2020屆河北省保定市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)(文)試題(解析版)

1、2019-2020 學(xué)年度第一學(xué)期高三期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（文科）一、選擇題1.已知1|1,|42xxax yxbx，則abi（）a. (0,1)b. (0,1c. rd. 【答案】 d 【解析】【分析】根據(jù)二次根式有意義條件及指數(shù)不等式,可解得集合a 與集合 b,再由集合交集運(yùn)算即可得解.【詳解】對(duì)于集合|1|1ax yxx x對(duì)于集合121|42| 22|1xxxxbxxx x所以|1|1abx xx xii故選 :d【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)不等式的解法與二次根式有意義的條件,交集的簡(jiǎn)單運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題 .2.復(fù)數(shù)(23 )ii對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）a. 第一象限b. 第二象限c. 第三象限d.

2、第四象限【答案】 a 【解析】【分析】將復(fù)數(shù)根據(jù)乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)即可得在復(fù)平面內(nèi)的坐標(biāo),即可判斷所在象限.【詳解】由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算,化簡(jiǎn)可得2233232iiiii則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為3,2所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限故選 :a【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算,復(fù)數(shù)的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題 .3.函數(shù)2xyxex的圖象在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為（）a. 21yxb. 21yxc. 3yxd. 3yx【答案】 c 【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)求得導(dǎo)函數(shù),再根據(jù)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)求得切線的斜率,即可由點(diǎn)斜式求得切線方程.【詳解】函數(shù)2xyxex則2xxyexe所以切線的斜率023ke由點(diǎn)斜式可得3yx故選 :

3、c【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,過曲線上一點(diǎn)切線方程的求法,屬于基礎(chǔ)題 .4.已知abc外接圓半徑為1，圓心為o，若20oaabacuuu ru uu ruuu rr，則abc面積的最大值為（）a. 2b. 32c. 2d. 1【答案】 d 【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算,可判斷出bc為圓的直徑 .結(jié)合勾股定理及不等式即可求得面積的最大值.【詳解】根據(jù)向量的減法運(yùn)算,化簡(jiǎn)20oaabacuuu ru uu ruuu rr可得20oaoboaoaocuuu ruuu ru uu ru uu ruuu rr,則0obocuu u ruu u rr即o為bc中點(diǎn) .又因?yàn)閛為abc外接圓圓心

4、 ,該外接圓的半徑為1.所以2bc由圓的性質(zhì)可知, 90baco設(shè),aba acb則224ab由不等式性質(zhì)可知2242abab,則2ab當(dāng)且僅當(dāng)2ab時(shí)取等號(hào)所以112122abcsab=即abc面積的最大值為1故選 :d【點(diǎn)睛】本題考查了向量的線性運(yùn)算,不等式性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題 .5.設(shè)點(diǎn)q為10220323xyxyxy，所表示的平面區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若在上述區(qū)域內(nèi)滿足22xy最小時(shí)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為p，則opuuu r與oquuu r（o為坐標(biāo)原點(diǎn)）的夾角的取值范圍為（）a. 0,4b. 0,3c. 0,2d. 3,24【答案】 a 【解析】【分析】根據(jù)不等式組 ,可畫出可行域 .根據(jù)距離的最小

5、值,可判斷出p點(diǎn)位置 .再由幾何性質(zhì)即可求得夾角的取值范圍.【詳解】根據(jù)所給不等式組,畫出可行域如下圖所示:滿足22xy最小時(shí)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為p,即可行域內(nèi)的p到原點(diǎn)距離的平方最小當(dāng)op與直線10 xy垂直時(shí) ,交點(diǎn)即為p點(diǎn).設(shè)直線10 xy與x軸交于點(diǎn)b,與y軸交于點(diǎn)a由直線10 xy的斜率與傾斜角可知,45abobaoo由op與直線10 xy垂直,所以當(dāng)q與a或b重合時(shí) , opuuu r與oquuu r的夾角取得最大值;當(dāng)q與p重合時(shí) , opuuu r與oquuu r的夾角取得最小值即opuuu r與oquuu r的夾角的取值范圍為0,4故選 :a【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用,距離

6、型最值的求法,平面幾何性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題 .6.已知遞增等差數(shù)列na中，122a a，則3a的（）a. 最大值為4b. 最小值為4c. 最小值為4d. 最大值為4或4【答案】 b 【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可用1a表示出d.由數(shù)列單調(diào)遞增可得10a.用1a表示出3a,結(jié)合基本不等式即可求得最值 .【詳解】因?yàn)?22a a由等差數(shù)列通項(xiàng)公式,設(shè)公差為d,可得112aad變形可得112daa因?yàn)閿?shù)列na為遞增數(shù)列 ,所以1120daa即10a而由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可知312aad11111242aaaaa由10a,140a結(jié)合基本不等式可得311114424aaaaa當(dāng)且僅當(dāng)12a時(shí)

7、取得等號(hào)所以3a的最小值為4故選 :b【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式與單調(diào)性的應(yīng)用,基本不等式在求最值中的用法,屬于中檔題 .7.如圖為一個(gè)拋物線形拱橋，當(dāng)水面經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，水面的寬度為36m，則此時(shí)欲經(jīng)過橋洞的一艘寬12m的貨船，其船體兩側(cè)的貨物距離水面的最大高度應(yīng)不超過（）a. 6mb. 6.5mc. 7.5md. 8m【答案】 d 【解析】【分析】根據(jù)題意 ,抽象出拋物線的幾何模型.根據(jù)拋物線的通經(jīng)性質(zhì)求得拋物線方程,即可求得當(dāng)寬為12m時(shí)的縱坐標(biāo),進(jìn)而求得水面到頂部的距離.【詳解】根據(jù)題意,畫出拋物線如下圖所示:設(shè)寬度為36m時(shí)與拋物線的交點(diǎn)分別為,a b.當(dāng)寬度為12m時(shí)與

8、拋物線的交點(diǎn)為,c d.當(dāng)水面經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)時(shí),寬度為36m由拋物線性質(zhì)可知236p,則拋物線方程為236xy則18, 9a當(dāng)寬度為12m時(shí),設(shè)6,ca代入拋物線方程可得2636a,解得1a所以直線ab與直線cd的距離為198h即船體兩側(cè)的貨物距離水面的最大高度應(yīng)不超過8m故選 :d【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線在實(shí)際問題中的應(yīng)用,拋物線幾何性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題 .8.用若干個(gè)體積為1的正方體搭成一個(gè)幾何體，其正視圖、 側(cè)視圖都是如圖所示的圖形，則這個(gè)幾何體的最小體積為（）a. 5b. 6c. 7d. 8【答案】 a 【解析】【分析】根據(jù)題意 ,當(dāng)體積最小時(shí),結(jié)合三視圖還原空間幾何體,即可求解

9、.【詳解】根據(jù)題意,當(dāng)幾何體體積最小時(shí),空間幾何圖如下圖所示:所以幾何體的最小體積為5故選 :a【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖還原空間幾何體的應(yīng)用,對(duì)空間想象能力要求較高,屬于中檔題 .9.函數(shù)131( )2xf xx的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）a. 1(0,)4b. 1 1(,)4 3c. 1 1(,)3 2d. 1(,1)2【答案】 c 【解析】【分析】先判斷出函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可判斷出零點(diǎn)所在區(qū)間.【詳解】函數(shù)131( )2xf xx所以函數(shù)在r 上單調(diào)遞增因?yàn)?113331311111033322f1113321211111022222f所以函數(shù)零點(diǎn)在1 1,3 2故選 :c【點(diǎn)睛】

10、本題考查了根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間,注意需判斷函數(shù)的單調(diào)性,說明零點(diǎn)的唯一性,屬于基礎(chǔ)題 .10. 下列說法不正確的是（）a. “pq為真 ” 是“pq為真 ” 的充分不必要條件；b. 若數(shù)據(jù)123,nx xxx的平均數(shù)為1，則1232,22,2,nxxxx的平均數(shù)為2；c. 在區(qū)間0,上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則事件 “6sincos2xx”發(fā)生的概率為12d. 設(shè)從總體中抽取的樣本為1122,nnx yxyxyl若記樣本橫、縱坐標(biāo)的平均數(shù)分別為1111,nniiiixxyynn，則回歸直線? ybxa必過點(diǎn)( , )x y【答案】 c 【解析】【分析】a.“pq為真”可知p，q為真命題，可

11、得“pq為真”，反之不成立，即可判斷出正誤；b. 根據(jù)平均數(shù)公式即可判斷；c.由題意得x的范圍，再利用幾何概率計(jì)算公式即可判斷出正誤；d.根據(jù)回歸直線的性質(zhì)即可判斷 . 【詳解】a.“pq為真”可知p，q為真命題，可得“pq為真”反之“pq為真”可知p真或q真，但pq不一定為真， “pq為真 ” 是“pq為真 ” 的充分不必要條件，故a正確；b.由題意知121nxxxnl，則121222222nnxxxxxxnnll，故b正確；c.在區(qū)間0,上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，由6sincos2sin42xxx，得sin423x，解得5,12 12x，事件 “6sincos2xx”發(fā)生的概率為：5112123，

12、故c不正確；d. 根據(jù)回歸直線的性質(zhì)可知，回歸直線必過中心點(diǎn)( ,)x y，故d正確 . 故選：c. 【點(diǎn)睛】本題主要考查的是充分不必要條件的判斷，平均數(shù)的計(jì)算，幾何概型的概率計(jì)算，以及回歸方程的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題. 11. 若直線ykx 與函數(shù)( )xf xe和( )lng xxa的圖象都相切，則a（）a. 3b. 2c. 1d. 0【答案】 b 【解析】【分析】通過直線ykx 與函數(shù)( )xf xe相切求出k，再根據(jù)線ykx 與函數(shù)( )lng xxa相切，即可求出a【詳解】q直線 ykx 與函數(shù)( )xf xe相切，設(shè)切點(diǎn)為00,xx e，又xfxe，所以000 xxekxke解得01kex

13、，即直線 ykx 為yex，.又直線yex與( )lng xxa相切，設(shè)切點(diǎn)為11,lnxxa，1gxx，11ex，則11xe，切點(diǎn)為11,lnaee，將切點(diǎn)代入yex得，1ln1ae，解得2a. 故選：b. 【點(diǎn)睛】本題主要考查的是導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的邏輯思維能力、運(yùn)算能力，是中檔題. 12. 如圖，在棱長(zhǎng)為1 的正方體1111abcda b c d中，p、q是面對(duì)角線11ac上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn). ,pqbpdq；,pqbpdq與1bc所成的角均為60；若1|2pq，則四面體bdpq的體積為定值 .則上述三個(gè)命題中假命題的個(gè)數(shù)為（）a. 0b. 1c. 2d. 3【答案】 a 【解析】【

14、分析】令p與1a重合，q與1c重合， 即可判斷和，根據(jù)平面obd將四面體bdpq可分成兩個(gè)底面均為平面obd，高之和為pq的棱錐，可判斷.【詳解】當(dāng)p與1a重合，q與1c重合時(shí)，易知bpdq, 故正確；當(dāng)p與1a重合，q與1c重合時(shí)，由題意可知111,b cab cdvv均是等邊三角形，111,b cdab c均為60，且111,bcdab c為異面直線bp與1b c，dq與1b c所成角的平面角，故正確；設(shè)平面1111dcba兩條對(duì)角線交點(diǎn)為o，則易得pq平面obd，平面obd將四面體bdpq可分成兩個(gè)底面均為平面obd，高之和為pq的棱錐，故四面體bdpq的體積一定是定值，故正確. 故假命

15、題有0 個(gè). 故選：a. 【點(diǎn)睛】本題主要考查的是立體幾何的綜合應(yīng)用，異面直線所成角的問題，四面體的體積求法，考查學(xué)生的空間想象能力，是中檔題. 二、填空題13. 設(shè)拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)為m，則方程21 0 xmx無實(shí)數(shù)根的概率為_ 【答案】16【解析】【分析】根據(jù)方程210 xmx無實(shí)數(shù)根得出m的值，即可得出概率. 【詳解】q方程210 xmx無實(shí)數(shù)根 , 0，即240m，解得22m，又1,2,3,4,5,6mq，1m，拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)為m，則方程210 xmx無實(shí)數(shù)根的概率為16. 故答案為：16. 【點(diǎn)睛】本題主要考查的是一元二次方程有實(shí)根的條件，古典概型的概率公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)

16、題. 14. 如圖，某地一天從614時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)()yasinxb0,0,0()a，則該函數(shù)的表達(dá)式為_ 【答案】()8310204ysinx，6x， 14【解析】【分析】通過函數(shù)的圖象，求出a，b，求出函數(shù)的周期，推出，利用函數(shù)經(jīng)過(10,20)求出，得到函數(shù)的解析式【詳解】解：由題意以及函數(shù)的圖象可知，10a，20b，2(146)16t，所以28t，由函數(shù)經(jīng)過(10,20)所以 2010sin(10)208，又0，所以34，所以函數(shù)的解析式：310sin()2084yx，6x， 14 故答案為：310sin()2084yx，6x， 14【點(diǎn)睛】通過函數(shù)的圖象求出函數(shù)的解析式

17、，是三角函數(shù)常考題型，注意圖象經(jīng)過的特殊點(diǎn)，注意函數(shù)解析式的范圍容易出錯(cuò)遺漏，屬于基礎(chǔ)題15. 已知圓2222210 xxymym， 當(dāng)圓的面積最小時(shí)， 直線1yx被圓截得的弦長(zhǎng)為_【答案】2【解析】【分析】化圓的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓面積最小時(shí)的圓心和半徑，再根據(jù)半弦和圓心到直線的距離以及半徑之間滿足勾股定理即可求得弦長(zhǎng). 【詳解】q圓2222210 xxymym即222111xymm，故當(dāng)當(dāng)圓的面積最小時(shí)，1m，此時(shí)圓方程22111xy，圓心為1,1半徑為1r，圓心到直線1yx的距離為1 1 1222，直線1yx被圓截得的弦長(zhǎng)為222 122. 故答案為：2. 【點(diǎn)睛】本題考查圓的面積

18、、直線與圓的位置關(guān)系.由圓的方程求出面積最小時(shí)的圓，以及弦長(zhǎng)的求法，利用半弦和圓心到直線的距離以及半徑之間滿足勾股定理，是基礎(chǔ)題. 16. 已知數(shù)列na中，11a，其前n項(xiàng)和為ns，且滿足213(2)nnssnn，則2na_ 【答案】64n【解析】【分析】根據(jù)213(2)nnssnn，及11a算出2a，同時(shí)構(gòu)造等比數(shù)列，求出2n時(shí)的na，即可得到2na. 【詳解】q213(2)nnssnn，12112,1ssa，可得12212aa，210a，2131nnssn，得163nnaan，變形為：1313nnanan，即13113nnanan，又216213aa，則當(dāng)2n時(shí)數(shù)列3nan是以4為首項(xiàng)，1

19、為公比的等比數(shù)列，2341nnan即2341nnan，22nq，222324164nnann. 故答案為：64n. 【點(diǎn)睛】本題主要考查的是數(shù)列通項(xiàng)的求法，構(gòu)造數(shù)列求通項(xiàng)方法的應(yīng)用，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力以及計(jì)算能力，是中檔題. 三、解答題17. 已知abc的三個(gè)內(nèi)角a，b，c所對(duì)的邊分別為, ,a b c，設(shè)(sin,1cos)mbbu r，(2,0)nr.（1）若23b，求mu r與nr的夾角；（2）若| 1,3mbr，求abc周長(zhǎng)的最大值 .【答案】（ 1）3（2）3 3【解析】分析】（1）將23b代入可求得mu r.根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得m nu r r,由數(shù)量積的

20、定義即可求得cos,進(jìn)而得夾角.（2）根據(jù)| 1mr及向量模的坐標(biāo)表示,可求得b.再由余弦定理可得22()4acb.結(jié)合基本不等式即可求得ac的最大值 ,即可求得周長(zhǎng)的最大值;或由正弦定理,用角表示出ac,結(jié)合輔助角公式及角的取值范圍,即可求得ac的取值范圍 ,進(jìn)而求得周長(zhǎng)的最大值.【詳解】（ 1）23b,所以3 3,22mu r,因?yàn)?2,0)nr,32032m nu r r,又2233|322mu r,| 2nr,31cos2| | 2 3m nmnu r ru rr,3,（2）因?yàn)閨 1mu r,即22|sin(1 cos )22cos1mbbbr,所以3b,方法 1.由余弦定理 ,得2

21、222cosbacacb.2222()()3()324acacacacac,【即2()34ac,即2 3ac,（當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)取等號(hào)）所以abc周長(zhǎng)的最大值為3 3.方法 2.由正弦定理可知,2sinsinsinacbacb,2sin,2sinaa cc,23ac,所以22sin2sin3sin3 cos2 3 sin36acaaaaa,又203a,5666a,1sin,162a,(3,2 3ac,所以當(dāng)3a時(shí) ,ac取最大值2 3.所以abc周長(zhǎng)的最大值為3 3.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的定義,正弦定理與余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,三角形周長(zhǎng)的表示方法,基本不等式與正弦函數(shù)的圖像與性

22、質(zhì)應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題 .18. 已知數(shù)列,nnab滿足1,2nnnnaabb為等比數(shù)列，且12a，24a，310a.（1）求nb；（2）求na.【答案】（ 1）122nnb； （ 2）122nnan【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可求得數(shù)列2nb的首項(xiàng)和公比，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得數(shù)列2nb的通項(xiàng)公式，即可得到nb；（2）由nb利用累加法得到2n時(shí)的na，驗(yàn)證1n時(shí)成立，即可得到na. 【詳解】解： （1）由1,nnnaab且1232,4,10aaa得：1212baa，2326baa所以124b，228b又因?yàn)閿?shù)列2nb為等比數(shù)列，所以可知其首項(xiàng)為4，公比為2. 故1124 22nnnb，所以1

23、22nnb.（2）由1nnnaab，122 n2)nnnaa（.11222nnnaa，則22322nnnaa，l，22122aa，累加得232(222 )2(1)nnanl，23(2222 )22nnanl12(21)22222 1nnnn.又12a滿足上式122 .nnan【點(diǎn)睛】本題主要考查是等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，基本量的計(jì)算，以及利用累加法求通項(xiàng)，利用累加法時(shí)最后要注意驗(yàn)證1n時(shí)是否成立，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題. 19. 如圖，幾何體abcdfe中，abc，dfe均為邊長(zhǎng)為2 的正三角形，且平面/ /abc平面dfe，四邊形bced為正方形 .（1）若平面bced平面abc，求幾

24、何體abcdfe的體積；（2）證明：平面/ /ade平面bcf.【答案】（ 1）8 33； （2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意證出fg平面bced，故所求的幾何體的體積等于三棱錐fbced的體積的2 倍，運(yùn)算求得結(jié)果； （2）先證明ao和fg平行且相等，可得四邊形aofg為平行四邊形，可得agofp，再證debc，利用平面和平面平行的判定定理，證得平面ade平面bcf. 【詳解】（ 1）取bc的中點(diǎn)o，ed的中點(diǎn)g，連接,ao of fg ag.因?yàn)閍obc，且平面bced平面abc，所以ao平面bced，同理fg平面bced，又因?yàn)?aofg，所以18 343233abcdfev

25、.（2）證明：設(shè)平面agf i平面abcap，apbcpi因?yàn)槠矫鎍bc平面dfe，所以apfgp，因?yàn)閒ged，edbc，所以apbc，即p與o重合，所以fgao所以四邊形aofg為平行四邊形，所以agofp，ag平面ade,of平面ade, of p平面ade, 又debc同理可得bc平面ade，ofbco, ,of bc平面bcf，所以平面ade平面bcf；【點(diǎn)睛】本題主要考查平面和平面平行的判定定理的應(yīng)用，用分割法求柱體、錐體的體積，考查學(xué)生的空間想象能力，以及邏輯推理能力，屬于中檔題. 20.設(shè)橢圓2222:1(0)xycabab的一個(gè)焦點(diǎn)為( 2, 0)，四條直線xa，yb所圍成的

26、區(qū)域面積為4 3.（1）求c的方程；（2）設(shè)過(0,3)d的直線l與c交于不同的兩點(diǎn),a b，若以弦ab為直徑的圓恰好經(jīng)過原點(diǎn)o，求直線l的方程 .【答案】（ 1）2213xy； （2）113yx【解析】【分析】（1）由題意知c、面積以及222acb列出方程組，即可求出c的方程；（2）根據(jù)題意設(shè)出直線方程，與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，且oaob根據(jù)向量數(shù)量積列出關(guān)系式，求出斜率，即可得直線l的方程 . 【詳解】（ 1）依題意得22222222,3,3,2.ca babababc，解得223,1ab，橢圓c的方程為2213xy（2）易知直線l的斜率存在，并設(shè)直線方程為3ykx，將其代入2213xy

27、，化簡(jiǎn)得22(13)18240kxkx，設(shè)11,a x y、22,b xy，22(18 )96(13)0kk283k，且1212221824,1313kxxx xkk，依題意可知oaob，0oa obuuu r uuu r，即12120 x xy y1212(3)(3)0 x xkxkx21212(1)3 ()90kx xk xx將1212221824,1313kxxx xkk代入上式得222224(1)54901313kkkk化簡(jiǎn)得2333k，所以11k故所求的直線方程為113yx.【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性

28、質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查綜合分析與運(yùn)算能力.綜合性強(qiáng)，是中檔題. 21. 根據(jù)有關(guān)資料預(yù)測(cè)，某市下月1 14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)如下圖所示.，根據(jù)已知折線圖，解答下面的問題：（1）求污染指數(shù)的眾數(shù)及前五天污染指數(shù)的平均值；（保留整數(shù)）（2）為了更好發(fā)揮空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)服務(wù)人民的目的，監(jiān)測(cè)部門在發(fā)布空氣質(zhì)量指數(shù)的同時(shí)，也給出了出行建議，比如空氣污染指數(shù)大于150 時(shí)需要戴口罩，超過200 時(shí)建議減少外出活動(dòng)等等.如果某人事先沒有注意到空氣質(zhì)量預(yù)報(bào)，而在112 號(hào)這 12 天中隨機(jī)選定一天，欲在接下來的兩天中（不含選定當(dāng)天）進(jìn)行外出活動(dòng) .求其外出活動(dòng)的兩天期間.恰好都遭遇重度及以上污染天氣的概率；至

29、少有一天能避開重度及以上污染天氣的概率.附：空氣質(zhì)量等級(jí)參考表：aqi(0,50(50,100(100,150(150,200(200,250(250,500等級(jí)優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染【答案】（ 1）眾數(shù)為157，平均值為194； （2）14；34【解析】【分析】（1）根據(jù)折線圖可知知道眾數(shù)，利用平均數(shù)計(jì)算公式可以算出平均值；（2）根據(jù)折線圖，12天中只有1 日、 11日、 12 日 3 天滿足題意，根據(jù)古典概型概率公式即可得；法一從事件的對(duì)立面入手結(jié)合即可得；法二分兩種情況（i）連續(xù)兩天都避開重度及以上污染；（ii ）恰有一天有重度及以上污染，求出概率，在求和即可. 【詳解】（

30、 1）眾數(shù)為157，共出現(xiàn)3次 .前五天污染指數(shù)平均值為214+275+243+157+80969=19455，（2）在 2 月 1 日12 日這 12 天中，只有在1日、 11 日、 12 日 3 天時(shí)，其接下來的兩天才會(huì)遭遇重度及以上污染天氣，故：所求的概率為31124p法 1：由知， “ 此人外出期間其接下來的兩天期間都避不開重度及以上污染” ，對(duì)應(yīng)的到達(dá)日期為：1日、 11日、 12 日.所以所求的概率為131=44p法 2：根據(jù)題意，事件“ 此人接下來的兩天至少有1 天能避開空氣重度及以上污染” ，包括兩種情況：（i）連續(xù)兩天都避開重度及以上污染；由折線圖易知，在3 日、 4 日、 7 日、 8 日、 9 日時(shí)，其接下來的兩天都能避開重度及以上污染天氣此時(shí)，所求的概率為512p，（ii ）恰有一天有重度及以上污染由折線圖易知，在2 日、 5 日、 6 日、 10 日時(shí)，其接下來的兩天恰有一天能避開重度及以上污染天氣此時(shí)，所求的概率為41=123p故所求的概率為1533124p.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是眾數(shù)，平均數(shù)的計(jì)算，以及古典概型的概率計(jì)算，同時(shí)考查學(xué)生對(duì)折線圖的理解和應(yīng)用，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力，是基礎(chǔ)題. 22. 已知函數(shù)( )f x 滿足 :定義為r；2( )2()9xxf xfxee.（1）求( )f x 的解析式；（2）若12, 1,1x x；均