2013數(shù)學(xué)建模古塔的變形

1、2 0 1 3高 教社 杯全 國(guó)大 學(xué)生 數(shù)學(xué) 建模競(jìng) 賽承諾書我們仔細(xì)閱讀了全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽章程和全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽參賽規(guī)則（以下簡(jiǎn)稱為“競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則” ，可從全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽網(wǎng)站下載）。我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料） ，必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如

2、有違反競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們授權(quán)全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組委會(huì)，可將我們的論文以任何形式進(jìn)行公開展示（包括進(jìn)行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進(jìn)行正式或非正式發(fā)表等）。我們參賽選擇的題號(hào)是（從a/b/c/d 中選擇一項(xiàng)填寫） ：c 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的話）：所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜簠①愱?duì)員 ( 打印并簽名 ) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人( 打印并簽名 ) ：（論文紙質(zhì)版與電子版中的以上信息必須一致，只是電子版中無(wú)需簽名。 以上內(nèi)容請(qǐng)仔細(xì)核對(duì)， 提交后將不再允許做任何修改。如填寫錯(cuò)誤，論文可能被取消評(píng)獎(jiǎng)資格。）日期： 201

3、3 年 9 月 13 日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2013 高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編號(hào)專用頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：對(duì)古塔變形問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模摘要中國(guó)古語(yǔ)有云，“救人一命勝造七級(jí)浮屠” ，所謂浮屠也就是大眾口中的“塔” 。在中國(guó)遼闊的大地上，古塔的蹤影隨處可見。它們?cè)煨途馈⒔Y(jié)構(gòu)巧妙，成為可多得的獨(dú)特景觀。早起的古塔，主要是閣樓式的建筑，從唐朝經(jīng)過(guò)兩宋至遼、金，是我國(guó)古塔發(fā)展的高峰時(shí)期，特別是唐和兩宋，古塔的建造達(dá)

4、到了空前繁榮度，總量較以前大增，材料也更為豐富，除了木材和磚、石以外，還使用了銅、鐵、琉璃等、材料上有木塔為主轉(zhuǎn)為以石塔為主，平面則由四方形逐漸演變?yōu)榱呛桶私切?。由于古塔建造年代久遠(yuǎn)，礙于當(dāng)時(shí)的科技技術(shù)， 或多或少總存在一些問(wèn)題，最常見的是地基不均勻沉降，從而導(dǎo)致塔體傾斜。由于古塔建造的年代不同，地質(zhì)情況千差萬(wàn)別，建造后所經(jīng)歷的人為破壞和自然力破壞也不盡相同，因此對(duì)古塔傾斜后處理與加固技術(shù)多種多樣，歸納起來(lái)不外乎兩類，即復(fù)位糾偏和加補(bǔ)強(qiáng)。根據(jù)管理部門調(diào)查表，分別 4 次觀測(cè)一個(gè)上千年的古塔在長(zhǎng)時(shí)間承受自重、氣溫、風(fēng)力，地震、颶風(fēng)的影響下，古塔會(huì)產(chǎn)生各種變形，如傾斜、彎曲、扭曲等，為保護(hù)古塔變

5、形情況，文物部門需要適時(shí)對(duì)古塔進(jìn)行觀測(cè)，了解各種變形情況，以制定必要的保護(hù)措施。我們根據(jù)4 次測(cè)量的數(shù)據(jù)，建立了古塔傾斜變形的預(yù)測(cè)模型。根據(jù)這個(gè)模型，我們可以比較準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)出每一年的變形情況，然后根據(jù)情況文物部對(duì)其制定合理的保護(hù)措施。針對(duì)問(wèn)題 1，我們首先要根據(jù)這幾年來(lái)四次古塔的數(shù)據(jù)變化情況，用建模軟件 matlab 制作成模型圖，用數(shù)學(xué)建模中擬合的方法來(lái)畫出塔的基本形狀， 再確定古塔每層的中心點(diǎn)，建立中心點(diǎn)擬合線方程模型，觀察是否有傾斜、扭曲、變形等情況。針對(duì)問(wèn)題 2，古塔傾斜的原因主要與日光照射、地基活動(dòng)有關(guān)。首先朝向陽(yáng)面的地基水分較少，陰面的地基水分較多，于是1 萬(wàn)多噸的塔，開始向水分較

6、多，地基松軟的方向傾斜。另外大量的地下水開采影響了地基的穩(wěn)固，而古塔附近的鐵路運(yùn)輸，也會(huì)造成震動(dòng)。而且，受到地基的不均勻沉降、地震、大風(fēng)等影響，都會(huì)有可能傾斜等變形情況。針對(duì)問(wèn)題 3，根據(jù)管理部門委托的測(cè)繪公司的數(shù)據(jù)表來(lái)看，古塔每年都以很小的角度在偏移，由于各種人為或者自然原因，使得古塔慢慢的傾斜為斜塔，斜塔并不一定都會(huì)倒塌，只要塔的重心線（通過(guò)重心點(diǎn)所引的垂直線）還在塔的底面積范圍內(nèi)，塔就是安全的。因此糾偏要根據(jù)每座塔的具體情況而定。且一般來(lái)說(shuō)，有些塔在傾斜的過(guò)程中，原本松軟的地基會(huì)被漸漸壓實(shí)，然后與傾斜角度構(gòu)成新的平衡，便就此穩(wěn)定下來(lái)。關(guān)鍵詞： 古塔變形變形趨勢(shì)預(yù)測(cè)傾斜彎曲扭曲維護(hù)文物中心

7、位置0 問(wèn)題背景在中國(guó)遼闊美麗的大地上，隨處都可以看到古塔的蹤影。這些千姿百態(tài)的古塔，其造型之美，結(jié)構(gòu)之巧，雕刻、裝飾之華麗，均堪與我國(guó)其它種類的古代建筑相比。然而，在我國(guó)早期的古代建筑物中有樓有閣，有臺(tái)有榭，有廊有廡，有民居有橋梁有陵墓，唯獨(dú)沒(méi)有塔。原來(lái)塔這種建筑并不是我國(guó)的固有類型，而是外國(guó)的一種建筑。在傳入我國(guó)以后，塔又和我國(guó)原有的建筑形式相結(jié)合，形成了一種具有中國(guó)民族傳統(tǒng)特色的新的建筑類型。由于古塔距今歷史久遠(yuǎn)，期間經(jīng)過(guò)各種風(fēng)吹雨打，自然以及人為損壞，因此需要相關(guān)管理部門對(duì)古塔做測(cè)量，并且針對(duì)不同的變形情況制定不同的維護(hù)方法，以保證古塔的保留，防止歷史建筑物的坍塌導(dǎo)致文化遺產(chǎn)的流逝與人

8、員傷害。1 問(wèn)題重述古塔，是中國(guó)五千年文明史的載體之一，古塔為祖國(guó)城市山林增光添彩，塔被佛教界人士尊為佛塔。矗立在大江南北的古塔，被譽(yù)為中國(guó)古代杰出的高層建筑。但由于存在時(shí)間久遠(yuǎn)，受各方面影響，古塔的可能會(huì)發(fā)生變形。如果不能及時(shí)發(fā)生古塔的變形，去及時(shí)維護(hù)，古塔就有可能遭受無(wú)法挽回的損失。古塔的變形，由于長(zhǎng)時(shí)間承受自重、氣溫、風(fēng)力等各種作用，偶然還要受地震、颶風(fēng)的影響，古塔會(huì)產(chǎn)生各種變形，諸如傾斜、彎曲、扭曲等。為保護(hù)古塔，文物部門需適時(shí)對(duì)古塔進(jìn)行觀測(cè)，了解各種變形量，以制定必要的保護(hù)措施。某古塔已有上千年歷史， 是我國(guó)重點(diǎn)保護(hù)文物。 管理部門委托測(cè)繪公司先后于1986年 7 月、1996年 8

9、 月、2009 年 3 月和 2011 年 3 月對(duì)該塔進(jìn)行了 4 次觀測(cè)。請(qǐng)你們根據(jù)附件 1 提供的 4 次觀測(cè)數(shù)據(jù)，討論以下問(wèn)題：?jiǎn)栴} 1：給出確定古塔各層中心位置的通用方法，并列表給出各次測(cè)量的古塔各層中心坐標(biāo)。問(wèn)題 2：分析該塔傾斜、彎曲、扭曲等變形情況。問(wèn)題 3：分析該塔的變形趨勢(shì)。2 問(wèn)題分析由給出了的一個(gè)古塔實(shí)例以及相應(yīng)數(shù)據(jù)（附件1，該實(shí)例古塔的4次觀測(cè)數(shù)據(jù)） 的條件下，要求建立該古塔的各層中心位置的通用方法，且列表給出各次測(cè)量的古塔各層的中心位置。并進(jìn)一步分析該古塔傾斜、彎曲、扭曲等變形情況，最后分析該古塔的變形趨勢(shì)。問(wèn)題 1 中要我們確定古塔各層中心位置的通用方法，并列表給出

10、各次測(cè)量的古塔各層中心位置。首先，我們假設(shè)各測(cè)量點(diǎn)都是選取得科學(xué)合理的位置，都是圍繞中心點(diǎn)的，并且同一層測(cè)量點(diǎn)大致在同一平面上，由已知數(shù)據(jù)（附件1）也可以看出它們是大致在同一平面上。那么，我們由已知條件知道每層給出的各測(cè)量點(diǎn)的數(shù)據(jù)，我們通過(guò)畫三維圖形可以看出，那近似于一個(gè)的多邊形，所以我們就可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠖噙呅蔚闹行奈恢?，然后記錄各個(gè)中心位置坐標(biāo)數(shù)據(jù)。問(wèn)題 2 中要我們分析該塔傾斜、彎曲、扭曲等變形情況。 我們可以根據(jù)問(wèn)題 1 中求得的各層的中心位置坐標(biāo)，然后將各層的中心位置坐標(biāo)，接連起來(lái)，觀察它。理論上正常古塔的中心位置坐標(biāo)連線應(yīng)該大致是一條垂直于x軸和 y軸平行 z軸的直線。如果中心位

11、置坐標(biāo)連線，還是直線但不平行于z 軸了，說(shuō)明該古塔發(fā)生了傾斜，如果中心位置坐標(biāo)連線不是一條直線，而是一條有一個(gè)弧度的曲線，那么說(shuō)明該古塔發(fā)生了彎曲，如果中心位置坐標(biāo)連線不是一條直線，而是一條有多個(gè)弧度的曲線，那么說(shuō)明該古塔發(fā)生了扭曲。問(wèn)題 3 要我們分析該塔的變形趨勢(shì)時(shí)，我們通過(guò)分析每一個(gè)中心點(diǎn)的變化趨勢(shì)，來(lái)判斷整個(gè)塔的變形趨勢(shì)，與預(yù)測(cè)古塔以后可能會(huì)發(fā)生的變形情況。3 模型假設(shè)假設(shè) 1：各測(cè)量點(diǎn)都是選取的都是科學(xué)合理的位置。假設(shè) 2：每層的測(cè)量點(diǎn)都是圍繞著這一層的中心點(diǎn)。假設(shè) 3：同一層測(cè)量點(diǎn)都大致在同一平面上。假設(shè) 4：各層測(cè)量點(diǎn)構(gòu)成的幾何圖形的中心是與這一層的中心位置相重合的。假設(shè) 5：測(cè)

12、量點(diǎn)的位置都是古塔上固定的位置。4 符號(hào)說(shuō)明jo-第j層中心；j-層數(shù)(1 2 3.13)j、；i-測(cè)量點(diǎn)標(biāo)記(1 2 3.)i、；x-x軸坐標(biāo)；y-y軸坐標(biāo)；z-z軸坐標(biāo)；x-擬合線x軸坐標(biāo)；y-擬合線y軸坐標(biāo)；z-擬合線z軸坐標(biāo)；0jx-第j層中心的x軸坐標(biāo)；0jy-第j層中心的y軸坐標(biāo)；0jz-第j層中心的z軸坐標(biāo)；n-測(cè)量點(diǎn)數(shù)t-時(shí)間t-時(shí)間差x-x坐標(biāo)差y-y坐標(biāo)差z-z坐標(biāo)差xq-x真實(shí)值與計(jì)算的近似值之差yq-y真實(shí)值與計(jì)算的近似值之差, , , ,m n p a b c d-方程中的參數(shù),jjjjabcd-第j層的方程參數(shù)5 模型建立與求解5.1 確定古塔各層中心位置的通用方法

13、，并列表給出古塔各層中心坐標(biāo)根據(jù)幾何中心計(jì)算方法， 我們可以得出計(jì)算各層中心位置的通用方法。即：我們把每層的8 個(gè)測(cè)量值，分別求x，y，z 的均值，得到的坐標(biāo)就是每層的中心位置。表 1：1986 年各層中心位置樓層中心位置坐標(biāo)x/m y/m z/m 1 566.6648 522.7105 1.7874 2 566.7196 522.6684 7.3202 3 566.7735 522.6273 12.7552 4 566.8161 522.5944 17.0783 5 566.8621 522.5591 21.7205 6 566.9084 522.5244 26.2351 7 566.946

14、7 522.5081 29.8369 8 566.9843 522.4924 33.3509 9 567.0218 522.4764 36.8549 10 567.0569 522.4230 40.1721 11 567.1045 522.4230 44.4409 12 567.1518 522.3836 48.7119 13 567.0850 522.7403 52.8343 塔頂567.2473 522.2437 55.1232 表 1 數(shù)據(jù)分析：我們可以從表中發(fā)現(xiàn)，中心位置的x 軸坐標(biāo)，在逐漸增加，而y軸坐標(biāo)在逐漸減少。而正常的塔，理論而言，x 軸和 y 軸坐標(biāo)因該是不變的。注：表 1

15、數(shù)據(jù)的計(jì)算代碼見附件5。結(jié)論：說(shuō)明該古塔發(fā)生了傾斜變形。表 2：1996 年各層中心位置層中心位置坐標(biāo)x/m y/m z/m 1 566.6650 522.7102 1.7830 2 566.7205 522.6674 7.3146 3 566.7751 522.6256 12.7508 4 566.8183 522.5922 17.0751 5 566.8649 522.5563 21.7160 6 566.9118 522.5210 26.2295 7 566.9506 522.5042 29.8322 8 566.9884 522.4881 33.3454 9 567.0265 522.

16、4714 36.8482 10 567.0620 522.4572 40.1676 11 567.1102 522.4173 44.4354 12 567.1578 522.3775 48.7074 13 567.0912 522.7340 52.8300 塔頂567.2543 522.2366 55.1198 表 2 數(shù)據(jù)分析：我們可以從表中發(fā)現(xiàn)，中心位置的x 軸坐標(biāo)，在逐漸增加，而y軸坐標(biāo)在逐漸減少。而正常的塔，理論而言，x 軸和 y 軸坐標(biāo)因該是不變的。注：表 2 數(shù)據(jù)的計(jì)算代碼見附件5。結(jié)論：說(shuō)明該古塔發(fā)生了傾斜變形。表 3：2009 年各層中心位置層中心位置坐標(biāo)x/m y/m z/m

17、 1 566.7268 522.7015 1.7645 2 566.7640 522.6693 7.3090 3 566.8001 522.6384 12.7323 4 566.8293 522.6132 17.0697 5 566.8603 522.5866 21.7094 6 566.9471 522.5342 26.2110 7 566.9792 522.5123 29.8246 8 567.0305 522.4797 33.3398 9 567.0816 522.4466 36.8438 10 567.1370 522.3937 40.1611 11 567.1799 522.3547

18、 44.4326 12 567.2225 522.3160 48.6998 13 567.2712 522.2715 52.8183 塔頂567.336 522.2148 55.091 表 3 數(shù)據(jù)分析：我們可以從表中發(fā)現(xiàn)，中心位置的x 軸坐標(biāo)，在逐漸增加，而y軸坐標(biāo)在逐漸減少。而正常的塔，理論而言，x 軸和 y 軸坐標(biāo)因該是不變的。注：表 3 數(shù)據(jù)的計(jì)算代碼見附件5。結(jié)論：說(shuō)明該古塔發(fā)生了傾斜變形。表 4：2011 年古塔各層中心位置坐標(biāo)層中心位置坐標(biāo)x/m y/m z/m 1 566.7270 522.7014 1.7632 2 566.7462 522.6690 7.2905 3 566

19、.8004 522.6387 12.7269 4 566.8297 522.6427 17.0520 5 566.8610 522.5860 21.7039 6 566.9478 522.5335 26.2045 7 566.9800 522.5115 29.8170 8 567.0313 522.4788 33.3366 9 567.0825 522.4457 36.8222 10 567.1381 522.3926 40.1441 11 567.1810 522.3535 44.4248 12 567.2238 522.3147 48.6838 13 567.2725 522.2701 5

20、2.8131 塔頂567.3375 522.2135 55.087 表 4 數(shù)據(jù)分析：我們可以從表中發(fā)現(xiàn)，中心位置的x 軸坐標(biāo)，在逐漸增加，而y軸坐標(biāo)在逐漸減少。而正常的塔，理論而言，x 軸和 y 軸坐標(biāo)因該是不變的。注：表 4 數(shù)據(jù)的計(jì)算代碼見附件5。結(jié)論：說(shuō)明該古塔發(fā)生了傾斜變形。5.2 分析該塔傾斜、彎曲、扭曲等變形情況我們由已知的空間直線的標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)向式方程整理得直線射影式方程其中map；00mbxzp；ncp；00ndyzp。這樣直線可以看作是用這 2 個(gè)方程表示的平面相交的直線，所以可以分別對(duì)2 個(gè)方程進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合。設(shè)?iixazb表示按擬合方程求得的近似值。一般地，它不同于實(shí)測(cè)值ix

21、，兩者之差同理可得當(dāng) q取最小值時(shí) a，b，c，d 的值即為方程的系數(shù)，即滿足下列方程時(shí)q值最小。有令方程組（ 6）可寫成其中：根據(jù) n 組數(shù)據(jù)點(diǎn)解方程組就可以得到a，b，c，d 的值，也就可以得到擬合線方程。然后我們就可以通過(guò)中心位置點(diǎn)擬合線和擬合線方程來(lái)判斷，古塔是否已經(jīng)發(fā)生傾斜，彎曲或扭曲。（1）通過(guò)前的算法模型， 我們建立出 1986 年中心位置擬合線方程為：注： a，b，c，d 參數(shù)的計(jì)算代碼見附件6。圖 11986 年古塔數(shù)據(jù)綜合分析分析 1986 年古塔變形情況：通過(guò)觀察圖 1 的第 4 個(gè)子圖，我們可以看出中心位置點(diǎn)基本上都是在擬合線上或附近的，說(shuō)明我們的建立的模型正確的，是可

22、靠性較高的模型。我們通過(guò)分析表1 中心點(diǎn)的位置坐標(biāo)， 中心點(diǎn) x 坐標(biāo)有逐層增加的趨勢(shì)， y 坐標(biāo)有減小的趨勢(shì)，然后結(jié)合擬合線方程和圖4 中的第 1 個(gè)子圖，可知中心擬合線不與z 軸平行，有向x 軸數(shù)值增加方向傾斜。我們?cè)俜治鰣D1 中的第 3 個(gè)子圖，這是一個(gè)府視圖， 我們可以觀察到古塔的測(cè)量點(diǎn)曲線圖的曲線密集程度分布是不均勻的，也說(shuō)明古塔發(fā)生變形。注：圖 1 生成的代碼見附件7。結(jié)論：綜上分析我們可以得出古塔發(fā)生了傾斜變形，往 x 軸數(shù)值增加方向與 y 軸數(shù)值減少方向傾斜。（2）通過(guò)前的算法模型，我們可以建立起1996 年中心位置擬合線方程為：注： a，b，c，d 參數(shù)的計(jì)算代碼見附件6。圖

23、 21996 年古塔數(shù)據(jù)綜合分析分析 1996 年古塔變形情況：通過(guò)觀察圖 2 的第 4 個(gè)子圖，我們可以看出中心位置點(diǎn)基本上都是在擬合線上或附近的，說(shuō)明我們的建立的模型正確的，是可靠性較高的模型。我們通過(guò)分析表2 中心點(diǎn)的位置坐標(biāo)， 中心點(diǎn) x 坐標(biāo)有逐層增加的趨勢(shì)， y 坐標(biāo)有減小的趨勢(shì)，然后結(jié)合擬合線方程和圖4 中的第 1 個(gè)子圖，可知中心擬合線不與z 軸平行，有向x 軸數(shù)值增加方向傾斜。我們?cè)俜治鰣D2 中的第 3 個(gè)子圖，這是一個(gè)府視圖， 我們可以觀察到古塔的測(cè)量點(diǎn)曲線圖的曲線密集程度分布是不均勻的，也說(shuō)明古塔發(fā)生變形。注：圖 2 生成的代碼見附件7。結(jié)論：綜上分析我們可以得出古塔發(fā)生

24、了傾斜變形，往 x 軸數(shù)值增加方向與 y 軸數(shù)值減少方向傾斜。（3）通過(guò)前的算法模型，我們可以建立起2009 年中心位置擬合線方程為：注： a，b，c，d 參數(shù)的計(jì)算代碼見附件6。圖 32009 年古塔數(shù)據(jù)綜合分析分析 2009 年古塔變形情況：通過(guò)觀察圖 3 的第 4 個(gè)子圖，我們可以看出中心位置點(diǎn)基本上都是在擬合線上或附近的，說(shuō)明我們的建立的模型正確的，是可靠性較高的模型。我們通過(guò)分析表3 中心點(diǎn)的位置坐標(biāo)， 中心點(diǎn) x 坐標(biāo)有逐層增加的趨勢(shì)， y 坐標(biāo)有減小的趨勢(shì)，然后結(jié)合擬合線方程和圖4 中的第 1 個(gè)子圖，可知中心擬合線不與z 軸平行，有向x 軸數(shù)值增加方向傾斜。我們?cè)俜治鰣D3 中的

25、第 3 個(gè)子圖，這是一個(gè)府視圖， 我們可以觀察到古塔的測(cè)量點(diǎn)曲線圖的曲線密集程度分布是不均勻的，也說(shuō)明古塔發(fā)生變形。注：圖 3 生成的代碼見附件7。結(jié)論：綜上分析我們可以得出古塔發(fā)生了傾斜變形，往 x 軸數(shù)值增加方向與 y 軸數(shù)值減少方向傾斜。（4）通過(guò)前的算法模型，我們可以建立2011 年中心位置擬合線方程為：注：a，b，c，d 參數(shù)的計(jì)算代碼見附件6。圖 42011 年古塔數(shù)據(jù)綜合分析分析 2011 年古塔變形情況：通過(guò)觀察圖 4 的第 4 個(gè)子圖，我們可以看出中心位置點(diǎn)基本上都是在擬合線上或附近的，說(shuō)明我們的建立的模型正確的，是可靠性較高的模型。我們通過(guò)分析表4 中心點(diǎn)的位置坐標(biāo)， 中心

26、點(diǎn) x 坐標(biāo)有逐層增加的趨勢(shì)， y 坐標(biāo)有減小的趨勢(shì)，然后結(jié)合擬合線方程和圖4 中的第 1 個(gè)子圖，可知中心擬合線不與z 軸平行，有向x 軸數(shù)值增加方向傾斜。我們?cè)俜治鰣D4 中的第 3 個(gè)子圖，這是一個(gè)府視圖， 我們可以觀察到古塔的測(cè)量點(diǎn)曲線圖的曲線密集程度分布是不均勻的，也說(shuō)明古塔發(fā)生變形。注：圖 4 生成的代碼見附件7。結(jié)論：綜上分析我們可以得出古塔發(fā)生了傾斜變形，往 x 軸數(shù)值增加方向與 y 軸數(shù)值減少方向傾斜。表 5：各層兩次測(cè)量期間中心位置變化情況1996-1986 2009-1996 2011-2009 變化量1 0.0002 -0.0003 -0.0044 0.0618 -0.0

27、087 -0.0185 0.0002 -0.0001 2 0.0009 -0.0010 -0.0056 0.0435 0.0019 -0.0056 -0.0178 -0.0003 3 0.0016 -0.0017 -0.0044 0.0250 0.0128 -0.0185 0.0003 0.0003 4 0.0022 -0.0022 -0.0032 0.0110 0.0210 -0.0054 0.0004 0.0295 5 0.0028 -0.0028 -0.0045 -0.0046 0.0303 -0.0066 0.0007 -0.0006 6 0.0034 -0.0034 -0.0056

28、0.0353 0.0132 -0.0185 0.0007 -0.0007 7 0.0039 -0.0039 -0.0047 0.0286 0.0081 -0.0076 0.0008 -0.0008 8 0.0041 -0.0043 -0.0055 0.0421 -0.0084 -0.0056 0.0008 -0.0009 9 0.0047 -0.0050 -0.0067 0.0551 -0.0248 -0.0044 0.0009 -0.0009 10 0.0051 0.0342 -0.0045 0.0750 -0.0635 -0.0065 0.0011 -0.0011 11 0.0057 -0

29、.0057 -0.0055 0.0697 -0.0626 -0.0028 0.0011 -0.0012 12 0.0060 -0.0061 -0.0045 0.0647 -0.0615 -0.0076 0.0013 -0.0013 13 0.0062 -0.0063 -0.0043 0.1800 -0.4625 -0.0117 0.0013 -0.0014 塔頂0.0070 -0.0071 -0.0034 0.0817 -0.0218 -0.0288 0.0015 -0.0013 表 5 數(shù)據(jù)分析：首先我們分析z 軸上的數(shù)據(jù)變化，我們從z 軸數(shù)值變化可知， z 軸數(shù)值一直都是在減少，說(shuō)明該古塔

30、的各層中心高度一直在降低，但各層間的減少量不一樣，說(shuō)明不是地基下沉引起的變化，說(shuō)明該古塔一定有傾斜變形。我們?cè)俜治鱿聏 軸上的數(shù)據(jù)變化， 我們從 x 軸數(shù)值變化可知， 該古塔的中心位置坐標(biāo)的x 軸坐標(biāo)幾乎都在增加，有明顯的趨勢(shì)，說(shuō)明古塔有往 x 軸正方向傾斜。我們最后在分析下y 軸上的數(shù)據(jù)變化， y 軸坐標(biāo)在 2009 至 1996 年間 1 到 7 層中心位置坐標(biāo)有增加而8 到塔頂有減少，說(shuō)明該時(shí)期該古塔在 y 軸方向上可能有彎曲，但看表5 中其它兩個(gè)期間的數(shù)據(jù)y 軸數(shù)值都是在減少說(shuō)明這兩個(gè)時(shí)間，該古塔又有向y 軸數(shù)值減少方向傾斜。從表 5 中我們看不到古塔有在某個(gè)方向上有，坐標(biāo)數(shù)值增加了，

31、 再減少，再增加，或減少了，再增加，再減少，所以我們可以初步認(rèn)定該古塔沒(méi)有發(fā)生扭曲。注：表 5 數(shù)據(jù)的計(jì)算代碼見附件7。結(jié)論：綜上分析我們可以大致知道此古塔的傾斜趨勢(shì)是往x 軸正方向即 x 軸坐標(biāo)增加方向傾斜，而在y 軸方向上有彎曲的跡象，并且有向 y 軸坐標(biāo)減少的方向傾斜，沒(méi)有發(fā)生扭曲。表 6：中心位置的變化情況1996-1986 2009-1986 2011-1986 變化量1 0.0002 -0.0003 -0.0044 0.0620 -0.0090 -0.0229 0.0622 -0.0091 2 0.0009 -0.0010 -0.0056 0.0444 0.0009 -0.0112

32、 0.0266 0.0006 3 0.0016 -0.0017 -0.0044 0.0266 0.0111 -0.0229 0.0269 0.0114 4 0.0022 -0.0022 -0.0032 0.0132 0.0188 -0.0086 0.0136 0.0483 5 0.0028 -0.0028 -0.0045 -0.0018 0.0275 -0.0111 -0.0011 0.0269 6 0.0034 -0.0034 -0.0056 0.0387 0.0098 -0.0241 0.0394 0.0091 7 0.0039 -0.0039 -0.0047 0.0325 0.0042

33、-0.0123 0.0333 0.0034 8 0.0041 -0.0043 -0.0055 0.0462 -0.0127 -0.0111 0.0470 -0.0136 9 0.0047 -0.0050 -0.0067 0.0598 -0.0298 -0.0111 0.0607 -0.0307 10 0.0051 0.0342 -0.0045 0.0801 -0.0293 -0.0110 0.0812 -0.0304 11 0.0057 -0.0057 -0.0055 0.0754 -0.0683 -0.0083 0.0765 -0.0695 12 0.0060 -0.0061 -0.0045

34、 0.0707 -0.0676 -0.0121 0.0720 -0.0689 13 0.0062 -0.0063 -0.0043 0.1862 -0.4688 -0.0160 0.1875 -0.4702 塔頂0.0070 -0.0071 -0.0034 0.0887 -0.0289 -0.0322 0.0902 -0.0302 表 6 數(shù)據(jù)分析：首先我們分析z 軸上的數(shù)據(jù)變化，我們從z 軸數(shù)值變化可知， z 軸數(shù)值一直都是在減少，說(shuō)明該古塔的各層中心高度一直在降低，但各層間的減少量不一樣，說(shuō)明不是地基下沉引起的變化，說(shuō)明該古塔一定有傾斜變形。我們?cè)俜治鱿聏 軸上的數(shù)據(jù)變化， 我們從 x 軸數(shù)

35、值變化可知， 該古塔的中心位置坐標(biāo)的x 軸坐標(biāo)幾乎都在增加，有明顯的趨勢(shì)，說(shuō)明古塔有往 x 軸正方向傾斜。我們最后在分析下y 軸上的數(shù)據(jù)變化， y 軸坐標(biāo)在這 4 次測(cè)量間 1到 7 層中心位置坐標(biāo)有增加而8 到塔頂有減少，說(shuō)明該時(shí)期該古塔在y 軸方向上可能有彎曲。從表 6 中我們沒(méi)有發(fā)現(xiàn)古塔有在某個(gè)方向上有，坐標(biāo)數(shù)值有增加趨勢(shì)了，再減少，再增加，或有減少趨勢(shì)了，再增加，再減少，所以我們可以初步認(rèn)定該古塔沒(méi)有發(fā)生扭曲。注：表 6 數(shù)據(jù)的計(jì)算代碼見附件7。結(jié)論：綜上分析我們可以大致知道此古塔的傾斜趨勢(shì)是往x 軸正方向即 x 軸坐標(biāo)增加方向傾斜，而在y 軸方向上有彎曲的跡象，并且有向 y 軸坐標(biāo)減

36、少的方向傾斜，沒(méi)有發(fā)生扭曲。綜上 6 次數(shù)據(jù)分析可得結(jié)論： 該古塔發(fā)生了傾斜和彎曲，古塔的傾斜趨勢(shì)是往 x 軸正方向即 x 軸坐標(biāo)增加方向和y 軸坐標(biāo)的負(fù)方向即坐標(biāo)減少方向傾斜，而在y 軸方向上有彎曲，目前該古塔還沒(méi)有發(fā)生扭曲變形。5.3 分析該塔的變形趨勢(shì)通過(guò) 4 次測(cè)量點(diǎn)的數(shù)據(jù)， 我們建立了一個(gè)擬合線趨勢(shì)分析模型，來(lái)預(yù)測(cè)該古塔的變形趨勢(shì)，因?yàn)閺纳厦娴姆治鑫覀兛芍摴潘](méi)有地基下沉現(xiàn)象，所以我們可知道塔的高度坐標(biāo)是一個(gè)因變量，所以不在考慮：模型正確定性與可用性檢驗(yàn)：圖 5 第 1 層到第 6 層的中心位置移動(dòng)趨勢(shì)擬合圖圖 6 第 7 層到塔頂?shù)闹行奈恢靡苿?dòng)趨勢(shì)擬合圖分析圖 5 和圖 6：第

37、 1、2、3、6、8、9、10、11、12、13 和塔頂?shù)臄M合線模型都是與中心位置點(diǎn)非常吻合，說(shuō)明這些層的模型是基本符合要求的，具有可靠性的，說(shuō)明此模型是可用的。注：圖 5 和圖 6 的生成代碼見附件8。根據(jù)此模型（模型方程11） ，我們通過(guò)分析計(jì)算得到表7 中每一層的參數(shù)數(shù)據(jù)：表 7：各層中心位置變形趨勢(shì)模型參數(shù)參數(shù)層a b c d 1 0.0044 -0.0428 -0.0006 0.0058 2 0.0023 -0.0205 0.0001 -0.0022 3 0.0018 -0.0159 0.0009 -0.0107 4 0.0008 -0.0056 0.0027 -0.0313 5 -

38、0.0003 0.0056 0.0021 -0.0235 6 0.0025 -0.0214 0.0009 -0.0122 7 0.0020 -0.0163 0.0005 -0.0091 8 0.0030 -0.0255 -0.0006 0.0020 9 0.0039 -0.0340 -0.0018 0.0126 10 0.0053 -0.0475 -0.0045 0.0788 11 0.0050 -0.0432 -0.0045 0.0383 12 0.0383 -0.0395 -0.0044 0.0372 13 0.0127 -0.1193 -0.0326 0.3151 塔頂0.0058 -0

39、.0504 -0.0016 0.0087 表 7 數(shù)據(jù)分析： 我們把表 7 中的數(shù)據(jù)帶入對(duì)應(yīng)的參數(shù)，就可以得到每一層的中心位置的x 和 y 的坐標(biāo)隨時(shí)間的變化情況的模型。分析參數(shù) a，a 幾乎都是正數(shù)，所以隨著時(shí)間的增加，中心位置的x 坐標(biāo)將越來(lái)越大，這符合了我們問(wèn)題2 中分析的古塔變形情況，古塔會(huì)向 x 軸數(shù)值增大的方向傾斜。分析參數(shù) c，c 在 1 到 7 層為正數(shù)，而在8 到塔頂，為負(fù)數(shù)，也驗(yàn)證問(wèn)題 2 中分析的古塔變形情況，古塔會(huì)向y 軸數(shù)值減少方向傾斜，和古塔會(huì)發(fā)生彎曲，彎曲點(diǎn)在7 和 8 層之間。我們也可以根據(jù)此模型方程結(jié)合模型方程（2）可以計(jì)算出z 軸的坐標(biāo)值。注：表 7 數(shù)據(jù)的

40、計(jì)算代碼見附件8。結(jié)論：該模型是可用的，具有可靠性，和擴(kuò)展性。通過(guò)該模型（模型方程 11）我們可以預(yù)測(cè)以后的時(shí)間，該古塔的中心位置坐標(biāo)是怎么變化的，會(huì)變化多少，我們都可以通過(guò)此模型計(jì)算得到。通過(guò)此模型分析該古塔我們得到該古塔會(huì)向x 軸數(shù)值增大的方向逐漸傾斜，同時(shí)會(huì)向y 軸數(shù)值減少方向逐漸傾斜，和古塔會(huì)逐漸發(fā)生彎曲，彎曲點(diǎn)在7 和 8 層之間。6 模型分析與評(píng)價(jià)6.1 從模型的假設(shè)來(lái)分析在模型的假設(shè)中， 我們所作的假設(shè)都非常符合于現(xiàn)實(shí)情況和實(shí)事的需求，如每層的測(cè)量點(diǎn)都是圍繞在這層的中心點(diǎn)，如果不圍繞，那說(shuō)明測(cè)量點(diǎn)只是取的某個(gè)局部區(qū)域的測(cè)量點(diǎn)，不具有代表性。6.2 從模型的真實(shí)性來(lái)分析模型是在現(xiàn)有

41、的數(shù)據(jù)條件下，總結(jié)出的合理的規(guī)律建立起來(lái)的模型，而根據(jù)模型求解出來(lái)的又如實(shí)的反映現(xiàn)實(shí)中的情況。如在運(yùn)用空間直線擬合分析中心位置模型的可靠性與古塔傾斜情況。6.3 從模型的求解方法來(lái)分析根據(jù)實(shí)際問(wèn)題， 分別對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分類取量分析、數(shù)據(jù)擬合分析、 線性規(guī)劃分析等多種方法來(lái)進(jìn)行建模求解，使模型更接近于真實(shí)性，準(zhǔn)確性，和可靠性。綜上分析： 該模型的具有合理性，真實(shí)性等優(yōu)點(diǎn)， 但它只是針對(duì)于該古塔的具體實(shí)例，缺乏模型的擴(kuò)展性，對(duì)其中一些細(xì)節(jié)問(wèn)題考慮得過(guò)于粗糙，也有其不足之處。如地域性，有的地方多大風(fēng)，有的地方多地震。7 模型推廣問(wèn)題1 中所建立的模型可以用來(lái)求古塔的中心位置，只要有合理的，符合我們假設(shè)的

42、測(cè)量點(diǎn)，我們就可以計(jì)算出古塔的中心位置。問(wèn)題 2 中有用到中心位置點(diǎn)擬合的模型，可以用來(lái)分析古塔的變形情況，在得到中心位置數(shù)據(jù)后，我們就可以通過(guò)分析中心位置點(diǎn)的擬合線情況判斷古塔發(fā)生什么變形。問(wèn)題3 我們可以古塔的預(yù)測(cè)模型可以預(yù)測(cè)將來(lái)的某年的各層中心位置變化情況。近而我們可以在根據(jù)問(wèn)題2 中的分析模型得知，古塔會(huì)發(fā)生什么樣的變形，是傾斜，還是扭曲還是彎曲，如果有彎曲，或扭曲，彎曲點(diǎn)在哪，扭曲點(diǎn)又在哪。8 對(duì)古塔的維護(hù)建議由于古塔建造的年代不同，地質(zhì)情況千差萬(wàn)別， 建造后所經(jīng)歷的人為破壞和自然力破壞也不盡相同，因此，對(duì)古塔傾斜后處理與加固技術(shù)多種多樣，歸納起來(lái)不外乎兩類，即復(fù)位糾偏和加固補(bǔ)強(qiáng)。另

43、外應(yīng)該根據(jù)當(dāng)?shù)氐牡乩憝h(huán)境，氣候環(huán)境制定合理的保護(hù)與維護(hù)措施，如古塔處是什么地質(zhì)， 常年刮什么風(fēng)。 對(duì)以經(jīng)發(fā)生了變形的古塔，一定要及時(shí)修護(hù)，同時(shí)分析變形的原因，針對(duì)變形原因，制定預(yù)防方案。9 參考文獻(xiàn)1 梁?？?，古塔變形測(cè)量方法探討， 城市勘測(cè)，2011 年 03 期： 113-114頁(yè)，2011。2 陳淑貞，空間直線方程的解題探討，海南師范大學(xué)學(xué)報(bào)( 自然科學(xué)版) ，2011 年 03 期：348-351 頁(yè)，2011。3 陳兆斗高瑞，高等數(shù)學(xué)（工本），北京海淀區(qū)成府路205 號(hào)：北京大學(xué)出版社， 2006。4 尚繼紅程曉偉，古塔加固工程實(shí)例，甘肅科技，2008 年第 7 期：133-135

44、頁(yè)，2008。5 胡志曉，古塔傾斜觀測(cè)和數(shù)據(jù)分析，江蘇建筑，2011 年第 6 期：34-35 頁(yè)，2011。6 陳東佐康玉慶，中國(guó)古塔的維修與保護(hù)，太原大學(xué)學(xué)報(bào)，2006 年第 4 期： 75-78 頁(yè)， 2006。7 桂占吉陳修煥楊亞輝，基于matlab 高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，武漢：華中科技大學(xué)出版社， 2010 年。10 附錄附件 1 1986 年觀測(cè)數(shù)據(jù)層點(diǎn)坐標(biāo)x/m y/m z/m 1 1 565.454 528.012 1.792 2 562.058 525.544 1.818 3 561.39 521.447 1.783 4 563.782 518.108 1.769 5 567.941

45、 517.407 1.772 6 571.255 519.857 1.77 7 571.938 523.953 1.794 8 569.5 527.356 1.801 2 1 565.48 527.764 7.326 2 562.238 525.364 7.351 3 561.663 521.42 7.314 4 564.001 518.226 7.301 5 567.995 517.563 7.306 6 571.165 519.961 7.304 7 571.801 523.908 7.324 8 569.414 527.141 7.336 3 1 565.506 527.52 12.76

46、1 2 562.415 525.188 12.786 3 561.931 521.394 12.749 4 564.216 518.343 12.736 5 568.048 517.716 12.741 6 571.076 520.063 12.74 7 571.666 523.864 12.758 8 569.33 526.93 12.771 4 1 565.526 527.327 17.084 2 562.555 525.047 17.109 3 562.144 521.373 17.072 4 564.387 518.435 17.059 5 568.091 517.838 17.064

47、 6 571.005 520.144 17.063 7 571.558 523.829 17.081 8 569.263 526.762 17.094 5 1 565.548 527.119 21.726 2 562.706 524.896 21.751 3 562.373 521.351 21.714 4 564.571 518.534 21.701 5 568.136 517.969 21.705 6 570.929 520.232 21.708 7 571.443 523.791 21.723 8 569.191 526.581 21.736 6 1 565.57 526.915 26.

48、267 2 562.854 524.748 26.309 3 562.6 521.329 26.308 4 564.752 518.632 26.264 5 568.18 518.095 26.189 6 570.857 520.315 26.136 7 571.333 523.755 26.164 8 569.121 526.406 26.244 7 1 565.671 526.652 29.869 2 563.132 524.585 29.911 3 562.883 521.356 29.91 4 564.949 518.846 29.866 5 568.172 518.346 29.79

49、1 6 570.679 520.441 29.737 7 571.094 523.672 29.765 8 568.994 526.167 29.846 8 1 565.77 526.397 33.383 2 563.403 524.427 33.425 3 563.158 521.382 33.424 4 565.141 519.055 33.38 5 568.164 518.59 33.305 6 570.506 520.564 33.251 7 570.862 523.591 33.279 8 568.87 525.933 33.36 9 1 565.868 526.141 36.887

50、 2 563.674 524.268 36.929 3 563.433 521.408 36.928 4 565.333 519.263 36.884 5 568.156 518.834 36.809 6 570.333 520.686 36.755 7 570.63 523.51 36.783 8 568.747 525.701 36.864 10 1 565.961 525.9 40.201 2 563.927 524.12 40.214 3 563.693 521.433 40.244 4 565.516 519.462 40.223 5 568.148 519.068 40.171 6

51、 570.171 520.801 40.038 7 570.408 523.433 40.129 8 568.631 525.482 40.157 11 1 566.078 525.628 44.472 2 564.193 523.95 44.485 3 563.958 521.463 44.505 4 565.649 519.607 44.486 5 568.094 519.242 44.442 6 570.013 520.885 44.309 7 570.236 523.35 44.4 8 568.615 525.259 44.428 12 1 566.195 525.355 48.743

52、 2 564.459 523.78 48.756 3 564.224 521.492 48.776 4 565.782 519.753 48.757 5 568.039 519.415 48.713 6 569.854 520.969 48.58 7 570.063 523.268 48.671 8 568.598 525.037 48.699 13 1 566.308 525.092 52.866 2 564.716 523.616 52.878 3 564.481 521.521 52.897 4 565.91 519.893 52.88 5 6 569.701 521.05 52.703

53、 7 569.897 523.188 52.794 8 568.582 524.822 52.822 塔尖1 567.255 522.238 55.128 2 567.235 522.242 55.108 3 567.247 522.251 55.128 4 567.252 522.244 55.129 1996 年觀測(cè)數(shù)據(jù)層點(diǎn)坐標(biāo)x/m y/m z/m 1 1 565.4542 528.0117 1.791 2 562.0582 525.5437 1.818 3 561.3902 521.4467 1.78 4 563.7822 518.1077 1.766 5 567.9412 517.4

54、067 1.765 6 571.2552 519.8567 1.763 7 571.9382 523.9527 1.785 8 569.5002 527.3557 1.796 2 1 565.4809 527.7631 7.324 2 562.2389 525.3631 7.343 3 561.6639 521.4191 7.306 4 564.0019 518.2251 7.294 5 567.9959 517.562 7.299 6 571.1659 519.9601 7.303 7 571.8019 523.907 7.317 8 569.4149 527.14 7.331 3 1 56

55、5.5076 527.5183 12.759 2 562.4166 525.1864 12.785 3 561.9326 521.3924 12.741 4 564.2176 518.3414 12.734 5 568.0496 517.7144 12.739 6 571.0776 520.0614 12.733 7 571.6676 523.8624 12.749 8 569.3316 526.9284 12.766 4 1 565.5282 527.3248 17.083 2 562.5572 525.0448 17.089 3 562.1462 521.3708 17.069 4 564

56、.3892 518.4328 17.056 5 568.0932 517.8358 17.057 6 571.0072 520.1418 17.056 7 571.5601 523.8268 17.102 8 569.2652 526.7598 17.089 5 1 565.5508 527.1162 21.724 2 562.7087 524.8932 21.75 3 562.3758 521.3482 21.706 4 564.5737 518.531 21.699 5 568.1388 517.9662 21.703 6 570.9317 520.2292 21.701 7 571.44

57、6 523.7882 21.714 8 569.1938 526.578 21.731 6 1 565.5734 526.9116 26.265 2 562.8574 524.7446 26.301 3 562.6034 521.3256 26.3 4 564.7554 518.6286 26.257 5 568.1834 518.0916 26.182 6 570.8604 520.3116 26.135 7 571.3364 523.7516 26.157 8 569.1244 526.4025 26.239 7 1 565.6748 526.6482 29.868 2 563.1358

58、524.581 29.904 3 562.8868 521.352 29.903 4 564.9528 518.8422 29.86 5 568.1758 518.3422 29.785 6 570.6828 520.437 29.737 7 571.0978 523.6682 29.759 8 568.9978 526.163 29.842 8 1 565.7743 526.3927 33.38 2 563.407 524.4227 33.423 3 563.162 521.3777 33.415 4 565.1453 519.0507 33.377 5 568.1683 518.5857

59、33.302 6 570.51 520.5597 33.243 7 570.8663 523.5867 33.269 8 568.8743 525.9287 33.354 9 1 565.8727 526.136 36.884 2 563.6787 524.263 36.92 3 563.4377 521.403 36.919 4 565.3377 519.258 36.876 5 568.161 518.829 36.801 6 570.3377 520.681 36.753 7 570.6347 523.505 36.775 8 568.752 525.696 36.858 10 1 56

60、5.9661 525.8948 40.199 2 563.9322 524.1148 40.213 3 563.6981 521.4278 40.236 4 565.5211 519.4568 40.221 5 568.1531 519.0628 40.169 6 570.1761 520.7958 40.031 7 570.4131 523.4278 40.12 8 568.6361 525.4768 40.152 11 1 566.0837 525.6223 44.469 2 564.1987 523.9443 44.483 3 563.9637 521.4573 44.496 4 565