一種減少連續(xù)T-S模糊系統(tǒng)基于LMI穩(wěn)定條件保守的方法

1、一種減少連續(xù)T-S模糊系統(tǒng)基于LMI穩(wěn)定條件保守的方法摘要 這篇文章主要處理減少連續(xù)T-S模糊系統(tǒng)穩(wěn)定條件的保守性，先前的穩(wěn)定性條件輕松的被解決，是通過(guò)對(duì)歸一化模糊權(quán)重函數(shù)時(shí)間導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的深入探究，以及對(duì)松弛變量矩陣的更多介紹。根據(jù)對(duì)歸一化模糊權(quán)重函數(shù)時(shí)間導(dǎo)數(shù)正定和負(fù)定的分析，一些余項(xiàng)從問(wèn)題公式中得到移除。因此，更多松弛變量矩陣被引入來(lái)擴(kuò)大設(shè)計(jì)空間，從而得到弱保守性穩(wěn)定條件。最后，通過(guò)一個(gè)熟知的算例來(lái)說(shuō)明本文結(jié)論的有效性。關(guān)鍵詞 模糊系統(tǒng) 松弛變量方法 穩(wěn)定性分析 連續(xù)T-S模糊模型1.引言：近幾十年來(lái)，Takagi-Sugeno模糊模型1已經(jīng)達(dá)到了成熟，因?yàn)樗呀?jīng)通過(guò)運(yùn)用stone-weier

2、strass得到證明，在現(xiàn)實(shí)中很多物理系統(tǒng)和處理過(guò)程都是復(fù)雜的非線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，這樣對(duì)系統(tǒng)分析和控制綜合帶來(lái)困難。T-S模糊模型，這一結(jié)果的獲得通過(guò)lyapunov直接法和線性矩陣不等式組(LMIs)的比較多(見(jiàn)3-7文獻(xiàn))。然而，很多早期結(jié)果都是建立在普通Lyapunov函數(shù)上，這使得結(jié)果非常保守4。為了更好地減少保守性，幾個(gè)新的Lyapnuov函數(shù)已開(kāi)發(fā)來(lái)克服這些困難，其中，分段二次Lyapnuov函數(shù)8-10和模糊Lyapnuov函數(shù)(FLF)11-16得到了很多的關(guān)注。FLF法包括為每個(gè)線性非時(shí)變模型找到對(duì)稱正定矩陣，然后用與T-S模糊系統(tǒng)相同的隸屬函數(shù)構(gòu)造一個(gè)多階的Lyapunov

3、函數(shù)。最近，通過(guò)在多面體域中不確定線性非時(shí)變(LIT)系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性分析的有效性運(yùn)用中得到啟發(fā)，齊次多項(xiàng)式參數(shù)依賴(HPPD)Lyapunov函數(shù)被擴(kuò)展進(jìn)行處理T-S模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析17-22 。因?yàn)镠PPD Lyapnuov函數(shù)是依賴高準(zhǔn)確度的歸一化模糊權(quán)重函數(shù)，歸一化模糊權(quán)重函數(shù)的代數(shù)特征得到進(jìn)一步開(kāi)發(fā)。然而，隨著HPPD矩陣相關(guān)度的增加，計(jì)算量隨之增加作為交換。另一方面，若保守性穩(wěn)定條件通過(guò)探索歸一化模糊權(quán)重函數(shù)時(shí)間導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和介紹很多松弛矩陣變量23-26。松弛矩陣變量X首次在文獻(xiàn)23中引進(jìn)。在文獻(xiàn)24，控制系統(tǒng)的微分方程可以看作一個(gè)等式約束條件，因此引進(jìn)更多的松弛矩陣變量來(lái)擴(kuò)大設(shè)

4、計(jì)空間。最近，先前的穩(wěn)定性條件通過(guò)重排實(shí)際問(wèn)題中一些關(guān)鍵詞的表達(dá)得以放松。代替先前的方法求得全局穩(wěn)定，廣義非二次Lyapnuov函數(shù)用來(lái)獲得局部漸進(jìn)性穩(wěn)定條件，局部漸進(jìn)穩(wěn)定即逐漸地提供更好的穩(wěn)定域估計(jì)，因此回避了二次結(jié)構(gòu)27。一個(gè)用來(lái)估計(jì)連續(xù)T-S模糊系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的吸引域(DA)的有效系統(tǒng)構(gòu)架得到了發(fā)展在28。 出于上述的觀察，這篇短文目的是深入探究歸一化模糊權(quán)重函數(shù)時(shí)間導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，從而引入很多松弛矩陣變量。通過(guò)分析歸一化模糊權(quán)重函數(shù)時(shí)間導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性，一些余項(xiàng)從問(wèn)題公式中得到移出。另外，很多松弛變量矩陣被引進(jìn)來(lái)擴(kuò)大設(shè)計(jì)空間。與26提出的結(jié)論相比，歸一化模糊權(quán)重函數(shù)時(shí)間導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性通常是首要考

5、慮的，因此更多適應(yīng)性被引進(jìn)來(lái)提高寬松量。最后，通過(guò)一個(gè)算例來(lái)說(shuō)明本文結(jié)論的有效性。注 整篇文章中，（）意味著這個(gè)矩陣是實(shí)對(duì)稱正定（半正定）矩陣。同樣，（）意味著這個(gè)矩陣是實(shí)對(duì)稱負(fù)定（半負(fù)定）矩陣。*代表對(duì)稱矩陣的對(duì)稱元。2.問(wèn)題公式和預(yù)備用模糊規(guī)則描述的文獻(xiàn)1T-S模糊系統(tǒng)，它代表非線性系統(tǒng)的子線性系統(tǒng)。全局T-S模糊模型可以寫(xiě)為一下式子： 這里是第個(gè)子系統(tǒng)的歸一化隸屬度，它滿足以下性質(zhì)： 為了方便，下文中我們用代替 。在實(shí)際應(yīng)用中，系統(tǒng)狀態(tài)變量總是有界值的。例如飛機(jī)的燃料質(zhì)量從最小值到最大值(即燃料箱）。因此，我們假設(shè)，這里和分別代表的最大值和最小值。正如28所述，引進(jìn)一個(gè)子集是很有用的，如

6、下描述：，這里，是組成提前變量的狀態(tài)變量的指標(biāo)集。令歸一化模糊權(quán)重函數(shù)屬于集合，定義狀態(tài)變量集合約束為：這里是的最大值，原點(diǎn)吸引域是滿足狀態(tài)漸進(jìn)收斂到原點(diǎn)的初始條件集：，假定是滿足（1）原點(diǎn)的李雅普農(nóng)夫函數(shù)，即滿足包含原點(diǎn)的鄰域包含原點(diǎn)，是連續(xù)可微函數(shù)，滿足（1）式的時(shí)間導(dǎo)數(shù)軌跡是局部負(fù)定的，即,.然后，實(shí)數(shù),分段集是吸引域的內(nèi)部估計(jì)，即如果則29因此吸引域內(nèi)估計(jì)由決定,這里。最近，若保守穩(wěn)定性條件被Mozelli等人提出，在24,這一結(jié)果從用來(lái)解耦Lyapunuov矩陣而被添加到基于LMI條件的松弛變量。不失一般性，T-S模糊模型可寫(xiě)為如下： 因此，給定矩陣和，由(3)式可得： 定義1.（見(jiàn)

7、24）若，已知正實(shí)數(shù)和，矩陣T-S模糊系統(tǒng)（1）漸近穩(wěn)定，若存在，對(duì)稱矩陣，且滿足一下矩陣不等式組： 這里 近期，以上穩(wěn)定性條件通過(guò)重排問(wèn)題中的關(guān)鍵詞得以放松。定義2.(見(jiàn)26) 若，已知正實(shí)數(shù)和，T-S模糊系統(tǒng)（1）是漸近穩(wěn)定，若對(duì)于一些固定的存在，對(duì)稱矩陣，且滿足以下矩陣不等式組： 且 這里，線性矩陣不等式組中符號(hào)這里“”表示“”和“”都必須計(jì)算，即和這兩種情況在LMI是可行的。下面，我們以一個(gè)對(duì)主要結(jié)論有著重要作用的重要的引理結(jié)束這部分。引理3.設(shè)和，都是對(duì)稱矩陣，我們有：a):如果且，那么對(duì)和滿足就有；b): 如果且，那么對(duì)和滿足就有；證明 a):對(duì)任意對(duì)稱矩陣和，實(shí)數(shù)是負(fù)定或非負(fù)定。

8、因此，在下有若，則，否則 在(11)中加上，就有若，則，否則 然后一下用11的結(jié)果。b)：用與證明a)同樣的方法來(lái)證明b)，然后得到證明。3.主要結(jié)論在這一部分，通過(guò)深入探究歸一化模糊權(quán)重函數(shù)的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，和引進(jìn)更多的松弛矩陣變量，若保守性穩(wěn)定性條件給出了。引理4. 若，已知正實(shí)數(shù)和，T-S模糊系統(tǒng)（1）是局部漸近穩(wěn)定，若對(duì)于一些固定的存在，對(duì)稱矩陣，且滿足以下矩陣不等式組：， ， , 且， ，且， ，且， ， ， 這里，。另外，是一個(gè)吸引域內(nèi)估計(jì)，這里。證明.這個(gè)證明同用23的模糊李雅普諾夫函數(shù)步驟。 是李雅普諾夫矩陣決定的且滿足（2-13）。因此，沿著（2-1）的軌跡，時(shí)間的時(shí)間導(dǎo)數(shù)計(jì)算為：

9、 看和假設(shè)，在任意時(shí)間點(diǎn)至少存在一個(gè)歸一化模糊權(quán)重函數(shù)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)滿足，。對(duì)一些固定的，證明分為兩種情況：首先我們給出當(dāng)時(shí)，然后證明當(dāng)時(shí)。證明第一部分，我們有 這里 ?？?，且，有 現(xiàn)在，若和都成立，有 和 因此，結(jié)合-和定理3的b)，如果LMIs-成立我們得到 從而用直接李雅普諾夫法得到T-S模糊系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，如果當(dāng)時(shí)LMIs-成立。下面當(dāng)，時(shí)，有 這里和?，F(xiàn)在如果（2-17）和（2-18）成立，則有 （2-26）和 （2-27）因此通過(guò)引理3的a）可得到如果（2-13）-（2-14）和（2-17）-（2-18）LMIs成立，從而用直接李雅普諾夫法得到T-S模糊系統(tǒng)（2-1）是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的

10、，如果當(dāng)時(shí)LMIs（2-13）-（2-14）和（2-17）-（2-18）LMIs成立。因此，得到T-S模糊系統(tǒng)（2-1）是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的，當(dāng)2-18）LMIs成立時(shí)。即證畢。注5.除時(shí)間導(dǎo)數(shù)上界可供使用之外，這篇文章的主要貢獻(xiàn)是一個(gè)歸一化模糊權(quán)重函數(shù)時(shí)間導(dǎo)數(shù)（即任意給定時(shí)間至少有一個(gè)時(shí)間導(dǎo)數(shù)幾乎處處等零）的總體特征被完全考慮了，在文獻(xiàn)11的等式（8）和之后的發(fā)展中，它的優(yōu)越性已經(jīng)運(yùn)用到。然而約束必須滿足和結(jié)果有點(diǎn)保守。通過(guò)分析歸一化模糊權(quán)重函數(shù)時(shí)間導(dǎo)數(shù)的正負(fù)特征，很多余項(xiàng)（不僅像11中的）從問(wèn)題公式中移出和引進(jìn)更多寬松條件來(lái)提高松弛質(zhì)量。因此，這種時(shí)間導(dǎo)數(shù)的上界未知的情況，文章中的寬松條件仍然

11、需要從27,28中修改區(qū)適應(yīng)系統(tǒng)穩(wěn)定性。如在28給出，計(jì)算吸引域的內(nèi)估計(jì)方法在下述步驟中得到總結(jié)：第一步，令，初始參量且足夠??；第二步，通過(guò)網(wǎng)格程序計(jì)算參數(shù)空，中的值，其中，。第三步，用第二步求得的值，解決定理4中的LMI問(wèn)題。如果LMI問(wèn)題可行，令，然后回到第二步。重復(fù)第二步直到條件找到一個(gè)可行解或者在上找到的界值。從而得到的最大值，以致對(duì)于系統(tǒng)是穩(wěn)定的。第四步，計(jì)算,這里表示李雅普諾夫矩陣。它可以通過(guò)一個(gè)網(wǎng)格程序數(shù)字估計(jì)，這個(gè)網(wǎng)格程序用等價(jià)于的表示，這里表示的上界。滿足，所以是吸引域的內(nèi)估計(jì)。另一方面，17-22中的HPPD李雅普諾夫函數(shù)也是減少保守性的有效的方法。但是這篇文章的主要目的是

12、通過(guò)深入探究歸一化模糊權(quán)重函數(shù)時(shí)間導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)來(lái)得到放松。確實(shí)通過(guò)用存在的FLFs得到了寬松的穩(wěn)定性條件，在這篇文章中也給出了結(jié)論，但是這不在本文的研究范圍之內(nèi)。下面，我們證明我們的結(jié)果提高了26中先前的結(jié)論在接下來(lái)的定理：定理6.定義2的條件重新使定理4中的且。就是前者是后者的特殊情況，定理4總是優(yōu)于或至少等于定義的結(jié)果2。證明：令且，（2-14）-（2-18）LMIs變?yōu)椋?, 且， （2-28） ，且， （，且， （， ， 事實(shí)上，很容易看出如果LMIs（2-28）-（2-32）滿足那么LMIs（2-14）-（2-18）成立。 另一方面，再看在定義2中給出的基于LMI穩(wěn)定性條件，可得到,

13、且， （2 這里。特別地，LMI(2-34)等價(jià)于一下兩個(gè)LMIs： （2-。從（2-33）中，總是有，且。那么很容易看出如果LMIs（2-35）-（2-36）滿足那么LMIs（2-29）-（2-30）成立.因此，LMIs(2-31)-(2-32)等價(jià)于:, （， 表1 對(duì)于不同值和不同方法的的可行最大值0.20.30.40.50.60.70.80.91.02429.721.016.313.411.39.88.67.66.82630.021.416.914.212.310.99.89.08.4 31.323.219.116.614.713.211.910.89.831.223.018.816.

14、214.412.911.710.79.8從（2-37）和（2-38），很容易看出LMIs(2-31)-(2-32)成立如果LMIs（2-35）-（2-36）成立。因此，可下結(jié)論如果LMIs（2-33）-（2-34）成立則LMIs（2-14）-（2-18）成立，即定義2的條件重新使定理4中的且。就是前者是后者的特殊情況，且定理4總是優(yōu)于或至少等于定義的結(jié)果2。證畢。注7 與26的結(jié)論相比，盡管移出了一些余項(xiàng)，但同時(shí)也增加了需要處理的矩陣不等式的數(shù)量，從而增加了計(jì)算量。例如，定理4中矩陣不等式數(shù)量是個(gè)，而定義2中的矩陣不等式數(shù)量是個(gè)，也就是條件得到寬松是以計(jì)算量增加作為條件的。另一方面，值得注意的

15、是狀態(tài)反饋控制設(shè)計(jì)的擴(kuò)大不是簡(jiǎn)易的，因?yàn)榉€(wěn)定性條件的獲得需要兩組矩陣不等式組。為了克服這種困難，可以用參數(shù)化方法，像設(shè)和這里是預(yù)設(shè)標(biāo)量。然而，如果用上述方法則有一些額外的保守性引進(jìn)來(lái)。因此，沒(méi)有引進(jìn)額外的保守狀態(tài)反饋控制設(shè)計(jì)的擴(kuò)大很難在未來(lái)的設(shè)計(jì)中。4.算例例8 考慮下面的連續(xù)時(shí)間非線性系統(tǒng):這里是常數(shù)。上述非線性系統(tǒng)可以被下面模糊模型精確代替：，這里， ，從而獲得歸一化模糊權(quán)重函數(shù)為：。這里我們假設(shè)是一個(gè)正數(shù)。表1展示了對(duì)于不同的和不同方法得到的最大可行值。表1中描述的結(jié)果反映了這篇文章中定理4有一個(gè)很大的估計(jì)穩(wěn)定域與24和26中給出的結(jié)論相比。而且，為了更清晰地展示結(jié)果，用不同的方法得到的

16、穩(wěn)定域在圖1展示出來(lái)了。圖1滿足幾個(gè)歸一化模糊權(quán)重函數(shù)時(shí)間導(dǎo)數(shù)邊界上的最大值圖2. ，和的軌跡用MFs的時(shí)間導(dǎo)數(shù)的同樣約束條件，通過(guò)文章中方法得到大量的，即本文定理4中的結(jié)果總是優(yōu)于或至少等于24和26的結(jié)果。特別地，當(dāng)特別小的時(shí)候它的優(yōu)越性是顯而易見(jiàn)的。下面，令，可以發(fā)現(xiàn)在24和26給出的兩種方法不能找到可行穩(wěn)定域。然而，用本文定理4當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的且計(jì)算為：， 選并利用得到的，在圖2中展示出局部二次函數(shù)，和的合成軌跡。從圖2中分別地看出和非單調(diào)遞減。事實(shí)上，本文定理4僅僅得到局部二次函數(shù)。事實(shí)上，在圖2中的軌跡是單調(diào)遞減，即，合成系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。5.結(jié)論在本文中提出了滿足連續(xù)時(shí)間T

17、-S模糊系統(tǒng)的弱保守穩(wěn)定性條件。存在穩(wěn)定性條件得以放松，通過(guò)深入探究歸一化模糊權(quán)重函數(shù)時(shí)間導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和引進(jìn)更多松弛矩陣變量來(lái)。通過(guò)分析歸一化模糊權(quán)重函數(shù)時(shí)間導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性，一些余項(xiàng)從問(wèn)題公式中得到移除，從而更多松弛變量矩陣被引入來(lái)擴(kuò)大設(shè)計(jì)空間。最后，通過(guò)一個(gè)算例來(lái)說(shuō)明本文結(jié)論的有效性。摘要 1 T. Takagi, M. Sugeno, Fuzzy identification of systems and its applications to modeling and control, IEEE Trans. Syst. Man Cybern. 15 (1)(1985) 116132.2 L

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