中考復(fù)習(xí)專(zhuān)題之三角函數(shù)與幾何結(jié)合

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載與三角函數(shù)有關(guān)的幾何題例 1、如圖 3，直線(xiàn)ab經(jīng)過(guò) o 上的點(diǎn)c，并且oaob，cacb， o 交直線(xiàn)ob于ed，連接eccd，（1）求證：直線(xiàn)ab是 o 的切線(xiàn)；（2）試猜想bcbdbe，三者之間的等量關(guān)系，并加以證明；（3）若1tan2ced， o 的半徑為3，求oa的長(zhǎng)析解： （1）證明：如圖6，連接ocoaob，cacb，ocabab是 o 的切線(xiàn)（2）bc2=bd beed是直徑，90ecd90eedc又90bcdocd，ocdodc，bcde又cbdebc，bcdbecbcbdbebc bc2=bd be. （3）1tan2ced，12cdecbcdbec，12b

2、dcdbcec設(shè)bdx，則2bcx又 bc2=bd be，（ 2x）2=x(x+6) 解之，得10 x，22x0bdx，2bd325oaobbdod學(xué)習(xí)必備歡迎下載2、已知：如圖，ab是 o 的直徑，10ab, dc切 o 于點(diǎn)caddc，垂足為d，ad交 o 于點(diǎn)e（1）求證：bcec; （2）若4cos5bec, 求dc的長(zhǎng)3、如圖， 以線(xiàn)段 ab 為直徑的 o 交線(xiàn)段 ac 于點(diǎn) e，點(diǎn) m 是的中點(diǎn)， om 交 ac于點(diǎn) d， boe=60 ，cosc=，bc=2（1）求 a 的度數(shù)；（2）求證： bc 是 o 的切線(xiàn)；（3）求 md 的長(zhǎng)度分析： （1）根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)即可得出a

3、的度數(shù)（2）要證 bc 是 o 的切線(xiàn)，只要證明ab bc 即可（3）根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)，運(yùn)用三角函數(shù)的知識(shí)求出md 的長(zhǎng)度解答： （1）解： boe=60 ， a=boe=30 （2）證明：在 abc 中， cosc=， c=60 又 a=30 ， abc=90 ， ab bc bc 是 o 的切線(xiàn)（3）解：點(diǎn)m 是的中點(diǎn)， om ae在 rtabc 中， bc=2， ab=bc ?tan60 =2=6oa=3， od=oa=， md=點(diǎn)評(píng)： 本題綜合考查了三角函數(shù)的知識(shí)、切線(xiàn)的判定要證某線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，已知此線(xiàn)過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可4、如圖，已知rtabc 和 rt

4、ebc ， b=90 以邊 ac 上的點(diǎn) o 為圓心、 oa 為半徑的 o 與 ec 相切， d 為切點(diǎn)， ad bc（1）用尺規(guī)確定并標(biāo)出圓心o； （不寫(xiě)作法和證明，保留作圖痕跡）（2）求證： e=acb ；（3）若 ad=1 ，求 bc 的長(zhǎng)d c b o a e 學(xué)習(xí)必備歡迎下載分析： （1）若 o 與 ec 相切，且切點(diǎn)為d，可過(guò) d 作 ec 的垂線(xiàn)，此垂線(xiàn)與ac 的交點(diǎn)即為所求的o 點(diǎn)（2） 由 （1） 知 odec， 則 oda 、 e 同為 ade 的余角，因此 e=oda= oad ，而 ad bc，可得 oad= acb ，等量代換后即可證得e=acb （3）由（ 2）證得

5、 e=acb ，即 tane=tandac=，那么 bc=ab；由于ad bc，易證得 ead ebc，可用 ab 表示出 ae、bc 的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形所得比例線(xiàn)段即可求出ab 的長(zhǎng)，進(jìn)而可得到bc 的值解答： （1）解： （提示： o 即為 ad 中垂線(xiàn)與 ac 的交點(diǎn)或過(guò)d 點(diǎn)作 ec 的垂線(xiàn)與ac的交點(diǎn)等）（2）證明：連接od ad bc， b=90 ， ead=90 e+eda=90 ，即 e=90 eda 又圓 o 與 ec 相切于 d 點(diǎn)， odec eda+ oda=90 ，即 oda=90 eda e=oda ；又 od=oa ， dac= oda ， dac= e ）ad

6、 bc， dac= acb ， e= acb （3）解： rtdea 中， tane=，又tane=tandac=，ad=1 ， ea= rtabc 中， tanacb=，又 dac= acb ， tanacb=tan dac =，可設(shè)ab=， bc=2x ，ad bc， rtead rtebc=，即x=1，bc=2x=2 學(xué)習(xí)必備歡迎下載點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了切線(xiàn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判斷和性質(zhì)等重要知識(shí)，能夠準(zhǔn)確的判斷出o 點(diǎn)的位置，是解答此題的關(guān)鍵5、如圖，在 abc 中， ab=ac ，以 ab 為直徑的半圓o 交 bc 于點(diǎn) d，de ac，垂足為 e（1）求證：點(diǎn)d

7、 是 bc 的中點(diǎn)；（2）判斷 de 與 o 的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如果 o 的直徑為 9，cosb=，求 de 的長(zhǎng)分析： （1）連接 ad ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)易證；（2）相切連接od，證明 odde 即可根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理證明；（3）由已知可求bd ，即 cd 的長(zhǎng)；又 b=c，在 cde 中求 de 的長(zhǎng)解答： （1）證明：連接ad ab 為直徑， ad bc ab=ac ，d 是 bc 的中點(diǎn)；（2）de 是 o 的切線(xiàn)證明：連接od bd=dc ，ob=oa ，odac ac de， oddede 是 o 的切線(xiàn)（3）解： ab=9 ，cosb=，bd=3 cd=3

8、 ab=ac ， b=c，cosc=在 cde 中， ce=1，de=點(diǎn)評(píng)： 此題考查了切線(xiàn)的判定、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，屬基礎(chǔ)題，難度不大6、如圖以 abc 的一邊 ab 為直徑作 o， o 與 bc 邊的交點(diǎn)d 恰好為 bc 的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)d 作 o 的切線(xiàn)交 ac 邊于點(diǎn) e（1）求證： deac ；（2）若 abc=30 ，求 tanbco 的值分析： （1）連接 od，根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理可求出odac ，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)可證明 deod，進(jìn)而得證（2）過(guò) o 作 of bd，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)的定義用ob 表示出 of、cf 的長(zhǎng)，根據(jù)三角函數(shù)的定義求解解答： （1）證明

9、：連接od o 為 ab 中點(diǎn)， d 為 bc 中點(diǎn)，odac de 為 o 的切線(xiàn)， de od deac 學(xué)習(xí)必備歡迎下載（2）解：過(guò)o 作 ofbd，則 bf=fd 在 rtbfo 中， b=30 ，of=ob，bf=ob bd=dc ， bf=fd ，fc=3bf=ob在 rtofc 中，tanbco=點(diǎn)評(píng)： 本題比較復(fù)雜，綜合考查了三角形中位線(xiàn)定理及切線(xiàn)的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義等知識(shí)點(diǎn)，有一定的綜合性7、如圖，在等腰梯形abcd 中， ad bc o 是 cd 邊的中點(diǎn)，以o 為圓心， oc長(zhǎng)為半徑作圓，交bc 邊于點(diǎn) e過(guò) e 作 eh ab，垂足為h已知 o 與 ab 邊相切，切點(diǎn)

10、為f（1）求證： oeab ；（2）求證： eh=ab；（3）若，求的值分析： （1）判斷出 b=oec，根據(jù)同位角相等得出oeab；（2）連接 of，求出 eh=of=dc=ab （3）求出 ehb dec，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理解答解答： （1）證明：在等腰梯形abcd 中， ab=dc ， b= c， oe=oc ， oec=c， b=oec， oeab （2）證明：連接of o 與 ab 切于點(diǎn) f， of ab， ehab ，ofeh，又 oeab，四邊形oehf 為平行四邊形，eh=of，of=cd=ab ， eh=ab（3）解：連接 decd 是直徑， dec=90 ，則

11、dec=ehb ，又 b=c， ehb dec，=，=，設(shè) bh=k ，則 be=4k，eh=k，學(xué)習(xí)必備歡迎下載cd=2eh=2k，=點(diǎn)評(píng)： 本題考查了圓的切線(xiàn)性質(zhì)，運(yùn)用切線(xiàn)的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線(xiàn)連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形、矩形解決有關(guān)問(wèn)題8、如圖，等腰三角形abc 中， ac=bc=10 ，ab=12 以 bc 為直徑作 o 交 ab 于點(diǎn) d，交 ac 于點(diǎn) g，dfac，垂足為 f，交 cb 的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)e（1）求證：直線(xiàn)ef 是 o 的切線(xiàn)；（2）求 sine 的值分析： （1）求證直線(xiàn)ef 是 o 的切線(xiàn)，只要連接od 證明 odef 即可；（2）根據(jù)

12、e=cbg，可以把求sine 的值得問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求sincbg，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求 rtbcg 中，兩邊的比的問(wèn)題解答： （1）證明：方法1：連接 od、cdbc 是直徑， cd ab ac=bc d 是 ab 的中點(diǎn) o 為 cb 的中點(diǎn)，odac df ac， odef ef 是 o 的切線(xiàn)方法 2：因?yàn)?ac=bc ，所以 a= abc ，因?yàn)?adf= edb （對(duì)頂角），ob=od ，所以 dbo= bdo，所以 a+adf= edb+ bdo=90 ef 是 o 的切線(xiàn)（2）解：連bg bc 是直徑， bgc=90 cd=8 ab?cd=2sabc=ac ?bg，bg= cg=bgac ，

13、dfac ， bgef e=cbg，sine=sincbg=點(diǎn)評(píng)： 考查切線(xiàn)的判定，要證某線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，已知此線(xiàn)過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)，再證垂直即可9、如圖 9，直線(xiàn) y=kx-1 與 x 軸、 y 軸分別交與b、c兩點(diǎn)， tan ocb=21. （1）求 b點(diǎn)的坐標(biāo)和k 的值；學(xué)習(xí)必備歡迎下載（2）若點(diǎn) a （x， y） 是第一象限內(nèi)的直線(xiàn)y=kx-1 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) . 當(dāng)點(diǎn) a運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，試寫(xiě)出 aob的面積 s與 x 的函數(shù)關(guān)系式；（3）探索：當(dāng)點(diǎn) a運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)， aob 的面積是41；在成立的情況下，x 軸上是否存在一點(diǎn)p，使 poa是等腰三角形. 若存在，請(qǐng)寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的所有p點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 圖 9 【答案】解：（ 1） y= kx-1與 y 軸相交于點(diǎn)c，oc=1 tan ocb=