圓中常用輔助線的作法

1、 圓是初中幾何學(xué)習(xí)中重要內(nèi)容，學(xué)好圓的有關(guān)知識(shí)，掌握正確的解題方法，對(duì)于提高學(xué)生的綜合能力非常重要，而在解決圓的有關(guān)問題時(shí)，恰當(dāng)添設(shè)輔助線則是解題的關(guān)鍵。一、添設(shè)圓的輔助線的常用思想 添設(shè)圓的輔助線是幾何學(xué)習(xí)的重要方法。在作輔助線時(shí)，應(yīng)從結(jié)論入手分析，尋找題設(shè)和結(jié)論之間的關(guān)系，尋找隱含的條件，使輔助線起到“搭橋鋪路”的作用。二、常用輔助線作法的應(yīng)用 在解決與弦、弧有關(guān)的問題時(shí)，常作弦心距、半徑等輔助線，利用垂徑定理、推論及勾股定理解決問題。2.1、弦心距 -有弦，可作弦心距。例1、一根橫截面為圓形的下水管道的直徑一根橫截面為圓形的下水管道的直徑為為1米，管內(nèi)有少量的污水（如圖），此時(shí)米，管內(nèi)有

2、少量的污水（如圖），此時(shí)的水面寬的水面寬AB為為0.6米求此時(shí)的水深。米求此時(shí)的水深。 由垂徑 定理得： AE = EB，由勾股定理可得OE=0.4米，則水深0.1米. 證明：過O作OE AB， 垂足為E，連接OA。E 在解決有關(guān)直徑的問題時(shí)，常作直徑上的圓周角，構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角是直角，尋找隱含的條件，從而得到所求結(jié)論。2.2、直徑圓周角 -有直徑，可作直徑上的圓周角.例2、如圖，AD是ABC外接圓的直徑，AD=6cm， DAC=ABC求AC的長(zhǎng)分析：連接CD，可得DAC=ADC則AC=CD=3 2cm 在解決有關(guān)切線問題時(shí)，常作過切點(diǎn)的半 徑，利用切線的性質(zhì)定理；或者連結(jié)過切點(diǎn)的弦，利用

3、弦切角定理，使問題得以解決。 2.3、切線徑 -有切點(diǎn)，可作過切點(diǎn)的半徑。 例3、如圖，AB、AC與 O相切有與B、C點(diǎn)，A = 50，點(diǎn)P優(yōu)弧BC的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求BPC的度數(shù)。 BOC = 360- A -ABO - ACO = 360- 50- 90-90 = 130 解：連結(jié) OB、 OC ， AB、AC是 O的切線 ABOB， ACOC，在四邊形ABOC中，A = 50 BPC = = 65ABO = ACO = 90 在解決兩圓相交的問題時(shí)，常作兩圓的公共弦，構(gòu)成圓內(nèi)接四邊形。再利用圓內(nèi)接四邊形定理，架設(shè)兩圓之間的”橋梁”，從而尋找兩圓之間的等量關(guān)系。2.4、兩圓相交公共弦 -兩圓相交

4、，可作公共弦。 例4、如圖，已知： O 和 O 相交于A、B兩點(diǎn)，過A點(diǎn)的直線CD分別交 O 和 O 于C 、D；過B點(diǎn)的直線EF分別交 O 和 O 于E 、F 。求證：CEDF 。CEDF 122 21121證明：連結(jié)AB四邊形ACEB是 O 的內(nèi)接四邊形 DAB = E四邊形ABFD是 O 的內(nèi)接四邊形 DAB +F = 180 E +F = 180 在解決有關(guān)中點(diǎn)和圓心的問題時(shí)，可先連結(jié)中點(diǎn)與圓心。利用垂徑定理，或者是三角形、梯形的中位線定理，可求出所需要的結(jié)論。2.5、中點(diǎn)圓心線 -有中點(diǎn)和圓心，可連結(jié)中點(diǎn)與圓心。例5、如圖，已知AB、CD是 O的兩條弦，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，

5、并且 AMN = CNM 。求證：AB = CD 。即：AB = CD 證明：連結(jié)OM、 ONM、N分別是AB、CD的中點(diǎn)OMAB，ONCDAMO = CNO = 90 又 AMN = CNM OMN = ONM OM = ON 弦與弦心距，親密緊相連。中點(diǎn)與圓心，連線要領(lǐng)先。兩個(gè)相交圓，不離公共弦。遇直徑想直角，遇切點(diǎn)作半徑。圓的常用輔助線作法的“數(shù)學(xué)歌訣”三、嘗試練習(xí)一1、如圖，點(diǎn)O是EPF的平分線上的一點(diǎn)，以O(shè)為圓心的圓與角的兩邊分別交于A 、B和C、D點(diǎn)。求證：（1）、AB = CD （2）、PB =PD。PO平分BPA，OM=ONAB=CD。（1）、證明：過O作OMAB，ONCD，垂

6、足為M、N。MN三、嘗試練習(xí)一1、如圖，點(diǎn)O是EPF的平分線上的一點(diǎn)，以O(shè)為圓心的圓與角的兩邊分別交于A 、B和C、D點(diǎn)。求證：（1）、AB = CD （2）、PB =PD。（2）、AB=CD，OMAB，ONCDAM=MB=CN=ND又OM=ON，RtPMO RtPNOPM=PNPM+MB=PN+ND即：PB=PD2、如圖，以RtABC的直角邊AC為直徑作 O交斜邊AB于P，過B、P任意作一個(gè)圓，過A作所作圓的切線AD，切點(diǎn)為D。求證： 即：AD=ACAC是 O的直徑，APC =90ACB=90，APCACB又AD是大 的切線證明：連結(jié)CP，3、如圖，在 O中，半徑OAOB垂足為O，P是OB上

7、任意一點(diǎn)，AP交 O于Q，過Q點(diǎn)的切線交OB的延長(zhǎng)線于C。求證：CP = CQ。QC是 O的切線， OQC=90OA=OQ，OAQ=OQA又OAOB，APO=90-OAPCQP=90-OQA APO=CQPCQP=CPQ， CP = CQ。證明：連結(jié)OQ4、已知、AB是 O的直徑，AC是 O的切線，切點(diǎn)為A，BC交 O于點(diǎn)D，E是AC的中點(diǎn)。求證：ED是 O的切線。OE是ABC的的中位線OEBCAOE=B，EOD=ODBOB=OD，B =ODBAOE = EOD又AC是 O的切線，OAE=90 OD=OA AOE = EOD OE=OEEAO EDOEDO=EAO=90即：ED是 O的切線。證明：連結(jié)OD，OE 5、已知：MN 切 O于A點(diǎn)，PC是直