《空間向量》基礎(chǔ)知識點(diǎn)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載空間向量及其運(yùn)算2空間向量的運(yùn)算定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運(yùn)算如下oboaabab;baoaobab;()opar運(yùn)算律：加法交換律：abba加法結(jié)合律：()()abcabc數(shù)乘分配律：()abab3平行六面體平行四邊形abcd平移向量a到dcba的軌跡所形成的幾何體，叫做平行六面體，并記作abcd-a b c d它的六個(gè)面都是平行四邊形，每個(gè)面的邊叫做平行六面體的棱4. 平面向量共線定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量由于任何一組平行向量都可以平移到同一條直線上，所以平行向量也叫做共線向量向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)

2、， 使ba. 要注意其中對向量a的非零要求5. 共線向量如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量a平行于b記作ba/當(dāng)我們說向量a、b共線（或a/b）時(shí)，表示a、b的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線6 共線向量定理： 空間任意兩個(gè)向量a、b（b0） ，a/b的充要條件是存在實(shí)數(shù) ，使ab. 推論：如果l為經(jīng)過已知點(diǎn)a 且平行于已知非零向量a的直線，那么對于任意一點(diǎn)o，點(diǎn) p 在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t 滿足等式toaopa其中向量a叫做直線l的方向向量 . 空間直線的向量參數(shù)表示式：toaopa或)(oaobtoaopobto

3、at)1 (，中點(diǎn)公式)(21oboaop7向量與平面平行：已知平面和向量a，作oaa，如果直線oa平行于或在內(nèi)，那么我們說向量a平行于平面，記作：/a通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量說明：空間任意的兩向量都是共面的8共面向量定理：如果兩個(gè)向量,a b不共線，p與向量,a b共面的充要條件是存在實(shí)數(shù), x y使pxayb推論：空間一點(diǎn)p位于平面mab內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對,x y，使mpxmaymb或?qū)臻g任一點(diǎn)o，有opomxmaymb或,(1)opxoayobzomxyz上面式叫做平面mab的向量表達(dá)式9空間向量基本定理：如果三個(gè)向量, ,a b c不共面，那么對空間

4、任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組, ,x y z，使pxaybzc若三向量, ,ab c不共面，我們把 , , a b c叫做空間的一個(gè)基底，, ,a b c叫做基向量，空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底推論：設(shè),o a b c是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)p，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù), ,x y z，使學(xué)習(xí)必備歡迎下載opxoayobzoc10 空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量,a b，在空間任取一點(diǎn)o，作,oaa obb，則aob叫做向量a與b的夾角，記作,a b；且規(guī)定0,a b，顯然有,a bb a；若,2a b，則稱a與b互相垂直，記作：ab. 11向量的模：

5、設(shè)oaa，則有向線段oa的長度叫做向量a的長度或模，記作：|a. 12向量的數(shù)量積： 已知向量,a b，則| | | | c o s,aba b叫做,a b的數(shù)量積， 記作a b，即a b| | | |c o s,abab已知向量aba和軸l，e是l上與l同方向的單位向量，作點(diǎn)a在l上的射影a，作點(diǎn)b在l上 的 射 影b， 則a b叫 做 向 量ab在 軸l上 或 在e上 的 正 射 影 . 可 以 證 明a b的 長 度| | c os,|a ba ba eae13空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：（1）| cos,a eaa e （2）0aba b（3）2|aa a14空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：（1）()

6、()()aba bab （2）a bb a（交換律）（3）()abca ba c（分配律）空間向量的直角坐標(biāo)及其運(yùn)算1 空間直角坐標(biāo)系：（1）若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長為1，這個(gè)基底叫單位正交基底，用 , , i j k表示；（2）在空間選定一點(diǎn)o和一個(gè)單位正交基底 , , i j k，以點(diǎn)o為原點(diǎn)，分別以, ,i j k的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫坐標(biāo)軸我們稱建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系oxyz，點(diǎn)o叫原點(diǎn)， 向量, ,i j k都叫坐標(biāo)向量 通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為xoy平面，yoz平面，zox平面；2空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直

7、角坐標(biāo)系oxyz中，對空間任一點(diǎn)a，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組( , , )x y z，使oaxiyjzk，有序?qū)崝?shù)組( , , )x y z叫作向量a在空間直角坐標(biāo)系oxyz中的坐標(biāo)，記作( , , )a x y z，x叫橫坐標(biāo)，y叫縱坐標(biāo)，z叫豎坐標(biāo)常見坐標(biāo)系正方體如圖所示， 正方體abcda b c d的棱長為a，一般選擇點(diǎn)d為原點(diǎn)，da、dc、dd所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系dxyz，則各點(diǎn)坐標(biāo)為亦可選a點(diǎn)為原點(diǎn) . 在長方體中建立空間直角坐標(biāo)系與之類似. 正四面體如圖所示，正四面體abcd的棱長為a，一般選擇a在bcd上的射影為原點(diǎn)，oc、od（或ob） 、oa所在直線

8、分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系oxyz，則各點(diǎn)坐標(biāo)為正四棱錐如圖所示，正四棱錐pabcd的棱長為a，一般選擇點(diǎn)p在平面aadbbdccyzxbcadozxyabcdpoxyz學(xué)習(xí)必備歡迎下載abcd的射影為原點(diǎn)，oa（或oc） 、ob（或od） 、op所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系oxyz，則各點(diǎn)坐標(biāo)為正三棱柱如圖所示， 正三棱柱abca b c的底面邊長為a，高為h，一般選擇ac中點(diǎn)為原點(diǎn)，oc（或oa） 、ob、oe（e為o在a c上的射影） 所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系oxyz，則各點(diǎn)坐標(biāo)為3空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：（1）若123(,)a

9、a a a，123( ,)bb b b，則112233(,)abab ab ab，112233(,)abab ab ab，123(,)()aaaar，1 1223 3a ba ba ba b，112233/,()abab ab abr，1 122330ababa ba b（2）若111(,)a x y z，222(,)b xyz，則212121(,)abxxyy zz一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)4 模長公式：若123(,)aa a a，123(,)bb b b，則222123|aa aaaa，222123|bb bbbb5夾角公式：1 122

10、33222222123123cos| |a ba ba ba ba babaaabbb6兩點(diǎn)間的距離公式：若111(,)a x y z，222(,)b xyz，則2222212121|()()()ababxxyyzz，或222,212121()()()a bdxxyyzz空間向量應(yīng)用一、直線的方向向量把直線上任意兩點(diǎn)的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量. 在空間直角坐標(biāo)系中，由111(,)a xy z與222(,)b xyz確定直線ab的方向向量是212121(,)abxx yy zz. 平面法向量如果a，那么向量a叫做平面的法向量 . 二、證明平行問題1證明線線平行：證明兩直線平行可用

11、112233/,()abab ab abr或312123/aaaabbbb. 2.證明線面平行直線l的方向向量為a，平面的法向量為n，且l，若an即0a n則/a.3.證明面面平行平面的法向量為1n，平面的法向量為2n，若12/nn即12nn則/. 三、證明垂直問題1證明線線垂直證明兩直線垂直可用1 122330aba baba ba b2證明線面垂直直線l的方向向量為a，平面的法向量為n，且l，若/an即an則a. 3.證明面面垂直平面的法向量為1n，平面的法向量為2n，若12nn即120n n則. bcacabxyzoe學(xué)習(xí)必備歡迎下載四、夾角1求線線夾角設(shè)123(,)aa a a，123

12、(,)bb b b，(0 ,90 為一面直線所成角，則：| | cos,a baba b；1 12233222222123123cos,| |a ba ba ba ba babaaabbb；cos|cos,|a b. 2求線面夾角如圖，已知pa為平面的一條斜線，n為平面的一個(gè)法向量，過p作平面的垂線po，連結(jié)oa則pao為斜線pa和平面所成的角，記為易得sin|sin(,)|2op ap|cos,|op ap| cos,|n ap|cos,|n pa|n panpa. 3求面面夾角設(shè)1n、2n分別是二面角兩個(gè)半平面、的法向量，當(dāng)法向量1n、2n同時(shí)指向二面角內(nèi)或二面角外時(shí)，二面角的大小為12,

13、n n；當(dāng)法向量1n、2n一個(gè)指向二面角內(nèi)，另一外指向二面角外時(shí)，二面角的大小為12,n n.五、距離1求點(diǎn)點(diǎn)距離設(shè)111(,)a xy z，222(,)b xyz，222,212121()()()a bdxxyyzz222212121|()()()abab abxxyyzz2求點(diǎn)面距離如圖，a為平面任一點(diǎn)，已知pa為平面的一條斜線，n為平面的一個(gè)法向量，過p作平面的垂線po，連結(jié)oa則pao為斜線pa和平面所成的角，記為易得| | sin| |cos,|popapapa n| |pa npapan|pa nn.3求線線距離求異面直線間的距離可以利用向量的正射影性質(zhì)直接計(jì)算. 如圖，設(shè)兩條異面直線a、b的公垂線的方向向量為n, 這時(shí)分別在a、b上任取a、b兩點(diǎn)，則向量在n上的正射影長就是兩條異面直線a、b的距離 . 即兩異面直線間的距離等于兩異面直線上分別任取兩點(diǎn)的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值.