高中數(shù)學(xué)新學(xué)案同步必修4人教B版全國通用版：第二章平面向量2.1.4

1、21.4數(shù)乘向量學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解數(shù)乘向量的概念，并理解這種運(yùn)算的幾何意義.2.理解并掌握數(shù)乘向量的運(yùn)算律，會(huì)運(yùn)用數(shù)乘向量運(yùn)算律進(jìn)行向量運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)一數(shù)乘向量的定義思考 1實(shí)數(shù)與向量相乘的結(jié)果是實(shí)數(shù)還是向量？答案向量思考 2向量 3a， 3a 與 a 從長(zhǎng)度和方向上分析具有怎樣的關(guān)系？答案3a 的長(zhǎng)度是a 的長(zhǎng)度的3 倍，它的方向與向量a 的方向相同3a 的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的3 倍，它的方向與向量a 的方向相反梳理(1)定義：實(shí)數(shù) 和向量 a 的乘積是一個(gè)向量，記作 a，且 a 的長(zhǎng) | a| |a|. a(a0)的方向當(dāng) 0時(shí)，與 a同方向；當(dāng) 0時(shí)，與 a反方向 .當(dāng) 0 或 a0 時(shí)， 0a0

2、 或 00. (2) a 中的實(shí)數(shù) ，叫做向量a 的系數(shù)數(shù)乘向量的幾何意義就是把向量a 沿著 a 的方向或a的反方向放大或縮小知識(shí)點(diǎn)二向量數(shù)乘的運(yùn)算律思考類比實(shí)數(shù)的運(yùn)算律，向量數(shù)乘有怎樣的運(yùn)算律？答案結(jié)合律，分配律梳理向量數(shù)乘運(yùn)算律(1) ( a)()a. (2)( )a a a. (3) (ab) a b. 知識(shí)點(diǎn)三向量的線性運(yùn)算向量的加法、減法和數(shù)乘向量的綜合運(yùn)算，通常叫做向量的線性運(yùn)算類型一數(shù)乘向量概念的理解例 1已知 a， b是兩個(gè)非零向量，判斷下列各命題的對(duì)錯(cuò)，并說明理由：(1)2a 的方向與a 的方向相同，且2a 的模是 a 的模的 2 倍；(2) 2a 的方向與5a 的方向相反，

3、且2a 的模是 5a 的模的25；(3) 2a 與 2a 是一對(duì)相反向量；(4)ab 與 (ba)是一對(duì)相反向量；(5)若 a， b不共線，則 a 與 b不共線解(1)正確 20，2a 與 a 同向，且 |2a|2|a|. (2)正確 50，5a 與 a 同向，且 |5a|5|a|. 20 時(shí)， a 與 a 同向，模是|a|的 倍；當(dāng) 0 時(shí)， a 與 a 反向，模是 |a|的 倍；當(dāng) 0 時(shí)， a0. 跟蹤訓(xùn)練1設(shè) a 是非零向量， 是非零實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是() aa 與 a 的方向相反b | a|a| ca 與 2a 的方向相同d | a| |a答案c 解析當(dāng) 0時(shí)， a 與 a 方

4、向相同，故a 錯(cuò)；當(dāng)| |1 時(shí)， | a| |a|，故 b 錯(cuò)；| a| |a|，故 d 錯(cuò)； 0， 20， a 與 2a 的方向相同，故選c. 類型二向量的線性運(yùn)算例 2(1)化簡(jiǎn)：142(2a4b)4(5a 2b)解142(2 a 4b) 4(5a2b)14(4a8b20a 8b) 14(16a16b) 4a 4b. (2)已知向量為a，b，未知向量為x，y，向量a，b，x，y 滿足關(guān)系式3x2y a， 4x3yb，求向量x，y. 解因?yàn)?x2ya，4x3yb，由 3 2，得 x3a2b，代入 得 3 (3a2b)2ya，即 y4a3b. 所以 x3a 2b，y 4a3b. 反思與感悟(

5、1)向量的數(shù)乘運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，例如實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在實(shí)數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“ 同類項(xiàng)”、“ 公因式 ”是指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù)(2)向量也可以通過列方程和方程組求解，同時(shí)在運(yùn)算過程中多注意觀察，恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用運(yùn)算律，簡(jiǎn)化運(yùn)算跟蹤訓(xùn)練2(1)計(jì)算： (a b) 3(ab)8a. 解(ab)3(ab)8a(a3a)(b3b)8a 2a 4b8a 10a4b. (2)若 2 y13a 13(cb3y)b0，其中 a，b，c為已知向量，則未知向量y_. 答案29a29b19c解析因?yàn)?2 y13a 13(cb3y) b0，3y23

6、a23b13c0，所以 y29a29b19c. 類型三用已知向量表示其他向量例 3在 abc 中，若點(diǎn)d 滿足 bd2dc，則 ad等于 () a.13ac23abb.53ab23acc.23ac13abd.23ac13ab答案d 解析示意圖如圖所示，由題意可得 adabbdab23bcab23(acab)13ab23ac. 反思與感悟用已知向量表示未知向量的求解思路(1)先結(jié)合圖形的特征，把待求向量放在三角形或平行四邊形中(2)然后結(jié)合向量的三角形法則或平行四邊形法則及向量共線定理用已知向量表示未知向量(3)當(dāng)直接表示比較困難時(shí)，可以利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的

7、等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程跟蹤訓(xùn)練3如圖，在 abc 中，d，e 為邊 ab 的兩個(gè)三等分點(diǎn)，ca 3a，cb2b，求cd，ce. 解ca3a，cb2b，abcbca2b3a. 又d，e 為邊 ab 的兩個(gè)三等分點(diǎn)，ad13ab23ba，cdcaad3a23ba 2a23b，ce caae3a23ab3a23(2b3a)a43b. 1已知 a5e，b 3e，c4e，則 2a3bc 等于 () a5eb 5ec23ed 23e答案c 解析2a3bc25e3(3e) 4e23e. 2在 abc 中， m 是 bc 的中點(diǎn)，則 ab ac等于 () a.12amb.amc2amd.ma答案c

8、 解析如圖，作出平行四邊形abec，m 是對(duì)角線的交點(diǎn)，故m 是 bc 的中點(diǎn)，且是ae 的中點(diǎn)，由題意知，abac ae2am，故選 c. 3若 3x2(xa)0，則向量x 等于 () a2ab 2ac.25ad25a答案b 4如圖所示， d 是 abc 的邊 ab 上的中點(diǎn)，則向量cd等于 () a.bc12bab bc12bac bc12bad.bc12ba答案b 解析cdbdbc12babc. 5.如圖所示，已知ap43ab，用 oa，ob表示 op. 解opoaapoa43aboa43(oboa)13oa43ob. 1實(shí)數(shù)與向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加、減運(yùn)算，例如 a， a

9、是沒有意義的2 a 的幾何意義就是把向量a 沿著 a 的方向或反方向擴(kuò)大或縮小為原來的| |倍 . 一、選擇題1下列說法中正確的是() a a 與 a 的方向不是相同就是相反b若 a，b共線，則b ac若 |b|2|a|，則 b 2ad若 b 2a，則 |b|2|a| 答案d 解析顯然當(dāng) b 2a 時(shí)，必有 |b|2|a|. 2 在 abc 中，如果 ad， be 分別為 bc， ac 上的中線， 且ad a， beb， 那么 bc等于 () a.23a43bb.23a23bc.23a43bd23a43b答案a 解析由題意，得 bcbeecb12acb12(addc) b12a14bc，即bc

10、b12a14bc，解得 bc23a43b. 3.如圖， ab 是 o 的直徑，點(diǎn)c，d 是半圓弧ab 上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，aba，acb，則ad等于 () aa12bb.12abca12bd.12ab答案d 解析連接 cd，od，如圖所示點(diǎn) c， d 是半圓弧ab 上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，accd，cad dab1390 30 . oaod， adodao30 . 由此可得 cadado30 ， acdo. 由 accd，得 cda cad30 ， cda dao，cdao，四邊形 acdo 為平行四邊形，adaoac12abac12ab. 4設(shè) d 為 abc 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，bc3cd，則 ()

11、a.ad13ab43acb.ad13ab43acc.ad43ab13acd.ad43ab13ac答案a 解析 bc3cd，acab3(adac)，即 4acab3ad， ad13ab43ac. 5已知 m，n 是實(shí)數(shù)， a， b是向量，則下列命題中正確的是() m(ab)mamb； (mn)a mana；若 mamb，則 ab；若 mana，則 mn. abcd答案b 解析 和屬于數(shù)乘對(duì)向量與實(shí)數(shù)的分配律，正確；中，若m 0，則不能推出ab，錯(cuò)誤； 中，若 a0，則 m，n 沒有關(guān)系，錯(cuò)誤6o 是平面內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，a，b，c 是平面內(nèi)不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p 滿足 opoaab|ab|ac|ac

12、|， 0， )，則點(diǎn) p 所在的直線是abc 的() a邊b中線c高d角平分線答案d 7如圖，已知o 是 abc 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，d 為 bc 邊的中點(diǎn)，且2oaoboc0，那么() a.aoodb.ao2odc.ao3odd2aood答案a 解析 2oaoboc2oa 2od0，aood. 二、填空題8 若 2 y13a 12(cb3y)b0， 其中 a， b， c 為已知向量， 則未知向量y _. 答案421a17b17c9(a9b2c)(b2c) _. 答案a10b10在?abcd 中，aba，adb，an3nc，m 為 bc 的中點(diǎn)， 則 mn_.(用 a，b 表示 ) 答案14b14

13、a解析如圖，mnmbbaan12b a34ac12b a34(ab) 14(ba)三、解答題11化簡(jiǎn)下列各式(1)3(6a b)9 a13b ；(2)123a2b a12b212a38b ；(3)(abcd)(acbd)；(4)(acbooa)(dcdoob)解(1)原式 18a3b9a 3b9a. (2)原式122a32b a34ba34ba34b0. (3)(abcd)(acbd) (abbd)(accd)adad0. (4)(acbooa)(dcdoob) (acba)(ocob)bcbc 0. 12設(shè) x 為未知向量，解關(guān)于x 的方程(1)13x3a215b0；(2)2(x3a)3(x

14、4b)0. 解(1)13x 3a215b，x 9a25b. (2)由題意，得5x6a12b，x65a125b. 13在 abc 的內(nèi)部有一點(diǎn)o 滿足 oaoc3ob0，求saobsaoc的值解設(shè) ac 的中點(diǎn)為d，則oaoc 2od，2od 3ob0，即ob23od，saobsaocsaob2saod122313. 四、探究與拓展14.如圖，在正六邊形abcdef 中， o 為其中心，下列向量：ca； df；abfe；bcde； obocodoe.其中與 faab2boed相等的向量有 _ (填對(duì)應(yīng)向量的序號(hào)即可) 答案解析faab 2boed (faabbe)ed feedfdac df，與 相等，與不相等；abfeabbcac，與 相等；bcdebcedbcabac， 與相等；o