(浙江專版)高中數(shù)學(xué)第三章不等式3.1不等關(guān)系與不等式學(xué)案新人教A版必修5

1、13.1不等關(guān)系與不等式預(yù)習(xí)課本 P7274,思考并完成以下問(wèn)題(1)如何用不等式(組)來(lái)表示不等關(guān)系？比較兩數(shù)(或式)的大小有哪些常用的方法？(3)不等式的性質(zhì)有哪幾條？新知初探1. 不等式的概念我們用數(shù)學(xué)符號(hào)“工”、“ ”、“ b,那么a-b是正數(shù)；ab?a-b0如果ab,那么a-b是負(fù)數(shù)；ab?a-bb?bb,bc?ac；可加性：ab?a+cb+c;ab推論(同向可加性)：？a+cb+d；cdabab可乘性：？acbc；?ac0cb0推論(同向同正可乘性)：？acbd；cd0正數(shù)乘方性：ab0?anbn(n N,n1)；課前自上學(xué)巧基稽才能樓高2正數(shù)開方性：ab0?nanb(n N,n2

2、).點(diǎn)睛(1)在應(yīng)用不等式時(shí)，一定要搞清它們成立的前提條件不可強(qiáng)化或弱化成立 的條件.(2)要注意“箭頭”是單向的還是雙向的，也就是說(shuō)每條性質(zhì)是否具有可逆性.小試身手1.判斷下列命題是否正確.(正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“X”)(1) 不等式x2的含義是指x不小于 2()(2) 若ab，則acbc一定成立()若a+cb+d,貝Uab, cd()解析：(1)正確不等式x2表示x2 或x= 2，即x不小于 2,故此說(shuō)法是正確的.(2) 正確.不等式awb表示ab或a=b.故若ab，則acbc不一定成立，故此說(shuō)法是錯(cuò)誤的.(4) 錯(cuò)誤.取a= 4,c= 5,b= 6,d= 2，滿足a+cb+d,但不滿

3、足ab,故此說(shuō)法錯(cuò) 誤.答案：V(2)V(3)XX2. 已知a+b0,bb baB.ababC. abbaD .abab解析：選 C 法一：TAB、C、D 四個(gè)選項(xiàng)中，每個(gè)選項(xiàng)都是唯一確定的答案，可用 特殊值法.令a= 2,b= 1，則有 2 ( 1) 1 2,即abba.法：.a+b0,bb0, ab b0b a，即卩abba.3.設(shè)a,b是非零實(shí)數(shù)，若ab,則下列不等式成立的是()A.a2b2B.ab2a2b11b aC. pcD. rab a ba b解析：選 C 因?yàn)閍0,11ba11所以喬a?=ba0，故喬疔4._若A= (x+3)(x+ 7) ,B= (x+ 4)(x+ 6)，貝U

4、 A, B的大小關(guān)系為 _3解析：由題意得，A=x2+ 10 x+ 21 ,B= x2+ 10 x+ 24,所以AB= 30.4答案：A0,y0,每周生產(chǎn)冰箱(120 xy)臺(tái).111因?yàn)槊恐芩霉r(shí)不超過(guò)40 h，所以-x+3+ 4(120 xy) 40,即 3x+y20,即卩x+y0,xN,y0,yN*.1 將不等關(guān)系表示成不等式的思路(1) 讀懂題意，找準(zhǔn)不等式所聯(lián)系的量.(2) 用適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)連接.(3) 多個(gè)不等關(guān)系用不等式組表示.2用不等式(組)表示不等關(guān)系時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題在用不等式(組)表示不等關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意必須是具有相同性質(zhì)，可以進(jìn)行比較時(shí)，才可用，沒(méi)有可比性的兩個(gè)(或幾個(gè))量之

5、間不能用不等式(組)來(lái)表示.活學(xué)活用1.雷電的溫度大約是28 000C,比太陽(yáng)表面溫度的4.5倍還要高.設(shè)太陽(yáng)表面溫度為tC,那么t應(yīng)滿足的關(guān)系式是_.解析：由題意得，太陽(yáng)表面溫度的4.5 倍小于雷電的溫度，即4.5t28 000.答案：4.5t28 0002.某企業(yè)準(zhǔn)備投資 1 200 萬(wàn)元興辦一所中學(xué)，對(duì)當(dāng)?shù)亟逃袌?chǎng)進(jìn)行調(diào)查后，得到了如譯堂講線設(shè)計(jì)舉一能ii題型一用不等式(組)表示不等關(guān)系典例所以滿足題意的不等式組為5下的數(shù)據(jù)表格(以班級(jí)為單位):學(xué)段硬件建設(shè)(萬(wàn)元)配備教師數(shù)教師年薪(萬(wàn)兀)初中26/班2/班2/人高中54/班3/班2/人因生源和環(huán)境等因素， 全校總班級(jí)至少 20 個(gè)班，

6、至多 30 個(gè)班，請(qǐng)用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示上 述的限制條件(設(shè)開設(shè)初中班x個(gè)，高中班y個(gè)).解：根據(jù)題意，限制條件為20Wx+yw30,26x+54y+2X2x+3X2y0,xN,y0,yN,20 x+y0,xN,y0,yN.不等式的性質(zhì)典例已知b2a,3db 3d解析由于b2a,3dc,則由不等式的性質(zhì)得b+ 3d0,所以a+ 2a 1a 2, 24則(a+ 2a 1) (a 2)，故 A 選項(xiàng)說(shuō)法正確；對(duì)于 B,當(dāng)a= 1 時(shí)，(a 1) = 0, (a 2)=1,所以(a 1)4(a 2)4不成立；對(duì)于 C 和 D,因?yàn)?0a3bdC.2a+cb+ 3dD . 2a+ 3db+c下列說(shuō)法不正確

7、的是(A.B.)233a R,則(a+ 2a 1) (a 2)a R,則(a 1) (a 2)C.0a 1bD.0ab,則a3bc,且a+b+c= 0,則下列不等式恒成立的是()A.abbcC.abacD .a|b|b|c解析：選 C 因?yàn)閍bc,且a+b+c= 0，所以a0,cac.1已知a0，試比較a與 的大小.af32解(1)(X 1) (2x 2x)2=(x1)(x+x+1) 2x(x 1)=(x1)(x2x+1)123=(x1)x2 + 4 .B.acbc2.若ab0,cd0,eb-d2.證明：cdd0.2 2又ab0,acbd0,則(ac) (bd) 0,即1_1_acbd又e0,

8、eacebd1題型三數(shù)式的大小比較2典例已知x1，比較x3 1 與 2x2 2x的大小;7十 123x1,x 10,248（X-1）X-12+ 4 0.3,2小x- 10,所以當(dāng)a1 時(shí)，aa 1a+ 1當(dāng)a=1時(shí)，-a-=0，綜上，當(dāng)a1 時(shí)，aa；at丄1當(dāng)a= 1 時(shí)，a=-；at丄1當(dāng) 0a1 時(shí)，ab0,比較22ab .22與a2+baba+b的大小.10,有a訂；a1a=a；當(dāng) 0a1 時(shí),a 1a+ 1L，1ab0,. 2ab0,ab0,a+b0,a+b0,2 .若m2,比較mV與 2“的大小.mm mmmmmm0m m解：因?yàn)橐?2，又因?yàn)閙2，所以 21，所以 2 = 1，所

9、以m2 .解取值范圍1用不等式性質(zhì)求典例 已知 1vav4,2vbv8,試求 2a+ 3b與ab的取值范圍.解/ 1vav4,2vbv8 , 2v2av8,6v3bv24. 8v2a+3bv32./ 2vbv8, 8vbv 2.又/ 1vav4, 1 + ( 8)va+ (b)v4+ ( 2),即7vabv2.故 2a+ 3b的取值范圍是(8,32) ,ab的取值范圍是(一 7,2).i同向不等式具有可加性與可乘性，但是不能相減或相除，應(yīng)用時(shí)，要充分利用所給條件:i 進(jìn)行適當(dāng)變形來(lái)求范圍，注意變形的等價(jià)性:!i.在本例條件下，求b的取值范圍.”iii十解： 2vbv8,. 8v2，而 1vav

10、4,二 1X8va 1v4X2，即 2.8b28b故b的取值范圍是 8,2b8!不等式兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變，同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變，求j!解中，應(yīng)明確所乘數(shù)的正負(fù).- :2.已知一 6vav8,2vbv3,求學(xué)的取值范圍.解：T6vav8,2vbv3.3vbv12,得-aba+b0,所以淸簾.111當(dāng) Owav8 時(shí)，Ow4 ；ba2當(dāng)一 6vav0 時(shí)，一 3vb 0.由得：一 3a400C. 30 x60w400D.30 x+40w400解析：選 Bx月后他至少有400 兀，可表示成 30 x+ 60400.2.已知a,b,c滿足cba，且acacB .c(ba)02

11、 2C. cb0解析：選 A 由cba,且ac0,cc,a0?abac, A 正確；由ba,c0, B 錯(cuò)誤；由c0?cb2wab2,當(dāng)b= 0 時(shí)取等號(hào)，故 C 錯(cuò)誤；由ca,ac0?ac(ac)b,cb,貝 UacB.右ab,貝ycavc+ba b12C.若ab,cvd,則cJ22D.若ab,則avb解析：選 B 選項(xiàng) A,若a= 4,b= 2,c= 5,顯然不成立，選項(xiàng) C 不滿足倒數(shù)不等式的 條件，如ab0,cv0vd時(shí)，不成立；選項(xiàng) D 只有ab0 時(shí)才可以.否則如a= 1,b= 0 時(shí)不成立，故選 B.nnD4.設(shè)a 0,卩 0,，則2a -3 的范圍是（）5n5A.0,n6B.6

12、,6nnC.(0, n)D.-6,n解析：選 D0v2avn,0WWn36，n3nS否W 3 W0,由同向不等式相加得到一6v2a-3 vn.15.已知M=2x+ 1,N=2，貝U M N的大小關(guān)系為()寸1+xA.MNB .M0,.M=2x+ 11，而x2+ 1 1,1 2W1, MN,故選 A.：1 + x6.某校高一年級(jí)的213 名同學(xué)去科技館參觀，租用了某公交公司的x輛公共汽車.如果每輛車坐 30 人，則最后一輛車不空也不滿則題目中所包含的不等關(guān)系為 _.30 x 1213.30 x 12137._ 比較大?。篴2+b2+c22(a+b+c) 4.2 2 2解析：a+b+c 2(a+b

13、+c) 42 2 2=a+b+c 2a 2b 2c+ 42 2 2=(a 1) + (b 1) + (c 1) +1 1 0,222故a+b+c2(a+b+c) 4.答案：13&已知一 Kx+yw4,且 2wxyw3,貝Uz= 2x 3y的取值范圍是 _（用區(qū)間表示）15解析：Tz= 2（x+y） + 2（xy）,115152w2（x+y）w2，5w2（xy）w2，15 3W2（x+y）+2（xy）w8, z 的取值范圍是3,8 答案：3,89 兩種藥片的有效成分如下表所示：、成分阿司匹林小蘇打可待因藥片、（mg）（mg）（mg）A（1 片）251耳 1 片）176若要求至少提供 12

14、 mg 阿司匹林，70 mg 小蘇打和 28 mg 可待因，求兩種藥片的數(shù)量應(yīng) 滿足怎樣的不等關(guān)系？用不等式的形式表示出來(lái).解：設(shè)提供A藥片x片，B藥片y片，由題意可得：2x+y 12, 5x+ 7y 70,x+ 6y 28,x0,xN, y0,y N.b a10. （1）若abv0，求證：-b, - 0.a b/ab 0,b+a0,ab0,b+aba丄，b a 0,故一 二aba b1 1abb,.bav0，二ab 0.ab層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1 若X R,y R,則()2222A.x+y2xy 1B.x+y= 2xy 12222C.x+y2xy 1D .x+y 0,所以x+y2xy1，故選

15、A.2.已知a1(0,1),a2(0,1)，記M= a?,N=a1+a2 1，則M與N的大小關(guān)系是()A.MNC. M=ND.MkN解析：選 Ba1 (0,1) ,a2 (0,1) ,. 1a1 10, 1a2 10 ,.MN,故選 B.3.若一 1a31，則下列各式中恒成立的是()A. 2a30B . 2a3 1C. 1a30D . 1a31解析：選 A 由一 1a1， 131，得一 131, 2a32.又.a3,故知2a385A.y90z 95x85x 85C.y90D.y90z95z 95解析：選 Cx超過(guò) 85 分表示為x85,y不低于 90 分表示為y90,z高于 95 分，表 示為z95,故選 C.15._ 已知|a|v1,則石二與 1 a的大小x 85B.y90z9515關(guān)系為 _ .1 十a(chǎn)解析：由 |a|v1,得一 1vav1.二 1 十a(chǎn) 0,1 a 0.1611 +a1即=21 a1 a-Ov1a2w1,.占1,.土1a.6.給出下列四個(gè)命題：若ab,cd，則adbc;若a2xa2y，則xy:ab,111 1則匚ba；若ab0,則abd得：dc,同向不等式相加得：adbc；若a2xa2y,顯然a20,所以xy成立；ab,則土不一定成立，如a= 1,b= 1 ；若ab0，貝 yba0，即卩abb時(shí)，xy0,所以xy;當(dāng)a=b時(shí)，xy=