2017屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練之阿波羅尼斯圓

1、精心整理2 0 1 7屆 高 三 第 一 輪 復(fù) 習(xí) 專 題 訓(xùn) 練 之 阿 波 羅 尼 斯 圓引例：1. 已知點(diǎn)( ,)m x y與兩定點(diǎn)(0,0),(3,0)oa的距離之比為12，那么點(diǎn)m的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么關(guān)系？ (人教 a版必修 2第 124頁習(xí)題 4.1b 組第 3 題) 2. 已知點(diǎn)08,02， qp， 點(diǎn) m 與點(diǎn) p 的距離是它與點(diǎn)q的距離的51， 用 幾何畫板探究點(diǎn)的軌跡，并給出軌跡的方程.( 人教 a版必修 2第 140頁例題) 背景展示 : 阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、 阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的

2、代表作圓錐曲線一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一.例 1.求證：到兩定點(diǎn)的距離的比值是不等于1 的常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓 .證明： 如圖， 設(shè)兩定點(diǎn)為 a、 b， |ab|=a， 動(dòng)點(diǎn)為 p， 距離的比值為常數(shù)1以 ab 為 x 軸、 a 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系， 則 b(a， 0)， 設(shè) p(x， y)， 由| pa| pb|得：例 2.（2008 年高考數(shù)學(xué)江蘇卷）若bcacab22，則abcs的最大值為解:顯然這是一例阿波羅圓，建立如圖的直角坐標(biāo)系，得：2238xy.設(shè)圓心為m，顯然當(dāng)cm x軸時(shí)，abc面積最大 ,此時(shí)2 2,cmmax12 222 22abcs. 評(píng)注：既然abc存在

3、，說明其軌跡不包括與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)p,q，現(xiàn)在問：p,q這兩點(diǎn)究竟有什么性質(zhì)？由于2pacapbcb，cp 為acb的內(nèi)角平分線；同理，cq為acb的外角平分線.這就是說，p,q分別是線段ab的內(nèi)分點(diǎn)和外分點(diǎn)，而pq正是阿氏圓的直徑 .于是“阿波羅尼斯圓”在我國(guó)又被稱為“內(nèi)外圓”因此，題 2 又有如下的軸上簡(jiǎn)潔解法 :動(dòng)點(diǎn)c到定點(diǎn)a(-1 ，0)和b（1，0）距離之比為2, 則有|1|2 |1|xx2222122161032 2xxxxxxx,得2231x為內(nèi)分點(diǎn)，232 2x為外分點(diǎn)圓半徑211222rxx，即為三角形高的最大值， 即abc高的最大值是22. 故abc的面積的最精心整理大值是

4、22. 例 3. （2006 年高考數(shù)學(xué)四川卷） 已知兩個(gè)定點(diǎn)01,02，ba. 如果動(dòng)點(diǎn) p滿足pbpa2，則點(diǎn)的軌跡所包圍的面積等于（）a.b. 4c.8d.9解:顯然這又是一個(gè)阿波羅圓，由上述評(píng)注我們可以實(shí)行軸上解決.設(shè)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，注意到2oaob,可知原點(diǎn)o為線段ab的內(nèi)分點(diǎn)設(shè)ab的外分點(diǎn)為,0c x，由2cacb221xx4x，即有c（4，0）.于是圓直徑為24ocr，2r，所求軌跡面積224s，故選b.例 4.（2015年高考數(shù)學(xué)湖北卷）如圖，圓c與x軸相切于點(diǎn)(1,0)t，與y軸正半軸交于兩點(diǎn),a b（b 在 a 的上方） ，且2ab （）圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為； （）過點(diǎn)a任作一條

5、直線與圓22:1o xy相交于,m n兩點(diǎn)，下列三個(gè)結(jié)論：namanbmb；2nbmanamb；22nbmanamb其中正確結(jié)論的序號(hào)是 .（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）解： （1）易知半徑2r，所以圓的方程為22122xy；（2）易知0,21 ,0,21ab，設(shè),p x y 為圓 c上任意一點(diǎn)，則22222142 222122122142 2221221221xyyypapbyyxy，故正確；21212nbmanamb，正確；21212 2nbmanamb，正確。【注】 ：阿波羅尼斯圓！圓22:1o xy上任一點(diǎn) p 到,a b的距離之比為21papb.練習(xí): 1.已知點(diǎn)( 2,0),(4,0)ab， 圓22:41 6 ,cxyp 是圓 c 上任意一點(diǎn)，問：是否存在常數(shù), 使得|papb？若存在，求出常數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由解: yxotcnamb精心整理2.已知( 2,0),a圓22:416,cxyp 是圓上任意一點(diǎn)，問：是否存在定點(diǎn) b，使得|1|2papb？若存在，求出點(diǎn)