“概率與數(shù)列知識(shí)的精彩交匯”初探

1、“概率與數(shù)列知識(shí)的精彩交匯”初探例 1 四棱錐 s abed 的所有棱長均為1米，一只小蟲從 s 點(diǎn)出發(fā) 沿四棱錐的棱爬行，若在一頂點(diǎn)處選擇不同的棱都是等可能的。設(shè) 小蟲爬行 n 米后恰回到 s 點(diǎn)的概率為 p n。(2006 年河南省示范 性高中調(diào)研考試試題)(1) 求 p 2, p 3 的值；(2) 求證：3p n+1 +p n=1;(3)求證：p 2+p 3+p n6n524(n 2,n n)。分析：如何把所給的遞推式數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列是本題的關(guān)鍵所在，可以用待定系數(shù)法來探求。本題首先應(yīng)抓住“在一頂點(diǎn) 處選擇不同的棱都是等可能的”的含義，即“若小蟲在s 點(diǎn)處，其選擇棱的概率為 14

2、,而在 a,b,e,d 中的每一處，選擇棱的概率為 13”；本題的關(guān)鍵是第(2)問，應(yīng)當(dāng)變形為 p n+1=13(1 pn)再作解釋。解：(1) p 2=(14X13)x4=13,p3= : 14X(13+13)x13x4=29。(2)本題即證明 p n+1=13(1 p n)。由于小蟲爬行 n米后恰回到 s 點(diǎn)的概率為 p n,則它爬行 n 米后不回到 s 點(diǎn)的概 率為 1 p n,這時(shí)它必處于底面四頂點(diǎn)中的一處，如在 a 處，它 再走 1 米回到 s點(diǎn)有 13 的可能性，故走(n+1)米回到 s 點(diǎn)的概率 是評(píng)注： 以四棱錐為載體，明為立體幾何，實(shí)為數(shù)列與其他知識(shí)的 交匯，高！高！打破知識(shí)

3、模塊系統(tǒng)的限制，串點(diǎn)成線，“站”在“方 法的多樣性，思維的靈活性，能力的綜合性”上討論問題，更有利 于提高學(xué)習(xí)效益。例 2 ( 1)甲、乙、丙三人練習(xí)傳球，從甲開始，則第 5 次仍傳 給甲的傳球方法共有多少種？(2)將上述問題推廣：包含甲在內(nèi)的 m(m 2)個(gè)人練習(xí)傳球，設(shè) 傳球 n 次，球首先從甲手中傳出，第 n 次仍傳給甲，共有多少種不 同的傳球方法？為解決上述問題，設(shè)傳球 n 次，第 n 次傳給甲的傳 球方法種數(shù)是 a n;設(shè)傳球 n 次，第 n 次不傳給甲的傳球方法種 數(shù)是 b n。求 a 1,a2,b1,并從排列組合的角度給出 an+1 =b n 的合理解釋；給出 a n+b n= (m 1)n 的合理解釋；設(shè) c n=an (m 1)n,證明：cn1m是等比數(shù)列；求 a n,并用(1)的結(jié)果加以驗(yàn)證。解：(1)共有 10 種不同的傳球方法。(2)a 1=0,b 1=m- 1,a 2=n 1,an+1 表小伶球n+1 次，第 n+1 次傳給甲，可以分兩步進(jìn)行：第一步傳球 n 次，第 n 次不傳給甲，共 b n 種；第二步再傳給甲，共 1 種。由乘法原 理知，a n+1=b n。a n+b n 表示傳球 n 次的所有不