天津理工大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題答案詳解

1、第5章 大數(shù)定律與中心極限定理填空題:1.設(shè)隨機(jī)變量E(§=P,方差。(9=02，則由切比雪夫不等式有 P| 卜|芝3藥 £ -.9"2. 設(shè)與,，£ 是 n 個(gè)相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，E (§)=卜,D( ) = 8, (i = 1,2，n )對(duì)于£ = W -,寫出所滿足的切彼雪夫不等式 i 4 n-D( )8 -.1P| EP|N©= r，并估計(jì) P|EP|<421- 2 n ；2 1 J 2n3. 設(shè)隨機(jī)變量X，X2，X9相互獨(dú)立且同分布，而且有EXi =1 ,DXj =1(i =1,2，9),令X =

2、63; Xi ,則對(duì)任意給定的 &>0,由切比雪夫不等式 i A解：切比雪夫不等式指出:如果隨機(jī)變量X滿足:E(X)=H與D(X)=。2都存在，則54對(duì)任意給定的s >0,有P| X - 牛；_ 2菱與，或者P| X p_ 2F； -1 .由于隨機(jī)變量 X，X2，X9相互獨(dú)立且同分布，EXi =1, DXi =1(i =1,2，9),所以而且有=E(X) = Ew： XiL E(Xi) =' 1=9,.i 且i =1i =1二2= D(X) = Di£ Xj =£ D(XiZ 1 = 9.I ) iTiT4.設(shè)隨機(jī)變量X滿足：E(X)=七D(X)

3、=。2,則由切比雪夫不等式，一 ,1有P| X -|一 4_ 三16解：切比雪夫不等式為：設(shè)隨機(jī)變量X滿足E(X)=七D(X) =。2,則對(duì)任意的ea0,有P|XP件&三.由此得P| X 卜R4。里；2(4；)2165、設(shè)隨機(jī)變量七 E (身=卜，D 仁)=。2，則 P| E 一卜|<2。芝_：_6、設(shè),烏,，匕為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，且(i =1,2，)服從參數(shù)為島的泊松n' i - n ixt分布，貝U lim P 5 =fedt -n 兀,2： .二7、設(shè) 七表示n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A出現(xiàn)的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率，則 P a ： n <

4、bbp iJ2np(1-p) e 2 dta -np=% 2 二 np(1-p)-8. 設(shè)隨機(jī)變量-n,服從二項(xiàng)分布B(n, p),其中0 < p <1, n = 1,2，,那么，對(duì)于任一實(shí)數(shù) x,有 lim P| En np|<x| =0.n廣：9. 設(shè)X1,X2，Xn為隨機(jī)變量序列，a為常數(shù)，則Xn依概率收斂于a是指Ve>0,nliP Xn a | <1 , 或方 > 0, JiP X n a|&= 。10. 設(shè)供電站電網(wǎng)有100盞電燈，夜晚每盞燈開燈的概率皆為0.8.假設(shè)每盞燈開關(guān)是相互獨(dú)立的，若隨機(jī)變量X為100盞燈中開著的燈數(shù)，則由切比雪夫

5、不等式估計(jì)，X落在75至85之間的概率不小于 且.25解：E(X) =80, D(X)=16,于是169P(75 : X ：85) =P(|X -80| ：5)一12525.計(jì)算題：1、在每次試驗(yàn)中，事件 A發(fā)生的概率為0.5，利用切比雪夫不等式估計(jì)，在 1000次獨(dú)立 試驗(yàn)中，事件 A發(fā)生的次數(shù)在450至550次之間的概率.解：設(shè)X表示1000次獨(dú)立試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的次數(shù)，貝U E(X) = 500, D(X) =250P450 £X 三 550 =P| X - 500 50=P(| X -E(X) 50 _1 - D =1 - -250 = 0.9 50225002、一通信系統(tǒng)

6、擁有50臺(tái)相互獨(dú)立起作用的交換機(jī).在系統(tǒng)運(yùn)行期間，每臺(tái)交換機(jī)能清晰接 受信號(hào)的概率為 0.90.系統(tǒng)正常工作時(shí),要求能清晰接受信號(hào)的交換機(jī)至少45臺(tái).求該通信系統(tǒng)能正常工作的概率.解：設(shè)X表示系統(tǒng)運(yùn)行期間能清晰接受信號(hào)的交換機(jī)臺(tái)數(shù)，則X B（50,0.90）.由此P（通信系統(tǒng)能正常工作）=（45軟湘）-45-50 0.9X -50 0.950-50 0.9=P 50 0.9 0.1.50 0.9 0.150 0.9 0.1（2.36） -巾（0） = 0.990 9 - 0.5 = 0.490 9.3、某微機(jī)系統(tǒng)有120個(gè)終端，每個(gè)終端有5湖時(shí)間在使用，若各終端使用與否是相互獨(dú)立 的，試求有不

7、少于10個(gè)終端在使用的概率.解：某時(shí)刻所使用的終端數(shù) b（120，0.05），np = 6, npq = 5 7由棣莫弗一拉普拉斯定理知P _10 =110一6, 5.71工（1.67） = 0.0475.4、某校共有4900個(gè)學(xué)生，已知每天晚上每個(gè)學(xué)生到閱覽室去學(xué)習(xí)的概率為0.1,問閱覽室要準(zhǔn)備多少個(gè)座位，才能以99%勺概率保證每個(gè)去閱覽室的學(xué)生都有座位 解：設(shè)去閱覽室學(xué)習(xí)的人數(shù)為',要準(zhǔn)備k個(gè)座位. b（n, p）, n = 4900, p = 0.1,np = 4900 0.1 = 490, , npq=£4900 0.1 0.9 =而=21.P0 一 -k"

8、90.210-490.21，"'（一23."'k-490=0.99.21k 4902.326 3, k = 21 2.326 3 490 = 538.852 3查N（0，1）分布表可得21:539.要準(zhǔn)備539個(gè)座位，才能以99%勺概率保證每個(gè)去閱覽室學(xué)習(xí)的學(xué)生都有座位.5. 隨機(jī)地?cái)S六顆骰子 ，試?yán)们斜妊┓虿坏仁焦烙?jì)：六顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)總和不小于不超過33點(diǎn)的概率。解：設(shè)噪示六顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)總和。芻，表示第i顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，i = 1 , 2, , , 66&,&, , , & 相互獨(dú)立，顯然n =x與i=11-=gl 2 3

9、 4 5 6 七二1 12 2262 一49 =35641235=21 D =一2p'9 三 三33=p1 -E £12i=1p< -E 13«_1J=1 一竺169338:0.96.設(shè)隨機(jī)變量烏,弓知相互獨(dú)立，且均服從指數(shù)分布, 旭一先 x A0,、1 1咨 119qf(x)=J(k>0)為使 P一£ 玲一一 <件 9%nn，0x <0n k日 舄 10兀 /100問：n的最小值應(yīng)如何 ？.1.1解：E k , D k ="E 】£ 匕=】,。1£ 4 )=4(D£k)=<n kJ f

10、- Hk=1 J n n丸由切比雪夫不等式得jn k*k-11<10'p與1-eLn Jn kd1< -110'1竺2,(1100I 10% )2n_即1 _ 100n -95 , 從而n >2000 ,故n的最小值是2000 n 1007. 抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)， 如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個(gè)，則拒絕接受這批產(chǎn)品，設(shè)某批產(chǎn)品次品率為10%問至少應(yīng)抽取多少個(gè)產(chǎn)品檢查才能保證拒絕接受該產(chǎn)品的概率達(dá)到0.9?解：設(shè)n為至少應(yīng)取的產(chǎn)品數(shù)，X是其中的次品數(shù)，貝U X b（n,0.1）,PX >10芝 0.9，而 P(X -n 0.1.n 0.1 0.910-n 0.1n

11、 0.1 0.9 _0.9X -n 0.110-0.1n所以 P- £0.1,n 0.1 0.9. 0.09n由中心極限定理知，當(dāng)n充分大時(shí)，X -0.1n10 -0.1n、, ,10 -0.1n、有 P- ： n()=0.1,.n 0.1 0.9. 0.09n0.3.一 n土，,10 -0.1n、八.由心)=0.10.3. n10 - 0.1 n查表得=-1.28. n = 14703、n8. （1） 一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)由100個(gè)相互獨(dú)立的元件組成，在系統(tǒng)運(yùn)行期間每個(gè)元件損壞的概率為0.1 ,又知為使系統(tǒng)正常運(yùn)行， 至少必需要有85個(gè)元件工作，求系統(tǒng)的可靠程度（即正常 運(yùn)行的概率）；（2

12、）上述系統(tǒng)假設(shè)有 n個(gè)相互獨(dú)立的元件組成，而且又要求至少有80%的元件工作才能使系統(tǒng)正常運(yùn)行，問 n至少為多大時(shí)才能保證系統(tǒng)的可靠程度為0.95?解：（1）設(shè)X表示正常工作的元件數(shù)，貝U X b（100,0.9）,85-90X -100 0.9100 -90PX _8身=P100 _ X 85 =P 、9100 0.1 0.9. 9"_室7成333由中心極限定理可知,10,5,10, 5PX -85=如板）-：，（-三）= ：，（三）-（1 -n偵）3333.5. 5一光）-1 ='，（_） =0.9533（2）設(shè)X表示正常工作的元件數(shù)，則 X b（n,0.9）P(X _0.

13、8n) = P(0.8n 三 X 4) =P 一0如 -"0所 一 0.2n0.3 . n .n 0.9 0.10.3 . n、n X -0.9n 2,n X-0.9n,=Pn = P30.3 n 330.3 n, n , . n、. n 5=1 f () - ：iJ() =0.95n = 2533339. 一部件包括10部分，每部分的長度是一隨機(jī)變量，相互獨(dú)立且具有同一分布，其數(shù)學(xué)期望為2 mm，均方差為0.05 mm ,規(guī)定總長度為 20 土 0.1 mm時(shí)產(chǎn)品合格，試求產(chǎn)品合 格的概率。已知：中(0.6 ) = 0.7257;(0.63 ) = 0.7357。解：設(shè)每個(gè)部分的長

14、度為 Xi ( i = 1, 2, , 10 )依題意，得合格品的概率為E ( X i ) = 2 =4 D( X i ) = 了 = ( 0.05 )10P0.1 U Xi- 20 £0.113.18 0.0510(' Xi -10 2) £0.63i J0.631e* 2 二0.632 dt= 201 一 e 2 dt2：二0.63 12限定理，根據(jù)同分布的中心要極1200、i -010 一°1200 1121200 112-：，( _1 ) = 2：、( 1 ) _1=20.8413 -1 = 0.6826e 2 dt-1 = 2 0.7357 -1

15、 = 0.47142 -10 .計(jì)算機(jī)在進(jìn)行加法計(jì)算時(shí)，把每個(gè)加數(shù)取為最接近它的整數(shù)來計(jì)算，設(shè)所有取整誤差是相 互獨(dú)立的隨機(jī)變量，并且都在區(qū)間_0.5 , 0.5 上服從均勻分布，求 1200個(gè)數(shù)相加時(shí)誤 差總和的絕對(duì)值小于 10的概率。已知： 中(1)=0.8413，令 =0.9772 。解：設(shè)=,&表示取整誤差，因它們?cè)赺0.5 , 0.5 上服從均勻分布故有E = =0 , D巖=【，i=1,2",n1211. 將一枚硬幣連擲100次，試用隸莫佛-拉普拉斯定理計(jì)算出現(xiàn)正面的次數(shù)大于60的概率。已知 ：中(1) = 0.8413 ，中(2) = 0.9772; 當(dāng) x &

16、gt; 4 , (x) =1 。1解：設(shè)：為 擲100次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，它服從二項(xiàng)分布 B ( 100 , 一 )2這 里 np = 100=50, npq = 50】=2522由隸莫佛-拉普拉斯定理，得P60:£100? = P-50 100 -50< <2525 一r 50=P2 <10 =中(10 )中(2 )L5,查 N ( 0 , 1 ) 分布函 數(shù)表， 得 P( 60 < t < 100 ) = 1_0.977 = 0.023 .12 .有甲、乙兩種味道和顏色都極為相似的名酒各4杯.如果從中挑4杯，能將甲種酒全部挑出來，算是成功一次.(1)

17、 某人隨機(jī)地去猜，問他成功一次的概率是多少？(2) 某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒.他連續(xù)試驗(yàn)10次，成功3次.試推斷他是猜對(duì)的，還是他確有區(qū)分的能力(各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的).C41解：(1)設(shè)A=試驗(yàn)成功一次,則有P(A)= 一C4701(2)設(shè)X：試驗(yàn)10次成功的次數(shù)，則X B 10, 一 .I 70；由于P(X =3)= 3.1633 104.因此隨機(jī)事件X =3是一個(gè)小概率事件，根據(jù)“小概率事件在一次試驗(yàn)中是不大可能發(fā)生 的”的原理，隨機(jī)事件X =3是不大可能發(fā)生的，但它卻發(fā)生了，因此我們要以斷定此人 確有區(qū)分酒的能力.每被保險(xiǎn)人出事賠付金這個(gè)新保險(xiǎn)品種預(yù)計(jì)需13.保險(xiǎn)公司新增一個(gè)保險(xiǎn)

18、品種：每被保險(xiǎn)人年交納保費(fèi)為100元,額為2萬元.根據(jù)統(tǒng)計(jì)，這類被保險(xiǎn)人年出事概率為0.000 5.投入100萬元的廣告宣傳費(fèi)用.在忽略其他費(fèi)用的情況下，一年內(nèi)至少需要多少人參保，才能使保險(xiǎn)公司在該年度獲利超過100萬元的概率大于95%?x 12_(、(x) = i ：e 2dt,n (1.29) = 0.9015,'' (1.65) = 0.9505,'、(3.09) = 0.9990,-二 2(3.72) =0.999 9,小(4.27) =0.999 99)解：設(shè)參保人數(shù)為N人，則；,2"，卜NP(20 000 i 1000 000 <100N -1000 000) _ 0.95.NP(i 4i 4i £ N/200 -2 000000) _ 0.95.f Nz牛_ <VNpqi