三角形 abc 的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，證明 p 點(diǎn)是的外心。abc證明：由已知可以知道 p 點(diǎn)到三角形 abc 的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即 pa=pb=pc 所以 a,b,c 三點(diǎn)到都在以 o 為圓心，pa 為半徑的圓上，

4、這個(gè)圓就是三角形abc 的外接圓從而可知：p 點(diǎn)是三角形 abc 的外心。例 2：證明：若 o 是的外心，則abc3602boca ()a 為鈍角證： （圖 1.1）a 為鈍角 ooabc是abc 的外心是外接圓的圓心。在此圓的 bc 弧的與點(diǎn) a 異側(cè)上任取一點(diǎn)則有，a 2boca *, , a b a c又是共圓點(diǎn). a+ a=180 a=180a 有ooocbapaobca（圖 1.2）圖 1.1代入中有 *3602boca 2.2.內(nèi)心內(nèi)心2.12.1 定義定義三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)（即三角形內(nèi)切圓的圓心） ，稱(chēng)為三角形的內(nèi)心。2.22.2 重要性質(zhì)重要性質(zhì)內(nèi)心到三邊距離相等（即內(nèi)

5、切圓半徑） ；2.32.3 隱含特征隱含特征（1）三角形內(nèi)心與個(gè)頂點(diǎn)連線必平分個(gè)內(nèi)角；（2）三角形各內(nèi)角平分線必過(guò)內(nèi)心；（3）三角形各角的頂點(diǎn)到內(nèi)心所連的線段，在此角的兩邊的射影的長(zhǎng)相等（即圓外一點(diǎn)向圓引的兩條切線長(zhǎng)相等） ；（4）（r 為內(nèi)切圓的半徑） ； , ,abcaadbc過(guò)點(diǎn)作垂直于（5）設(shè) i 為三角形 abc 的內(nèi)心，則 ，1902bica1902aicb。1902aibc例 3：證明：等邊三角形的內(nèi)心與外心重合，并且外接圓半徑是內(nèi)切圓半徑的 2 倍。證：設(shè)等邊,abcaadbc過(guò)點(diǎn)作垂直于垂點(diǎn)為 d,過(guò) b 點(diǎn)做 be 垂直于 ac,垂點(diǎn)為 e,ad 與 be 相交于 f 連接

6、 cf，并延長(zhǎng) cf 交 ab 于 g （圖 2.1） 。baco be adabc與為高，而是等邊三角形。1 2=30bea=90 bdf aef bf=af bc=accf=cf , bfc afc bcg= acg cgabbdaeaccbedacbda ,abbcac f abcbf=fcbd=dcdf=df bdfcdf bf=fcfd fe fg 分別垂直于，。就是的內(nèi)心，同理可得 ： cf=aff 為的外心且 df 為內(nèi)接圓半徑,bf 為外接圓半徑abc adbc bdf 1fbd=abc=3021 fd=bf ,2 直角三角形，又得證.cfedbga（圖 2.1）3.3.重心重

7、心3.13.1 定義定義三角形的三條中線交點(diǎn)稱(chēng)為三角形的重心 。3.23.2 重要性質(zhì)重要性質(zhì)重心到個(gè)邊中的距離等于這邊中線的1 2 13（即重心將每條中線分成：兩段）。3.33.3 隱含特征隱含特征（1）三角形的中線必過(guò)中心；（2）三角形的頂點(diǎn)與重心的連線的延長(zhǎng)線必過(guò)對(duì)邊的中點(diǎn)；（3）三角形的頂點(diǎn)與重心的連線將三角形分成等積三角形， （即每個(gè)三角形的面積等于原三角形的三分之一） 。例 4：證明：重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊重點(diǎn)中點(diǎn)距離的二倍。證明：如圖 3.1： 中 d 為 bc 中點(diǎn)，e 為 ac 中點(diǎn)，f 為 ab 中點(diǎn)，g 為abc的重心，做 bg 中點(diǎn) h，gc 中點(diǎn)abci，的中位線

8、， hi gbc為 2hi = bchibc，且同理：fe 是的中位線，abc ef bc 2ef=bc ef hi ef=hi，且，且， 四邊形 fhie 是平行四邊形 。ocba 3.1ihgefcbahg = ge，又 h 為 bg 的中點(diǎn) ，gh = bh， hg=bh=ge ， 2ge=bg 三角形的重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的兩倍 。4.4.垂心垂心4.14.1 定義定義三角形三條高線的交點(diǎn)稱(chēng)為三角形的垂心 。4.24.2 重要性質(zhì)重要性質(zhì)垂心與三角形頂點(diǎn)的連線使三角形中出現(xiàn) 。4.34.3 隱含特征隱含特征（1）三角形各邊高線必過(guò)垂心；（2）三角形個(gè)頂點(diǎn)與垂心的連線垂直于

9、對(duì)邊；（3）三角形的三條高將三角形所分的三角形，可找到若干對(duì)相似三角形；（4）垂心：三角形兩邊高線的垂足與這兩邊夾角的頂點(diǎn)，四點(diǎn)共圓；（5）三角形的垂心可以在三角形的內(nèi)部，外部或直角頂點(diǎn) 如下圖。bahdcbaefhcbdefahcbao例 5：中，ad，be 是兩條高，ad，be 交abc于點(diǎn) o ，連接 oc 并延長(zhǎng)交 ab 與 f ，求 證 ： 。cf ab證：連接 de ， adb= aeb=90 a b d e ade= abe eao= dac , aeo= dac aeo adc ，四點(diǎn)共圓aead = ead oacaoac acf= ade= abe abe+ bac=90

10、acf+ bac=90 cf ab 又；例 6：已知 h ，o 分別是的垂心及外接圓的圓心 。abcl ah=2ololbc于，求證：habc4.2oolbcl假設(shè)是的垂心（圖）是外心，于。證：以 p，q 分別表示 ha，hb 的中點(diǎn) 。m 表 ac 的中點(diǎn) ，由于 l 是 bc 的中點(diǎn)，可得，1 / ababc2lm（由得出）,故1qp /ababh2（由得出）lm / pq ol/ phbc，且（同垂直于）可見(jiàn) ，om/ qhac（同垂直于）三雙對(duì)應(yīng)邊平行 ， 從而各角對(duì)應(yīng)相等且 lm=qp olmhpq 與4.2ohqplmcba 4.1ofedcba所以 olm hpqah=2ph=2

11、ol ah=2ol . 5.5.旁心旁心5.15.1 定義定義 三角形的每一內(nèi)角平分線和其余兩角的外交平分線的交點(diǎn)（即三角形的旁切圓的圓心） ，稱(chēng)為三角形的旁心 。 5.25.2 重要性質(zhì)重要性質(zhì)旁心與三角形一邊及其它二邊的延長(zhǎng)線的距離相等 。5.35.3 隱含特征隱含特征（1）三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線必過(guò)旁心 ；（2）一個(gè)三角形有三各旁心 ，均在三角形外 。例 7：的頂角 a 的平分線交外接圓于 m，求證：abcm 點(diǎn)與 b 點(diǎn)，c 點(diǎn)，內(nèi)心及內(nèi)的旁心等遠(yuǎn)。a證：設(shè)內(nèi)心是 o 點(diǎn)，內(nèi)的旁心是 e 點(diǎn)，a ama bam= cam bm=cm 平分，又 1cbm= 2cama，11 obm=a+

12、b 22 ，cbamemdocba（圖 5.1） 11bom= oab+ oba =a+b22 bom= obm om=bm bobeb boe=90 bom+ e= ebm+ obm=90e bm=mc=mo=me ，但，分別為內(nèi)，外角的平分線。于是= ebm . bm =m e ,則。注：三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線必過(guò)旁心這個(gè)特征在證明該題的過(guò)程中起到了重要作用。至于三角形的中心這個(gè)概念：當(dāng)三角形為正三角形是五心合一，就叫做三角形的中心。當(dāng)三角形為等腰三角形時(shí)，等要三角形的底邊的中線，高線及等角的角平分線，這個(gè)三線交點(diǎn)合一，就是三角形的中心了，當(dāng)三角形為等邊三角形時(shí)，四心合一（即重心，內(nèi)心，外心，垂心）稱(chēng)為三角形的中心?？偨Y(jié)總結(jié)三角形的五心具有的許多性質(zhì)、特征是其可以廣泛用于解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的依據(jù)。近年來(lái)，三角形五心問(wèn)題作為中考的熱點(diǎn)，其相關(guān)題型往往建立在知識(shí)的交匯點(diǎn)上，具有涉及面廣，綜合性強(qiáng)等特點(diǎn)。故而要想解決此類(lèi)問(wèn)題，必須對(duì)三角形五心的性質(zhì)及特征進(jìn)行比較深入的研究。此外，對(duì)三角形五心的性質(zhì)及特征的熟練掌握也含給現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題解決帶來(lái)很大的方便。參考文獻(xiàn)1 朱德祥，朱維宗.初等幾何研究