《空間向量在立體幾何中的應用》教學設計

1、學習必備歡迎下載空間向量在立體幾何中的應用教學設計一. 教學目標（一）知識與技能1. 理解并會用空間向量求線線角、線面角、二面角的余弦值；2. 理解并會用空間向量解決平行與垂直問題. （二）過程與方法1. 體驗用空間向量求線線角、線面角、二面角的余弦值的過程；2. 體驗用空間向量解決平行與垂直問題的過程（三）情感態(tài)度與價值觀1. 通過理解并用空間向量求線線角、線面角、二面角的余弦值，用空間向量解決平行與垂直問題的過程， 讓學生體會幾何問題代數(shù)化， 領悟解析幾何的思想；2. 培養(yǎng)學生向量的代數(shù)運算推理能力；3. 培養(yǎng)學生理解、運用知識的能力二. 教學重、難點重點：用空間向量求線線角、線面角、二面

2、角的余弦值及解決平行與垂直問題難點：用空間向量求二面角的余弦值三. 教學方法：情景教學法、啟發(fā)式教學法、練習法和講授法四. 教學用具：電腦、投影儀五. 教學設計（一）新課導入1. 提問學生：（1）怎樣找空間中線線角、線面角和二面角的平面角？（2）能否用代數(shù)運算來解決平行與垂直問題？（二）新課學習1. 用空間向量求線線角、線面角、二面角的余弦值. （1）設12,ll是兩條異面直線，,a b是1l上的任意兩點，,c d是直線2l上的任意兩點，則12,l l所成的角的余弦值為cdabcdab. （2）設 ab是平面的斜線，且,bbc是斜線 ab 在平面內(nèi)的射影，則斜線 ab 與平面所成的角的余弦值為

3、bcabbcab. 設n是平面的法向量， ab是平面的一條斜線，則ab與平面所成的角的余弦值為nabnab. 學習必備歡迎下載（3）設12,n n 是二面角l的面,的法向量，則2121nnnn就是二面角的平面角或補角的余弦值 . 例 1：在棱長為a的正方體abcda b c d中， ef 分別是,bc a d的中點，（1）求直線acde與所成角的余弦值 . （2）求直線 ad 與平面b edf 所成的角的余弦值 . （3）求平面b edf 與平面 abcd 所成的角的余弦值 . 分析：啟發(fā)學生找出三條兩兩垂直的直線ab,ad,aa ，建立空間直角坐標系a-xyz ，根據(jù)已知找出相關點的坐標，然

4、后寫出相關向量的坐標，并進行運算就可以得到所求的結果 . 解： （1）如圖建立坐標系，則(0,0, ),( , ,0),(0, ,0),( ,0)2aaa c a adae a. ( , ,),( ,0)2aaca aadea. 15cos,15acdeac deacde. 故acde與所成的角的余弦值為1515. （2）,adeadf所以 ad 在平面b edf 內(nèi)的射影在edf 的平分線上，又b edf 為菱形，db 為edf 的平分線，故直線 ad 與平面bedf 所成的 角 為a d b， 建 立 如 圖 所 示 坐 標 系 ， 則(0,0,0),( ,0,),(0, ,0)ab aa

5、da，(0,0),( , )daadbaa a ，3cos,3dadbda dbdadb. 故 ad 與平面b edf 所成角的余弦值為33. da b c d e f g abcx y z 學習必備歡迎下載（3）由(0,0,0),(0,0, ),( ,0, ),(0, ,0),( ,0)2aaaa b aa dae a, 所以平面 abcd的法向量為(0,0, )maaa , 下面求平面b edf 的法向量，設(1, , )ny z，由(, 0),(0,)22aaedaeba，0210nedyzneb，(1,2,1)n. 6cos,6mnn mmn. 所以，平面b edf 與平面 abcd

6、所成的角的余弦值為66. 課堂練習：1. 如圖，paabc平面，,1,2acbc paacbc，求二面角apbc 的余弦值 . 參考答案：解：建立如圖所示空間直角坐標系cxyz，取 pb的中點 d ，連,dc可證dcpb，作 aepb 于 e，則向量dcea與的夾角的大小為二面角apbc的大小。(1,0,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,0,1)abcp， d 為 pb的中點，12 1(,)222，在 rt pab中，2213peapebab. 13epb分的比為，32 3123(,)(,)444444eea121(,)222dc，13,22eadcea，a b c p d e x

7、y z 學習必備歡迎下載1321,cos,3312dcea dc. 二面角 apcc 的余弦值為33. 引導學生歸納：用空間向量求二面角的余弦值時， 是將求二面角的余弦值問題轉化為求兩平面的法向量的夾角的余弦值問題，這里要明確：（1）當法向量12nn與的方向分別指向二面角內(nèi)側與外側時，二面角的大小等于法向量12nn與的夾角的大??；（2）當法向量12nn與的方向同時指向二面角的內(nèi)側或外側時，二面角的大小等于法向量12nn與的夾角的補角12,n n. 2. 利用向量向量解決平行與垂直問題. 例 2：如圖 , 在直三棱柱abc a1b1c1中，ac 3，bc 4，aa14，5ab, 點 d是 ab的

8、中點，（i ）求證： ac bc1；（ii ）求證： a1c/ 平面 cdb1.分析：啟發(fā)學生找出三條兩兩垂直的直線ca,cb,cc1，建立空間直角坐標系c-xyz，根據(jù)已知找出相關點的坐標，然后寫出相關向量的坐標，并進行運算就可以得到兩條直線垂直或平行. 解：直三棱柱abc a1b1c1底面三邊長ac 3，bc 4，ab 5，ac 、bc 、c1c兩兩垂直，如圖，以c為坐標原點，直線ca 、cb 、c1c分別為 x 軸、y 軸、z 軸，建立空間直角坐標系，則c（0,0 ，0） ，a （3,0 ，0） ，c1（0,0 ，4） ，b（0,4，0） ，b1（0,4 ，4） ，d（23，2,0 ）（

9、1）ac（3,0 ，0） ，1bc （0，4,0 ） ，ac?1bc 0，ac bc1. 學習必備歡迎下載（2）設 cb1與 c1b的交戰(zhàn)為 e，則 e（0,2 ，2）. de（23，0,2 ） ，1ac （3,0 ，4） ，112deac ，de ac1. de平面 cdb1，ac1平面 cdb1. ac1/ 平面 cdb1. 引導學生歸納：（1）垂直問題轉化為：判定空間向量的數(shù)量積是否為零；（2）平行問題轉化為：面面平行線面平行線線平行 . 課堂練習：2. 在直三棱柱111abca b c中，13,4,5,4acbcabaa, （1）求證1;acbc（2）在 ab上是否存在點 d 使得1?

10、accd（3）在 ab上是否存在點 d 使得11/accdb平面. 參考答案：解：直三棱柱111abca b c，13,4,5,acbcabac bc cc兩兩垂直，以 c為坐標原點，直線1,ca cb cc分別為x軸 y 軸，z軸，建立空間直角坐標系，則1(0,0, 4),(3,0,0),(0,0, 4)cac，1(0,4,0),(0, 4,4)bb. （1）1( 3,0,0),(0, 4,4)acbc，110,acbcacbcacbc. （2）假設在 ab上存在點 d ，使得1accd，則( 3 ,4 ,0)adab其中 01，則(33 ,4,0)d，于是(33 ,4 ,0)cd由于1(

11、3,0,4)ac，且1accd. 所以990 得1，所以在 ab 上存在點 d 使得1accd，且這時點 d 與點 b重合. （3） 假設在 ab 上存在點 d 使得11/accdb平面， 則(3,4, 0 )a da bc a b x d 1ay z 1b1c學習必備歡迎下載其中 01則(33 ,4,0)d，1(33 ,44, 4)b d又1(0, 4, 4).bc由于1(3 ,0,4)ac，11/accdb平面，所以存在實數(shù)111, ,m nacmb dnbc使成立，(33 )3,(44)40, 444,mmnmn所以12，所以在 ab 上存在點 d 使得11/accdb平面，且 d 使 ab 的中點 . 引導學生感悟：空間向量有一套良好的運算性質，它可以把幾何圖形的性質轉化為向量運算，實現(xiàn)了數(shù)與形的結合， 在解決立體幾何的夾角、 平行與垂直等問題中體現(xiàn)出巨大的優(yōu)越性 . （二）課外作業(yè)1. 如圖, 在直三棱柱 abc a1b1c1中， acb=