復(fù)數(shù)的三角形式及乘除運(yùn)算

1、復(fù)數(shù)的三角形式及乘除運(yùn)算 一、主要內(nèi)容: 復(fù)數(shù)的三角形式，模與輻角的概念及幾何意義，用三角形式進(jìn)行復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算及幾何意義. 二、學(xué)習(xí)要求: 1熟練進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化，會(huì)求復(fù)數(shù)的模、輻角及輻角主值. 2深刻理解復(fù)數(shù)三角形式的結(jié)構(gòu)特征，熟練運(yùn)用有關(guān)三角公式化復(fù)數(shù)為三角形式. 3能夠利用復(fù)數(shù)模及輻角主值的幾何意義求它們的范圍（最值）. 4利用復(fù)數(shù)三角形式熟練進(jìn)行復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算，并能根據(jù)乘除運(yùn)算的幾何意義解決相關(guān)問題. 5注意多種解題方法的靈活運(yùn)用，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法. 三、重點(diǎn): 復(fù)數(shù)的代數(shù)形式向三角形式的轉(zhuǎn)換，復(fù)數(shù)模及復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算幾何意義的綜合運(yùn)用. 四、學(xué)習(xí)建議:

2、 1復(fù)數(shù)的三角形式是徹底解決復(fù)數(shù)乘、除、乘方和開方問題的橋梁，相比之下，代數(shù)形式在這些方面顯得有點(diǎn)力不從心，因此，做好代數(shù)形式向三角形式的轉(zhuǎn)化是非常有必要的. 前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過了復(fù)數(shù)的另兩種表示.一是代數(shù)表示，即Z=a+bi(a,bR).二是幾何表示，復(fù)數(shù)Z既可以用復(fù)平面上的點(diǎn)Z(a,b)表示，也可以用復(fù)平面上的向量來表示.現(xiàn)在需要學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的三角表示.既用復(fù)數(shù)Z的模和輻角來表示，設(shè)其模為r，輻角為，則Z=r(cos+isin)(r0). 既然這三種方式都可以表示同一個(gè)復(fù)數(shù)，它們之間一定有內(nèi)在的聯(lián)系并能夠進(jìn)行互化. 代數(shù)形式r=三角形式 Z=a+bi(a,bR) Z=r(cos+isin)(r0)

3、 復(fù)數(shù)三角形式的結(jié)構(gòu)特征是:模非負(fù)，角相同，余弦前，加號連.否則不是三角形式.三角形式中應(yīng)是復(fù)數(shù)Z的一個(gè)輻角，不一定是輻角主值. 五、基礎(chǔ)知識1）復(fù)數(shù)的三角形式定義：復(fù)數(shù)z=a+bi （a,bR）表示成r （cos+ isin）的形式叫復(fù)數(shù)z的三角形式。即z=r（cos + isin） 其中 為復(fù)數(shù)z的輻角。非零復(fù)數(shù)z輻角的多值性。以ox軸正半軸為始邊，向量所在的射線為終邊的角叫復(fù)數(shù)z=a+bi的輻角因此復(fù)數(shù)z的輻角是+2k（kz）輻角主值 表示法；用arg z 表示復(fù)數(shù)z的輻角主值。 定義：適合0，2）的角叫輻角主值 唯一性：復(fù)數(shù)z的輻角主值是確定的，唯一的。不等于零的復(fù)數(shù)的模是唯一的。z=

4、0時(shí)，其輻角是任意的。復(fù)數(shù)三角形式中輻角、輻角主值的確定。（求法） 這是復(fù)數(shù)計(jì)算中必定要解決的問題，物別是復(fù)數(shù)三角形式的乘法、除法、乘方、開方等運(yùn)算，尤其是逮美佛定理定理只有對復(fù)數(shù)三角形式時(shí)才能使用。因此復(fù)數(shù)化三角式是復(fù)數(shù)運(yùn)算中極為重要的內(nèi)容（也是解題術(shù)）復(fù)數(shù)在化三角式的過程中其模的求法是比較容易的。輻角的求法，輻角主值的確定是難點(diǎn)，也是關(guān)鍵存在，這個(gè)專題只簡單歸納復(fù)數(shù)輻角及輻角主值的求法。2）復(fù)數(shù)的向量表示 在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)z1、z2對應(yīng)的點(diǎn)分別為z1、z2（如圖） 何量 何量 何量 與復(fù)數(shù)z2z1對應(yīng)的向量為 顯然ozz1z2 則argz1=xoz1=1 argz2=xoz2=2 argz

5、（z2z1）=arg z=xoz=3）復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義 主要是三角式乘法、除法等運(yùn)算中輻角的變化 如z1=r1（cos1+isin1） z2=r2（cos2+isin2）乘法：z=z1· z2=r1·r2 cos(1+2)+isin(1+2) 如圖：其對應(yīng)的向量分別為顯然積對應(yīng)的輻角是1+2< 1 > 若2 > 0 則由逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2角模變?yōu)榈膔2倍所得向量便是積z1·z2=z的向量。< 2 >若2< 0 則由向量順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角模變?yōu)閞1·r2所得向量便是積z1·z2=z的向量。 為此，若已知復(fù)數(shù)z1的輻角為，

6、z2的輻角為求+時(shí)便可求出z1·z2=za z 對應(yīng)的輻角就是+這樣便可將求“角”的問題轉(zhuǎn)化為求“復(fù)數(shù)的積”的運(yùn)算。除法 （其中 z20） 除法對于輻角主要是“相減”（被除數(shù)的輻角一除數(shù)的輻角）依向量旋轉(zhuǎn)同乘法簡述如下：< 1 >。< 2 >。例1下列各式是否是三角形式，若不是，化為三角形式: (1) Z1=-2(cos+isin)(2) Z2=cos-isin(3) Z3=-sin+icos (4) Z4=-sin-icos(5) Z5=cos60°+isin30° 分析:由三角形式的結(jié)構(gòu)特征，確定判斷的依據(jù)和變形的方向.變形時(shí)，可按照如

7、下步驟進(jìn)行:首先確定復(fù)數(shù)Z對應(yīng)點(diǎn)所在象限（此處可假定為銳角），其次判斷是否要變換三角函數(shù)名稱，最后確定輻角.此步驟可簡稱為“定點(diǎn)定名定角”.這樣，使變形的方向更具操作性，能有效提高解決此類問題的正確率. 解:（1）由“模非負(fù)”知，不是三角形式，需做變換:Z1=Z(-cos-isin) 復(fù)平面上Z1(-2cos,-2sin)在第三象限（假定為銳角），余弦“-cos”已在前，不需再變換三角函數(shù)名稱，因此可用誘導(dǎo)公式“+”將變換到第三象限.Z1=Z(-cos-isin)=2cos(+)+isin(+) （2）由“加號連”知，不是三角形式 復(fù)平面上點(diǎn)Z2(cos,-sin)在第四象限（假定為銳角），不

8、需改變?nèi)呛瘮?shù)名稱，可用誘導(dǎo)公式“2-”或“-”將變換到第四象限. Z2=cos-isin=cos(-)+isin(-)或Z2=cos-isin=cos(2-)+isin(2-) 考慮到復(fù)數(shù)輻角的不唯一性，復(fù)數(shù)的三角形式也不唯一. （3）由“余弦前”知，不是三角形式 復(fù)平面上點(diǎn)Z3(-sin,cos)在第二象限（假定為銳角），需改變?nèi)呛瘮?shù)名稱，可用誘導(dǎo)公式“+”將變換到第二象限.Z3(-sin,cos)=cos(+)+isin(+) 同理（4）Z4=-sin-icos=cos(-)+isin(-) （5）Z5=cos60°+isin30°=+i=(1+i)=·(

9、cos+isin)=(cos+isin) 小結(jié):對這類與三角形式很相似的式子，如何將之變換為三角形式，對于初學(xué)者來講是個(gè)難點(diǎn).有了“定點(diǎn)定名定角”這樣一個(gè)可操作的步驟，應(yīng)能夠很好地解決此類問題. 例2求復(fù)數(shù)Z=1+cos+isin(<<2)的模與輻角主值. 分析:式子中多3個(gè)“1”，只有將“1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”. 解:Z=1+cos+isin=1+(2cos2-1)+2i·sincos=2cos(cos+isin).(1) <<2 <<,cos<0(1)式右端=-2cos(-cos-isin)=-2cosc

10、os(+)+isin(+) r=-2cos, ArgZ=+2k(kZ) << <+<2，argZ=+. 小結(jié):（1）式右端從形式上看似乎就是三角形式.不少同學(xué)認(rèn)為r=2cos, argZ=或ArgZ= 錯(cuò)誤之處在于他們沒有去考慮角范圍，因此一定要用“模非負(fù)，角相同，余弦前，加號連”來判斷是否為三角形式.看了這道例題，你一定能解決如Z1=1-cos+isin(<<2) ，Z2=1+cos-isin(<<2)等類似問題. 例3將Z=(<<3)化為三角形式，并求其輻角主值. 分析:三角形中只有正余弦，因此首先想到“化切為弦”.下一步當(dāng)然是要

11、分母實(shí)數(shù)化，再向三角形式轉(zhuǎn)化. 解:=cos2+isin2 <<3, <2<6, <2-4<2， argZ=2-4 小結(jié):掌握三角變形是解決這類問題的根本.但在此之前的解題方向一定要明確，即要分析式子結(jié)構(gòu).比較其與三角形式的異同，從而決定變形的方向，采用正確的方法.要求學(xué)生做好每道例題后的反思，并能由此及彼，舉一反三，達(dá)到熟練解決一類問題的目的，如1-itg, tg+i, i-ctg等. 2復(fù)數(shù)Z的模|Z|的幾何意義是:復(fù)平面上點(diǎn)Z到原點(diǎn)距離，復(fù)數(shù)模|Z1-Z2|的幾何意義是:復(fù)平面上兩點(diǎn)Z1，Z2之間距離.輻角幾何意義是:以x軸正半軸為角始邊，以向量所在射

12、線為終邊的角記為ArgZ.在0，2)范圍內(nèi)的輻角稱輻角主值，記為argZ. 要求學(xué)生不僅要理解以上所說各幾何意義，還要運(yùn)用幾何意義去解決相關(guān)問題. 例4若Zc，|Z-2|1，求的最大，最小值和argZ范圍. 解:法一，數(shù)形結(jié)合 由|Z-2|1，知的軌跡為復(fù)平面上以（2，0）為圓心，1為半徑的圓面（包括圓周），|Z|表示圓面上任一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離. 顯然1|Z|3, |Z|max=3, |Z|min=1, 另設(shè)圓的兩條切線為OA，OB，A，B為切點(diǎn)，由|CA|=1，|OC|=2知 AOC=BOC=，argZ0,2) 法二:用代數(shù)形式求解|Z|的最大，最小值，設(shè)Z=x+yi(x,yR) 則由|Z-2

13、|1得(x-2)2+y21, |Z|=, (x-2)2+y21, (x-2)21, -1x-21, 1x3, 14x-39, 1|Z|3. 小結(jié):在一題多解的基礎(chǔ)上，分析比較各種方法的異同，如何做好方法的選擇.各種方法的本質(zhì)和優(yōu)勢，通過分析與比較都一目了然. 例5復(fù)數(shù)Z滿足arg(Z+3)=,求|z+6|+|z-3i|最小值. 分析:由兩個(gè)復(fù)數(shù)模的和取最小值，聯(lián)想到一個(gè)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)距離和的最小值，將之轉(zhuǎn)化為幾何問題來解決應(yīng)比較簡便. 解法一:由arg(Z+3)=,知Z+3的軌跡是一條射線OA，xOA=,而 |Z+6|+|Z-3i|=|(z+3)-(-3)|+|(Z+3)-(3+3i)| 將B(

14、-3,0)與C(3,3)連結(jié)，BC連線與OA交點(diǎn)為D，取Z+3為D點(diǎn)，表示復(fù)數(shù)時(shí)，|Z+6|+|Z-3i|=|BD|+|DC|=|BC|=3, 所求最小值=3. 法二:由arg(Z+3)=, 知Z+3的軌跡是射線OA，則Z軌跡應(yīng)是平行于OA，且過點(diǎn)（-3，0）的射線BM， |Z+6|+|Z-3i|就表示射線BM上點(diǎn)到點(diǎn)P(-6,0)和點(diǎn)Q(0,3)距離之和，連結(jié)PQ與射線BM交于點(diǎn)N，取E為N點(diǎn)表示復(fù)數(shù)時(shí)，|Z+6|+|Z-3i|=|PN|+|NQ|=|PQ|=3, 所求最小值=3. 小結(jié):兩種方法的本質(zhì)相同，都是將數(shù)學(xué)式子利用其幾何意義轉(zhuǎn)化成幾何問題進(jìn)行解決.如果純粹用代數(shù)方法求解，難度會(huì)很

15、大.對有關(guān)最值問題，尤其是模（距離）和輻角主值最值問題，用數(shù)形結(jié)合方法顯然較為簡便. 例6已知|Z-2i|1,求arg(Z-4i)最大值. 解：|Z-2i|1,點(diǎn)Z軌跡是以（0，2）為圓心，1為半徑的圓面，在其上任取一點(diǎn)Z，連Z與點(diǎn)（0，4）得一以（0，4）為起點(diǎn)，Z為終點(diǎn)的向量，將起點(diǎn)平移到原點(diǎn)，則為其對應(yīng)的輻角主值，顯然arg(Z-4i)最大值為. 3兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于模的積，輻角為兩輻角之和，其幾何意義是模的伸縮及對應(yīng)向量的旋轉(zhuǎn). 兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于模的商（除數(shù)不為零），輻角為兩輻角之差，其幾何意義同乘法. 由復(fù)數(shù)三角形式乘除運(yùn)算的幾何意義，可解決向量或圖形的旋轉(zhuǎn)問題，如等腰

16、、等邊三角形、直角三角形，平行四邊形頂點(diǎn)間的幾何何關(guān)系利用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算來表示. 復(fù)數(shù)三角形式較之代數(shù)形式，在乘除運(yùn)算中非常方便，可順利解決多項(xiàng)相乘（乘方），相除及乘除混合運(yùn)算. 例7若與分別表示復(fù)數(shù)Z1=1+2i, Z2=7+i, 求Z2OZ1并判斷OZ1Z2的形狀. 解:欲求Z2OZ1，可計(jì)算 =Z2OZ1=且=， 由余弦定理，設(shè)|OZ1|=k, |OZ2|=2k(k>0)|Z1Z2|2=k2+(2k)2-2k·2k·cos=3k2 |Z1Z2|=k, 而k2+(k)2=(2k)2，OZ1Z2為有一銳角為60°的直角三角形. 小結(jié):此題中利用除法幾何意義

17、來解決三角形中角的大小問題，十分方便. 例8已知直線l過坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上，若點(diǎn)A(-1,0)和B(0,8)關(guān)于l的對稱點(diǎn)都在C上，求直線l與拋物線C的方程. 解:如圖，建立復(fù)平面x0y，設(shè)向量、對應(yīng)復(fù)數(shù)分別為x1+y1i, x2+y2i. 由對稱性，|OA'|=|OA|=1, |OB'|=|OB|=8, x2+y2i=(x1+y1i)8i=-8y1+8x1i 設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0)則有y12=2px1, y22=2px2, x1=, y12=p2, 又|OA'|=1，()2+p2=1,p=或-（舍） 拋物線方程為y2

18、=x，直線方程為:y=x. 小結(jié):對于解析幾何的許多問題，若能借助于復(fù)數(shù)的向量來表示，常常有意想不到的功效.尤其涉及到特殊位置，特殊關(guān)系的圖形時(shí)，尤顯其效. 五、易錯(cuò)點(diǎn) 1并不是每一個(gè)復(fù)數(shù)都有唯一確定的輻角主值.如復(fù)數(shù)零的模為0，輻角主值不確定. 2注意ArgZ與argZ的區(qū)別.ArgZ表示復(fù)數(shù)Z的輻角，而argZ表示復(fù)數(shù)Z的輻角主值.ArgZ=argZ+2k(kZ),argZ0,2), 輻角主值是0,2)內(nèi)的輻角，但輻角不一定是輻角主值. 3復(fù)數(shù)三角形式的四個(gè)要求:模非負(fù)，角相同，余弦前，加號連，缺一不可.任何一個(gè)不滿足，就不是三角形式. 4注意復(fù)數(shù)三角形式的乘除運(yùn)算中，向量旋轉(zhuǎn)的方向. 六

19、、練習(xí) 1寫出下列復(fù)數(shù)的三角形式 (1) ai(aR)(2) tg+i(<<）(3) -（sin-icos) 2設(shè)Z=(-3+3i)n, nN，當(dāng)ZR時(shí)，n為何值？ 3在復(fù)平面上A，B表示復(fù)數(shù)為,(0),且=(1+i)，判斷AOB形狀，并證明SAOB=|d|2. 參考答案: 1（1）ai= （2）tg+i(<<）=-cos(-)+isin(-) （3）-(sin-icos)=cos(+)+isin(+) 2n為4的正整數(shù)倍 3法一:0，=（1+i) =1+i=(cos+isin), AOB=, 分別表示復(fù)數(shù)，-， 由-=i，得=i=cos+isin，OAB=90

20、6;,AOB為等腰直角三角形. 法二:|=|, |=|-|=|i|=|,|=| 又|=|=|(1+i)|=|,|2+|2=|2+|2=2|2=|2 AOB為等腰直角三角形，SAOB=|·|=|2. 在線測試窗體頂端選擇題1若復(fù)數(shù)z=(a+i)2的輻角是，則實(shí)數(shù)a的值是（） A、1B、-1 C、- D、- 窗體底端窗體頂端2已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+x+p=0的兩虛根a， b滿足|a-b|=3， 則p的值是（） A、-2 B、- C、 D、1 窗體底端窗體頂端3設(shè)<<，則復(fù)數(shù)的輻角主值為（） A、2-3B、3-2C、3D、3- 窗體底端窗體頂端4復(fù)數(shù)cos+isin經(jīng)過n

21、次乘方后，所得的冪等于它的共軛復(fù)數(shù)，則n的值等于（） A、3B、12C、6k-1(kZ)D、6k+1(kZ) 窗體底端窗體頂端5z為復(fù)數(shù)，()|z-3|=()|z+3|()-1的圖形是（） A、直線B、半實(shí)軸長為1的雙曲線 C、焦點(diǎn)在x軸，半實(shí)軸長為的雙曲線右支 D、不能確定 窗體底端答案與解析 答案：1、B 2、C 3、B 4、C 5、C解析：1z=(a+i)2=(a2-1)+2ai， argz=， ，a=-1，本題選B. 2求根a，b=（=1-4p<0）|a-b|=|=3， 4p-1=9， p=，故本題應(yīng)選C. 3=cos3+isin3. <<，3<3<，&l

22、t;3-2<，故本題應(yīng)選B. 4由題意，得(cos+isin)n=cos+isin=cos-isin 由復(fù)數(shù)相等的定義 ，得 解得=2k-，(kZ)，n=6k-1.故本題應(yīng)選C. 5依題意，有 |z-3|=|z+3|-1， |z+3|-|z-3|=1.由雙曲線定義，此方程表示焦點(diǎn)(±3，0)，2a=1， a=的雙曲線右支，故本題應(yīng)選C. 復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算·疑難問題解析 1復(fù)數(shù)的模與輻角： (1)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)：z1·z2=z1·z2 (2)輻角的性質(zhì)：積的輻角等于各因數(shù)輻角的和 商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差 一個(gè)復(fù)數(shù)n次冪(nN)

23、的輻角等于這個(gè)復(fù)數(shù)輻角的n倍 注意：(1)輻角與輻角主值的區(qū)別，特別是解題過程中的不同點(diǎn)如下面兩個(gè)問題： 若arg(2-i)=，arg(3-i)=，求+的值(+(3，4) 若arg(2-i)=，arg(3-i)=，求arg(2-i)(3-i)的值 (2)兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角主值不一定等于兩輻角主值的和，商的輻角主值不一定等于輻角主值的差. 2關(guān)于數(shù)的開方 (1)復(fù)數(shù)的開方法則：r(cos+isin)的n次方根是 幾何意義：設(shè)對應(yīng)于復(fù)平面上的點(diǎn)，則有： 所以，復(fù)數(shù)z的n次方根，在復(fù)平面內(nèi)表示以原點(diǎn)為中心的正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn) (2)復(fù)數(shù)平方根的求法 求-3-4i的平方根 解法一利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式設(shè)-3

24、-4i的平方根為x+yi(x，yR)，則有 (x+yi)2=-3-4i,即(x2-y2)+2xyi=-3-4i，由復(fù)數(shù)相等條件，得 -3-4i的平方根是±(1-2i) 法二利用復(fù)數(shù)的三角形式 3復(fù)數(shù)集中的方程 關(guān)于實(shí)系數(shù)的一元二次方程的解法：設(shè)ax2+bx+c=0(a0，a，b，cR，x1，x2為它的兩個(gè)根) (1)當(dāng)=b2-4ac0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 當(dāng)=b2-4ac0時(shí)，方程有一對共軛虛根 (4)二次三項(xiàng)式的因式分解：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 關(guān)于復(fù)系數(shù)的一元二次方程的解法：設(shè)ax2+bx+c=0(a0，a、b、cC，且至少有一個(gè)虛數(shù)，x1x2為它的兩個(gè)根)

25、 (4)二次三項(xiàng)式的因式分解ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)仍然適用 關(guān)于二項(xiàng)方程的解法 形如anxn+a0=0(a0，anC且an0)的方程叫做二項(xiàng)方程，任何一個(gè)二項(xiàng)方程都可以化成xn=b(bC)的形式，因此都可以通過復(fù)數(shù)開方來求根 可以充分利用復(fù)數(shù)z的整體性質(zhì)，復(fù)數(shù)z的三種表示方法及其轉(zhuǎn)換來解方程 已知方程x2-4x+p=0兩虛數(shù)根為、，且|-|=2求實(shí)數(shù)p的值 解法1實(shí)系數(shù)一元二次方程虛根共軛設(shè)=a+bi， =a-bi，(a，bR)+=2a=4，a=2又|-|=2, |2bi|=2得b=±1 即兩根為2+i，2-i由韋達(dá)定理得：p=(2+i)(2-i)=5 法2由韋

26、達(dá)定理可得：+=4，=p 于是|-|2=|(-)2|=|(+)2-4|=|42-4p|=4，即|4-p|=1 又=42-4p0p4，p-4=1，得p=5 說明注意實(shí)系數(shù)一元二次方程有兩個(gè)實(shí)根與有兩個(gè)虛根的區(qū)別 一等式成立若有兩個(gè)虛根則上述等式不成立因?yàn)?2(-)2因此在解題時(shí)要重視復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)知識點(diǎn)之間的區(qū)別與聯(lián)系，要避免出現(xiàn)混淆與干擾 已知方程2x2+3ax+a2-a=0有模為1的根，求實(shí)數(shù)a的值 分析已知方程有模為1的根，此根可能是實(shí)數(shù)，也可能是虛數(shù)，故求實(shí)數(shù)a要注意分域討論 解(1)若所給方程有實(shí)根則=(3a)2-4×2(a2-a)=a2+8a0，即a-8或a0 由條件得根必為1

27、或-1， 將x=1代入原方程可得a2+2a+2=0a無實(shí)數(shù)解 (2)若所給方程有虛根則=a2+80，即-8a0 即a2-a-2=0，a=-1或a=2(舍) 已知方程x2-(2i-1)x+3m-i=0有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m 分析求實(shí)數(shù)m的范圍，若用判別式來判斷是錯(cuò)誤的，因?yàn)榇朔匠痰南禂?shù)是復(fù)數(shù) 利用求根公式或用韋達(dá)定理或選用復(fù)數(shù)相等，解方程組來求實(shí)數(shù)m均可以現(xiàn)僅介紹一種方法 解x，mR，方程變形可得，(x2+x+3m)-(2x+1)i=0 復(fù)數(shù)例題講解與分析 例1已知x, y互為共軛復(fù)數(shù)，且(x+y)2-3xyi=4-6i,求x, y. 思路1：確定一個(gè)復(fù)數(shù)即分別確定它的實(shí)部、虛部或模與一個(gè)輻角，設(shè)z

28、=a+bi或三角形式，化虛為實(shí)。 解法1：設(shè)x=a+bi(a,bR), 則y=a-bi, 代入原等式得：(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i. 或或或， 或或或。 思路2：“x, y互為共軛”含義？x+yR, xyR,則(x+y)2-3xyi=4-6i . 解法2：x=，x+yR, xyR, 由兩復(fù)數(shù)相等可得： ， 由韋達(dá)定理可知：x,y同是方程：z2+2z+2=0或z2-2z+2=0的兩根， 分別解兩個(gè)一元二次方程則得x,y（略）。 例2已知zC,|z|=1且z2-1,則復(fù)數(shù)（ ） A、必為純虛數(shù)B、是虛數(shù)但不一定是純虛數(shù)C、必為實(shí)數(shù)D、可能是實(shí)數(shù)也可能是虛數(shù) 思路分析：選擇題，從結(jié)論的

29、一般性考慮，若z=±1，顯然A、B選項(xiàng)不成立，分析C、D選項(xiàng)，顯然窮舉驗(yàn)證不能得出一般結(jié)論只能推演 解：法1設(shè)z=a+bi, a,bR, a2+b2=1,a0. 則=R，故，應(yīng)選C。 法2設(shè)z=cos+isin (R,且k+)，則=R。 法3z·=|z|2, 當(dāng)|z|=1時(shí)有z·=1, =R. 法4當(dāng)|z|=1時(shí)有z·=1， =R. 法5復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)的充要條件是z=, 而()=, 又|z|=1時(shí)，=， =， R。 評注：復(fù)習(xí)中，概念一定要結(jié)合意義落實(shí)到位，一方面深化理解（比如復(fù)數(shù)定義：“形如a+bi (a,bR)的數(shù)叫復(fù)數(shù)”深入理解就有凡是復(fù)數(shù)都能寫成這

30、樣，求一個(gè)復(fù)數(shù)，使用一個(gè)復(fù)數(shù)都可通過這一形式將問題化虛為實(shí)；。）同時(shí)對一些概念的等價(jià)表達(dá)式要熟知。（比如：z=a+biR b=0(a,bR) z= z20；z=a+bi是純虛數(shù) a=0且b0 (a,bR) z+=0 (z0) z2<0；.)在面對具體問題時(shí)要有簡捷意識（比如該例方法1，有同學(xué)可能會(huì)在算到時(shí)不注意及時(shí)化簡分母又直接按兩復(fù)數(shù)相除的運(yùn)算法則進(jìn)行），多方理解挖掘題目立意。 例3求使關(guān)于x的方程x2+(m+2i)x+2+mi=0至少有一個(gè)實(shí)根的實(shí)數(shù)m. 思路分析：根的判別式只適用實(shí)系數(shù)的一元二次方程，虛系數(shù)有實(shí)根用兩復(fù)數(shù)相等，化虛為實(shí)。 解：設(shè)x0為方程的一個(gè)實(shí)根，則有 x02+m

31、x0+2+(2x0+m)i=0 ，解得：m=±2。 例4設(shè) zC， arg(z+2)=, arg(z-2)=, 求z。 思路分析：常規(guī)思路，設(shè)z=a+bi, 由已知列關(guān)于a,b的方程求解；數(shù)形結(jié)合思想，由題設(shè)可知z+2對應(yīng)的點(diǎn)A在射線OA上，AOX=，z-2對應(yīng)的點(diǎn)B應(yīng)在射線OB上，BOX=，z對應(yīng)的點(diǎn)Z應(yīng)在AB中點(diǎn)上，|AB|=4，AB/Ox軸，AOB=，故而易得：z=-1+i. 解：（略） 例5設(shè)x,yR, z1=2-x+xi, z2=y-1+(-y)i, 已知|z1|=|z2|，arg=, (1)求()100=? (2)設(shè)z=, 求集合A=x|x=z2k+z-2k, kZ中元素

32、的個(gè)數(shù)。 思路分析：理解已知，|z1|=|z2|，arg=含義？=i, 即z1=z2i兩復(fù)數(shù)相等x, y. (1)解：|z1|=|z2|, |=1,又arg=, =|(cos+isin)=i, 即z1=z2i, 2-x+xi=y-1+(-y)ii即，解得 x=y=+, ()100=(+i)100=(-+i)50=-i. 簡評 10本題的解法體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化和整體的思想方法，如果把兩個(gè)已知條件割裂開來去考慮，則需要解關(guān)于x, y的二元二次方程組，其運(yùn)算肯定很麻煩； 20在計(jì)算題中對1的立方根之一：w=-+i的特性要熟知即 w3=3=1, =w2,1+w+w2=0, 1+=0, 關(guān)于此點(diǎn)設(shè)計(jì)問題是命題經(jīng)常參考的著眼點(diǎn)。 (2) 思路分析：由(1)知 z=+i，z的特性：z3=-1=3, |z|=1, =； z=cos+isin, z2=w, ，z2k+z-2k 可怎么理解呢？ (z2)k+(z2)-k, z2k+2k, 解法1：令w=-+i，則z2k+z-2k=wk+w-k,w3=1,而kz, k= 當(dāng)k=3m時(shí)，z2k+z-2k=(w3)m+(w3)-m=2,當(dāng)k=3m+1時(shí)，z2k+z-2k=w3m·w+w-3m·w-1=w+w-1=w+=-1, 當(dāng)k=3m