題型七 綜合實(shí)踐題-備考2022年中考數(shù)學(xué)第二輪重難題型突破（解析版）

1、題型七題型七 綜合實(shí)踐題綜合實(shí)踐題例例 1 【問題情境】【問題情境】已知 rtabc 中，bac90，abac，點(diǎn) e 是線段 ac 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與 a、c 重合)，以 ce 為一邊作 rtdce，使dce90， 且 cdca.沿 ca 方向平移cde， 使點(diǎn) c 移動(dòng)到點(diǎn) a， 得到abf.過點(diǎn) f 作 fgbc， 交線段 bc 于點(diǎn) g，連接 dg、eg.【深入探究】(1)如圖，當(dāng)點(diǎn) e 在線段 ac 上時(shí)，小文猜想 gcgf，請你幫他證明這一結(jié)論；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn) e 在線段 ac 的延長線上，且 ceca 時(shí)，猜想線段 dg 與 eg 的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的猜想；【拓展應(yīng)

2、用】(3)如圖，將(2)中的“ceca”改為“ceca”，若設(shè)cde，請用含的式子表示cge 的度數(shù)(直接回答即可，不必證明)第 1 題圖【答案】(1)證明：在 rtbac 中，bac90，abac，bcaabc45，fgbc，fgc90，gfc90gcf45，gfcgcf，gcgf；(2)解：dgeg，dgeg；證明：同(1)可證 gcgf，dce90，bca45，dcg45，gfc45，dcgefg，cde 平移得到abf，ceaf，cecfafcf，即 efac，accd，efcd，dcgefg(sas)，dgeg，dgcegf，dgcegcegfegc，即dgecgf90，dgeg；(

3、3)解：cge180.例例 2在正方形 abcd 中，bd 是一條對(duì)角線，點(diǎn) p 在直線 cd 上(不與點(diǎn) c、d 重合)，連接 ap，平移adp，使點(diǎn) d移動(dòng)到點(diǎn) c，得到bcq，過點(diǎn) q 作 qhbd 于 h，連接 ah，ph.【問題發(fā)現(xiàn)】(1)如圖，若點(diǎn) p 在線段 cd 上，ah 與 ph 的數(shù)量關(guān)系是_，位置關(guān)系是_；【拓展探究】(2)如圖，若點(diǎn) p 在線段 cd 的延長線上，其他條件不變，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明，否則說明理由；【解決問題】(3)若點(diǎn) p 在線段 dc 的延長線上，且ahq120，正方形 abcd 的邊長為 2，請直接寫出 dp 的長度第 2

4、題圖【答案】解：(1)ahph，ahph；【解法提示】如解圖，連接 hc，第 2 題解圖四邊形 abcd 是正方形，bdc45，又qhbd，dhq 是等腰直角三角形，hdhq，hdphqc45，由平移的性質(zhì)可知 dpcq，在hdp 和hqc 中，hdhqhdphqcdpqc，hdphqc.hphc，dhpqhc.根據(jù)正方形是軸對(duì)稱圖形得到 hahc，ahdchd，ahpahddhpchdqhc90，即 ahph.hahp，ahph.(2)(1)中的結(jié)論仍然成立，理由如下：如解圖，連接 hc，第 2 題解圖四邊形 abcd 是正方形，bdc45，又qhbd，dhq 是等腰直角三角形，hdphqc

5、135，hdhq，由平移的性質(zhì)可知 dpcq，在hdp 和hqc 中，hdhqhdphqcpdcq，hdphqc(sas)，hphc，dhpqhc，根據(jù)正方形是軸對(duì)稱圖形得到 hahc，ahdchd，ahpahddhpchdchq90，hahp，ahph；(3)dp2 3.【解法提示】由(1)知，ahph，ahph，hpa45，ahq120，phq1209030.phdqhdphq60，ahbchbahpphd30，chpchbahb30，cph180chp275，apdcphaph30，在 rtadp 中，ad2，dp2tanapd2 3.例例 3如圖，在 rtabc 中，acb90，a30

6、，點(diǎn) o 為 ab 中點(diǎn)，點(diǎn) p 為直線 bc 上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn) b、點(diǎn) c 重合)，連接 oc、op，將線段 op 繞點(diǎn) p 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60，得到線段 pq，連接 bq.(1)如圖，當(dāng)點(diǎn) p 在線段 bc 上時(shí)，請直接寫出線段 bq 與 cp 的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn) p 在 cb 延長線上時(shí)，(1)中結(jié)論是否成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由；(3)如圖，當(dāng)點(diǎn) p 在 bc 延長線上時(shí)，若bpo45，ac 6，請直接寫出 bq 的長第 3 題圖【答案】解：(1)cpbq;【解法提示】如解圖，連接 oq，第 3 題解圖由旋轉(zhuǎn)可知，pqop，opq60，poq 是等邊三角形，

7、opoq，poq60，在 rtabc 中，o 是 ab 中點(diǎn)，ocoaob，boc2a60poq，copboq，在cop 和boq 中，ocobcopboq，opoqcopboq(sas)，cpbq；(2)成立，理由如下：如解圖，連接 oq，圖由旋轉(zhuǎn)知 pqop，opq60，poq 是等邊三角形，opoq，poq60，在 rtabc 中，o 是 ab 中點(diǎn)，ocoaob，boc2a60poq，copboq，在cop 和boq 中，ocobcopboq，opoqcopboq(sas)，cpbq；(3)bq6 22.【解法提示】在 rtabc 中，a30，ac 6，bcactana 2，如解圖，過

8、點(diǎn) o 作 ohbc 于點(diǎn) h，第 3 題解圖ohb90bca，ohac，o 是 ab 中點(diǎn)，ch12bc22，oh12ac62，bpo45，ohp90，bpopoh，phoh62，cpphch62226 22，連接 oq，同(1)的方法得，bqcp6 22.例例 4 已知正方形 abcd， 點(diǎn) e 在直線 ad 上(不與點(diǎn) a、 d 重合)， 連接 be， 作 efbe， 且 efbe， 過點(diǎn) f 作 fgbc，交直線 bc 于點(diǎn) g.(1)如圖，當(dāng)點(diǎn) e 在邊 ad 上，點(diǎn) g 在邊 bc 的延長線上時(shí)，求證：abaebg；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn) e 在邊 da 的延長線上，點(diǎn) g 在邊 bc

9、上時(shí)，fg 交 ad 于點(diǎn) h，試猜想 ab、ae 與 bg 的關(guān)系，并加以證明；(3)如圖，當(dāng)點(diǎn) e 在邊 ad 的延長線上，點(diǎn) g 在邊 bc 上時(shí)，fg 交 ad 于點(diǎn) n，請直接寫出線段 ab、ae、bg 之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明圖圖圖第 4 題圖【答案】(1)證明：如解圖，延長 ad 交 gf 的延長線于點(diǎn) m，四邊形 abcd 是正方形，第 4 題解圖a90，abc90，又fgbc，四邊形 abgm 是矩形，ambg，a90，efbe，m90，aebmfe，在abe 和mef 中，amaebmfeebef，abemef(aas)，abem，amaeemaeab，abaebg；(2

10、)abaebg；證明：fehbea90，beaabe90，fehabe，在abe 和hef 中，baeehfabehefbeef，abehef(aas)，ehab，ehaeabaeah，四邊形 abgh 是矩形，ahbg，abaebg；(3)aeabbg.【解法提示】由(2)得abenef，neab，anneanabae，bgan，aeabbg.例例 5如圖，abc 中，abbc，bdac 于點(diǎn) d，fac12abc，且fac 在 ac 下方，點(diǎn) p，q 分別是射線 bd，射線 af 上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn) p 不與點(diǎn) b 重合，點(diǎn) q 不與點(diǎn) a 重合，連接 cq，過點(diǎn) p 作 pecq 于點(diǎn) e，

11、連接 de.(1)若abc60，bpaq.如圖，當(dāng)點(diǎn) p 在線段 bd 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請直接寫出線段 de 和線段 aq 的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；如圖，當(dāng)點(diǎn) p 運(yùn)動(dòng)到線段 bd 的延長線上時(shí)，試判斷中的結(jié)論是否成立，并說明理由；(2)若abc260，請直接寫出當(dāng)線段 bp 和線段 aq 滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，能使(1)中的結(jié)論仍然成立(用含的三角函數(shù)表示)第 5 題圖【答案】解：(1)de12aq，deaq；成立；【解法提示】如解圖，連接 pc、pq，第 5 題解圖babc，abc60，abc 是等邊三角形，bcac，bcac，facpbc30，aqbp，aqcbpc(sas)，qcpc，acqbc

12、p，acqacpbcpacp60，pcq 是等邊三角形，又 peqc，e 為 qc 的中點(diǎn)，abbc，bdac，d 為 ac 的中點(diǎn)，de12aq，deaq；成立理由如下：如解圖，連接 pc、pq.第 5 題解圖babc，abc60，abc 是等邊三角形，bcac，bcac，facpbc30，aqbp，aqcbpc(sas)，qcpc，acqbcp，pcqbca60，pcq 是等邊三角形，又peqc，e 為 qc 的中點(diǎn)，abbc，bdac，d 為 ac 的中點(diǎn)，de12aq，deaq；第 5 題解圖(2)如解圖，連接 pc，取 pc 中點(diǎn) m，連接 md、me，設(shè) pe 與 ac 交點(diǎn)為 n

13、，pdc90，md12pc，同理 me12pc，即 mpmcmdme，p、d、e、c 四點(diǎn)共圓，ncenpd，edcnpc，deaq，qacedc，又qacpbc，npcpbc，epdnpcpbcbcp，epdbcp，ncebcp.由ncebcp，qacpbc，得qacpbc，aqbpacbc2dcbc2sindbc2sinabc2，即aqbp2sin.例例 6已知，abc 為直角三角形，acb90，點(diǎn) p 是射線 cb 上一點(diǎn)(點(diǎn) p 不與點(diǎn) b、c 重合)，線段 ap 繞點(diǎn) a 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90得到線段 aq，連接 qb 交射線 ac 于點(diǎn) m.(1)如圖，當(dāng) acbc，點(diǎn) p 在線段 c

14、b 上時(shí)，線段 pb，cm 的數(shù)量關(guān)系是_；(2)如圖，當(dāng) acbc，點(diǎn) p 在線段 cb 的延長線上時(shí)，(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，請說明理由；(3)如圖，若acbc52，點(diǎn) p 在線段 cb 的延長線上，cm2，ap13，求abp 的面積第 6 題圖【答案】解：(1)pb2cm；【解法提示】如解圖，過點(diǎn) q 作 qdac 于點(diǎn) d，第 6 題解圖qebc 交 bc 的延長線于點(diǎn) e.aq 是由 ap 繞點(diǎn) a 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90得到的，apaq，且paq90，pacqad90，又pacapc90，qadapc，acpqda(aas)，acqdce，又abc 為等腰

15、直角三角形，acbcec，即點(diǎn) c 為 be 的中點(diǎn)，cm12qe，即 qe2cm，連接 ae，accebc，abe 為等腰直角三角形，aeab，baepaq90，bapeaq，又apaq，apbaqe(sas)，bpqe2cm，pb2cm；(2)(1)中的結(jié)論 pb2cm 仍然成立；證明：如解圖所示，過點(diǎn) q 作 qgbc 交 bc 的延長線于點(diǎn) g，過點(diǎn) a 作 afqg 交 qg 的延長線于點(diǎn) f.第 6 題解圖aq 是由 ap 繞點(diǎn) a 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90得到的，apaq，且paq90，paccaq90，又qafcaq90，pacqaf，pacqaf(aas)，acaf，四邊形 afgc

16、 為正方形，cgacbc，即 c 為 bg 的中點(diǎn)，qg2cm，連接 ag 可得，abg 為等腰直角三角形，abag，pabbaqqagbaq90，pabqag，pabqag(sas)，pbqg2cm，pb2cm；(3)如解圖所示，過點(diǎn) q 作 qhac 交 ac 的延長線于點(diǎn) h.第 6 題解圖由題知，acbc52，設(shè) ac5a，bc2a，由(2)知，acpqha，qhac5a，又bcmqhm，bcqhcmmh，2a5a2mh，mh5，又apaq13，在 rtahq 中，根據(jù)勾股定理得：qh2ah2aq2，(5a)2(5a25)2132，化簡得：5a27a120，即(a1)(5a12)0，解

17、得：a11，a2125(舍)，bc2，ahcp12，ac5，bppcbc12210，sabp12bpac1210525.例例 7如圖，等邊abc 中，點(diǎn) d，e，f 分別為邊 ab，ac，bc 的中點(diǎn)，m 為直線 bc 上一動(dòng)點(diǎn)，dmn 為等邊三角形(1)如圖，當(dāng)點(diǎn) m 在點(diǎn) b 左側(cè)時(shí)，請你判斷 en 與 mf 有怎樣的數(shù)量關(guān)系？(2)如圖，當(dāng)點(diǎn) m 在線段 bc 上時(shí)，其他條件不變，(1)的結(jié)論中 en 與 mf 的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請利用圖證明；若不成立，請說明理由；(3)若點(diǎn) m 在點(diǎn) c 右側(cè)時(shí)，請你在圖中畫出相應(yīng)的圖形，并判斷(1)的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請直接寫出

18、結(jié)論，若不成立請說明理由第 7 題圖【答案】解：(1)enmf；【解法提示】如解圖，連接 de、df，d、e、f 是等邊abc 三邊中點(diǎn)，def 是等邊三角形，dedf，edf60，dmn 為等邊三角形，dmdn，mdn60，mdfnde60ndf，dmfdne(sas)，enmf.圖圖第 7 題解圖(2)成立證明：如解圖，連接 de、df 和 ef，abc 是等邊三角形，abacbc.又d，e，f 是三邊的中點(diǎn)，de，df，ef 為三角形的中位線，dedfef，fde60.又mdffdn60， ndefdn60，mdfnde.在dmf 和dne 中，dfde，mdfnde，dmdn，dmfd

19、ne(sas)，enfm；(3)畫出圖形如解圖，第 7 題解圖mf 與 en 相等的結(jié)論仍然成立(或 enmf 成立)【解法提示】如解圖，連接 de、ef、df.第 7 題解圖d、e、f 分別為 ab、ac、bc 的中點(diǎn)，且abc 是等邊三角形，def 是等邊三角形，dedf，edf60.dmn 是等邊三角形，dmdn，mdn60，mdfmdemdende，mdfnde，mdfnde(sas)，mfne.例例 8已知，在矩形 abcd 中，bc2ab，點(diǎn) m 為 ad 邊的中點(diǎn)，連接 bd，點(diǎn) p 是對(duì)角線 bd 上的動(dòng)點(diǎn)，連接 ap，以點(diǎn) p 為頂點(diǎn)作epf90，pe 交 ab 邊于點(diǎn) e，

20、pf 交 ad 邊于點(diǎn) f.(1)發(fā)現(xiàn)問題如圖，當(dāng)點(diǎn) p 運(yùn)動(dòng)過程中pba 與pab 互余時(shí)，線段 be、mf 與 ab 的數(shù)量關(guān)系為_；(2)解決問題如圖，當(dāng)點(diǎn) p 運(yùn)動(dòng)過程中pba 與pab 相等時(shí)，請判斷(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；(3)拓展延伸在(2)的條件下，連接 ef 并延長 ef，交直線 bd 于點(diǎn) g，若 beaf23，ef 85，求 dg 的長第 8 題圖【答案】解：(1)be12mf12ab；【解法提示】如解圖，取 ab 的中點(diǎn) n，連接 pn、pm.第 8 題解圖pba 與pab 互余，pbapab90，apb90，apd90，n 是

21、 ab 的中點(diǎn)，m 是 ad 的中點(diǎn)，pnbnan12ab，amdmpm12ad，napnpa，mapmpa.四邊形 abcd 是矩形，bad90，abcd，adbc.bc2ab，ad2ab，abad12，而napmapbad90，npampa90，即npm90.epf90，npmepf，npmepmepfepm，npempf.abpbap90，bapdap90，abpdap.pnbn，ampm，abpbpn，dapmpa，enpfmp，pnepmf，nemfpnpm12ab12ad12.ne12mf，benebn，be12mfbn，又bn12ab，be12mf12ab.(2)不成立；理由如下

22、：如解圖，取 ab 的中點(diǎn) n，連接 pn、pm，第 8 題解圖四邊形 abcd 是矩形，badabc90，abcd，adbc，adbc，adbcbd，pbapab，papb，n 是 ab 的中點(diǎn)，pnab，anp90，pabpad90，pbapbc90，padpbc，padpda，papd.m 是 ad 的中點(diǎn)，pmad，pma90，四邊形 pman 是矩形，npm90，anpm，pnam.epf90，npmepf，npmepmepfepm，npempf.pnepmf90，pnepmf，nemfpnpm12ad12ab.ad2ab，ne2mf.benebn，be2mfbn，n 是 ab 的中

23、點(diǎn)，bn12ab，be2mf12ab，故(1)中結(jié)論不成立；(4)如解圖，延長 cd 交 fg 于點(diǎn) h，設(shè) be2a，則 af3a.第 8 題解圖be2mf12ab，be2(afam)12ab.amab，2a2(3aab)12ab，ab83a，ad163a，ae23a，fd73a.ae2af2ef2，(23a)2(3a)2( 85)2，解得 a13，a23(舍去)ae2，be6，af9，df7，bd8 5.hdab，aefdhf，dhaedfaf，dh279，dh149.四邊形 abcd 是矩形，abcd，即 hdbe.gdhgbe，dgbgdhbe，dgdg8 51496，dg14 55.

24、例例 9如圖，在等腰 rtabc 和等腰 rtedb 中，acbc，debd，acbedb90，p 為 ae 的中點(diǎn)(1)觀察猜想連接 pc、pd，則線段 pc 與 pd 的位置關(guān)系是_，數(shù)量關(guān)系是_；(2)探究證明如圖，當(dāng)點(diǎn) e 在線段 ab 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，其他條件不變，作 efbc 于 f，連接 pf，試判斷pcf 的形狀，并說明理由；(3)拓展延伸在點(diǎn) e 的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)pcf 是等邊三角形時(shí)，直接寫出acb 與edb 的兩直角邊之比第 9 題圖【答案】解：(1)pcpd，pcpd；【解法提示】如解圖，過點(diǎn) e 作 efbc 于 f，過點(diǎn) p 作 phbc 于 h，連接 pf，第 9 題解

25、圖易得四邊形 efbd 是正方形，efed，debfeb45，pefped135，在pef 和ped 中，efedpefpedpepe，pefped(sas)，pfpd，epfepd，acphef，點(diǎn) p 為 ae 的中點(diǎn)，點(diǎn) h 是 fc 的中點(diǎn)，chhf，又 phbc，pcpf，故pcf 是等腰三角形，cphfph，pcpd；hpbhpfepf45，cpdcphhpfepfepd2(hpfepf)90，pcpd.(2)pcf 為等腰三角形，理由如下：如解圖，過點(diǎn) p 作 phbc 于點(diǎn) h，第 9 題解圖則 acphef，p 為 ae 的中點(diǎn)，點(diǎn) h 是 fc 的中點(diǎn)，chhf，又 phb

26、c，pcpf，pcf 為等腰三角形；(3) 32.【解法提示】如解圖，過點(diǎn) e 作 efbc 于點(diǎn) f，過點(diǎn) p 作 phbc 于點(diǎn) h，由(1)知，四邊形 bdef 為正方形，設(shè)efbfbdx，hfy，第 9 題解圖pcf 是等邊三角形，ph 3y，phef，befbph，efphbfbh，即x3yxxy，解得 y312x，bcx2y( 32)x，bcbd（ 32）xx 32.acb 與edb 的兩直角邊之比為 32.例例 10已知在abc 中，ab 邊上的動(dòng)點(diǎn) d 由 a 向 b 運(yùn)動(dòng)(與 a，b 不重合)，點(diǎn) e 與點(diǎn) d 同時(shí)出發(fā)，由點(diǎn) c 沿 bc 的延長線方向運(yùn)動(dòng)(e 不與 c 重合)，連接 de 交 ac 于 f，點(diǎn) h 是線段 af 上一點(diǎn)(1)初步嘗試如圖，若abc 是等