第一章講義-曾謹(jǐn)言

1、第一章 波函數(shù)和薛定諤方程§1.1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋一、波函數(shù)的引入描述自由粒子可用平面波波函數(shù)來描述。如果粒子處于隨時間和位置變化的力場中運動，這樣的微觀粒子的運動狀態(tài)也可以用較復(fù)雜的波完全描述。二、波函數(shù)的解釋1、經(jīng)典物理學(xué)中粒子與波的有關(guān)概念經(jīng)典概念中粒子意味著： 1.有一定質(zhì)量、電荷等“顆粒性”的屬性; 2有確定的運動軌道，每一時刻有一定位置和速度。經(jīng)典概念中波意味著：1. 某種實在的物理量的空間分布作周期性的變化; 2干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性。2、對波粒二象性的兩種錯誤的看法(1). 波由粒子組成波是由粒子組成的，把波看成是由大量粒子相互作用而在空間形成的一種疏密相間的

2、周期分布。(2). 粒子由波組成電子是波包。把電子波看成是電子的某種實際結(jié)構(gòu)，是三維空間中連續(xù)分布的某種物質(zhì)波包。因此呈現(xiàn)出干涉和衍射等波動現(xiàn)象。波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運動速度。 3、Born波函數(shù)的統(tǒng)計解釋幾率波波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（它是量子力學(xué)的基本原理）：波函數(shù)在空間中某一點的強度（振幅絕對值的平方）和在該點找到粒子的幾率成比例。 D-B所提出的由波函數(shù)所描述的“物質(zhì)波”是刻畫粒子在空間幾率分布的幾率波。波函數(shù)(r)有時也稱為幾率幅。五、波函數(shù)的物理意義 幾率分布運動狀態(tài)波函數(shù)完全描寫了微觀粒子的運動狀態(tài)（即波函數(shù)的物理意義）經(jīng)典概念和量子力學(xué)對粒子和波的理解：六、波函

3、數(shù)的特性： 1、常數(shù)因子不定性： 和描述同一種運動狀態(tài)。2、相位因子不定性： 與描述同一種運動狀態(tài)，eia稱為相因子。七、波函數(shù)的歸一化1、幾率和幾率密度設(shè)體系（即粒子）的狀態(tài)波函數(shù)為，則在時刻、在，的體積元內(nèi)出現(xiàn)該粒子的幾率為 （由波函數(shù)的統(tǒng)計解釋可得）式中，C是比例常數(shù)，。 以體積元去除幾率，可得到在時刻，在點附近單位體積內(nèi)出現(xiàn)該粒子的幾率，即幾率密度為 在體積V內(nèi)，t時刻找到粒子的幾率為： 2、平方可積 平方可積一維坐標(biāo)系（設(shè)沿方向）的情況下： 三維直角坐標(biāo)系的情況下： 三維球坐標(biāo)系的情況下： 注意：自由粒子波函數(shù)不是平方可積3、歸一化波函數(shù)若y(r , t)沒有歸一化， （A 是大于零

4、的常數(shù)）則有 也就是說，(A)-1/2y (x,y,z)是歸一化的波函數(shù)，與y (x,y,z)描寫同一幾率波，(A)-1/2稱為歸一化因子。波函數(shù)歸一化與否，并不影響概率分布有何變化。 令，由波函數(shù)的特性可知，f(x,y,z)和y (x,y,z)均描述同一狀態(tài)，但是歸一化波函數(shù)f(x,y,z)有如下兩個特點： 求幾率密度 (1) 波函數(shù)歸一化條件并不是所有的波函數(shù)可按(1)式進(jìn)行歸一化，這種歸一化條件要求波函數(shù)平方可積的，即為有限。以后,為表述簡便,引進(jìn)符號 歸一化條件就可以簡單表示為八、平面波歸一化1、d 函數(shù)定義： 或等價的表示：對于x=x0領(lǐng)域連續(xù)的任何函數(shù)f(x)有： d函數(shù)亦可寫成F

5、ourier積分形式： 令，, 則 作變換：，d函數(shù)性質(zhì)： 2、平面波歸一化 其中f表示t=0時的平面波。寫成分量形式 考慮一維積分 因為若取，則，于是 因為平面波可歸一化為函數(shù)三維情況： 其中例1（習(xí)題集第6）：設(shè)粒子的波函數(shù)為，求(1)、在范圍內(nèi)找到粒子的幾率：；(2)、在范圍內(nèi)找到粒子的幾率：；(3)、在及范圍內(nèi)找到粒子的幾率：。§1.2 量子態(tài)疊加原理一、經(jīng)典波的疊加原理 如果和是兩個可能的波動過程，那么它們的線性疊加 （都是常數(shù)）也是一個可能的波動過程。二、經(jīng)典統(tǒng)計幾率相加的原則在經(jīng)典統(tǒng)計中滿足的幾率相加原則是：互相排斥事件之任何一件發(fā)生的幾率等于每個事件單獨發(fā)生的幾率之和

6、。這里不存在相干迭加，沒有出現(xiàn)干涉現(xiàn)象，它充分體現(xiàn)了經(jīng)典物理中粒子與波這兩個截然不同的概念。三、態(tài)疊加原理1、若和是體系可能實現(xiàn)的狀態(tài)，那么它們的線性迭加（、是復(fù)常數(shù)）也是這個體系的一個可能實現(xiàn)的狀態(tài)。 （對經(jīng)典波也適用）2、若體系處于迭加態(tài)時，則體系部分處于態(tài)，部分處于態(tài)。 幾率 幾率 其中、已歸一化。態(tài)疊加原理一般表述： 若y1，y2 ,., yn ,.是體系的一系列可能的狀態(tài)，則這些態(tài)的線性疊加y= C1y1 + C2y2 + .+ Cnyn + . (其中 C1 , C2 ,.,Cn ,.為復(fù)常數(shù))也是體系的一個可能狀態(tài)。處于y態(tài)的體系，部分的處于y1態(tài)，部分的處于y2態(tài).，部分的處于

7、yn，.注意：波函數(shù)本身不是物理量，不能測量，但w是物理量，可以測量的。四、力學(xué)量的不確定性體系可能態(tài)，體系所處狀態(tài)測力學(xué)量所得值 體系處于測力學(xué)量其值為體系處于測力學(xué)量其值為體系處于測力學(xué)量其值為測力學(xué)量不定，有多種可能值，每次測得的值是不能預(yù)先確定的，帶有偶然性，但只能是可能值中的一個，而且每種可能值以確定的幾率出現(xiàn)。五、動量空間（表象）的波函數(shù)波函數(shù)y(x,y,z)可用各種不同動量的平面波表示，下面我們給出簡單證明。令 則y可按yp展開展開系數(shù) 顯然，二式互為Fourier變換式，故而總是成立的。所以y(x,y,z)與c(p)一一對應(yīng)，是同一量子態(tài)的兩種不同描述方式。y(x,y,z)是以

8、坐標(biāo)為自變量的波函數(shù)，坐標(biāo)空間波函數(shù)，坐標(biāo)表象波函數(shù)； 是以動量為自變量的波函數(shù)，動量空間波函數(shù)，動量表象波函數(shù)； 二者描寫同一量子狀態(tài)。若y(x,y,z)已歸一化，則也是歸一化的 （證明）與y(x,y,z)具有類似的物理含義t時刻粒子出現(xiàn)在點附近體積元內(nèi)的幾率；t時刻粒子出現(xiàn)在點附近體積元內(nèi)的幾率；§1.3 力學(xué)量的平均值和算符的引進(jìn)一、力學(xué)量平均值1、僅與坐標(biāo)有關(guān)的力學(xué)量平均值設(shè)y (x)是歸一化波函數(shù)，|y (x)|2 是粒子出現(xiàn)在x點的幾率密度，則 對三維情況，設(shè)y (x, y, z)是歸一化波函數(shù)，|y (x, y, z)|2是粒子出現(xiàn)在(x, y, z)點的幾率密度，則x

9、的平均值為 若力學(xué)量F (x, y, z)僅與坐標(biāo)有關(guān)，則其平均值為 若y (x, y, z)不是歸一化的，則上式表為 (6)例1：一維運動的粒子處在 的狀態(tài)，其中，求歸一化的波函數(shù)；幾率密度；在何處找到粒子的幾率最大？、的值。提示：，其中a > 0解：、， 取為實數(shù)， ； ； 令， ， 經(jīng)驗證，當(dāng)時找到粒子的幾率最大； （一般不采用的方法） ； 。 2、動量平均值一維情況：令y (x)是歸一化波函數(shù)，相應(yīng)動量表象波函數(shù)為：粒子動量為px幾率密度，則 二、力學(xué)量算符1、動量算符一維情況： 體系狀態(tài)用坐標(biāo)表象中的波函數(shù)y (x)描寫時，坐標(biāo)x的算符就是其自身，即 說明力學(xué)量在自身表象中的算

10、符形式最簡單。而動量px在坐標(biāo)表象（非自身表象）中的形式必須改造成動量算符形式： 三維情況： 其中 （直角坐標(biāo)系中） 稱為劈形算符或Harrington或 （球坐標(biāo)系中）由歸一化波函數(shù)y (x)求力學(xué)量平均值時，必須把該力學(xué)量的算符夾在y* (x)和y (x)之間對全空間積分，即 A是任一力學(xué)量算符三維情況： A是任一力學(xué)量算符若波函數(shù)未歸一化, 則 2、力學(xué)量的算符表示如果量子力學(xué)中的力學(xué)量在經(jīng)典力學(xué)中有相應(yīng)的力學(xué)量，那么表示這個力學(xué)量的算符由經(jīng)典表示式中的、分別換成算符，而得出。即 力學(xué)量（經(jīng)典表達(dá)式）算符 （量子力學(xué)中相應(yīng)的算符）這是量子力學(xué)中的一個基本假設(shè)。大量實驗事實表明，以上的假定

11、是正確的，按照這個構(gòu)成法則，可以得到以下幾個常用的力學(xué)量算符：(1)、動能算符 在經(jīng)典力學(xué)中，所以動量算符 （直角坐標(biāo)系中） 稱為Laplace算符或（球坐標(biāo)系中） (2)、Hamilton算符在勢場中V(r)的粒子 (3)、角動量算符 在直角笛卡爾坐標(biāo)中的三個分量可表示為 §1.4 薛定諤方程一、引進(jìn)薛定諤方程的基本考慮1波函數(shù)所滿足的方程只能含y對時間的一階導(dǎo)數(shù)。 2方程應(yīng)是線性的。3第三方面，方程不能包含狀態(tài)參量，如p, E等， 二、自由粒子波函數(shù)所滿足的方程描寫自由粒子波函數(shù): 將上式對對時間求一次微商，可得 ，即 (1)將對坐標(biāo)二次微商，得： 同理有： 或 (2)(1)-

12、(2)式 對自由粒子 所以 (3)滿足上述構(gòu)造方程的三個條件。方程(3)就是我們所要找的自由粒子波函數(shù)所滿足的微分方程，它滿足前面所述的條件。討論：通過引出自由粒子波動方程的過程可以看出，如果能量關(guān)系式寫成如下方程形式： (4) 做算符替換(4)即得自由粒子滿足的方程(3)。三、勢場V(r)中運動的粒子 （前提是勢能V(r)與無關(guān)）在經(jīng)典力學(xué)中稱為哈密頓函數(shù)。將其作用于波函數(shù)得：作為一種推廣，我們假定(4)式成立。做(4)式的算符替換得： 式中稱為體系的哈密頓算符，亦常稱為哈密頓量。該方程稱為Schrodinger方程，也常稱為波動方程。§1.5 粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律一、定域的

13、幾率守恒 設(shè)體系狀態(tài)波函數(shù)已歸一化，粒子在t時刻點周圍單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率，即幾率密度是： 考慮低能非相對論實物粒子情況，因沒有粒子的產(chǎn)生和湮滅問題，粒子數(shù)保持不變。對一個粒子而言，在全空間找到它的幾率總和應(yīng)不隨時間改變，即 證：考慮Schrodinger方程及其共軛式： (1)取共軛 (2) 將 (3)在空間閉區(qū)域中將上式積分，則有：使用高斯定理,上式右邊積分可化為而積分式中面積分S是體積t的表面。令，幾率流密度, 是一矢量. (4) 物理意義 (4)式是幾率（粒子數(shù)）守恒的積分表示式。令Eq. (4)趨于®，即讓積分對全空間進(jìn)行，考慮到任何真實的波函數(shù)應(yīng)該是平方可積的，波函數(shù)

14、在無窮遠(yuǎn)處為零，則式右面積分趨于零，于是Eq. (4)變?yōu)椋?表明，波函數(shù)歸一化不隨時間改變，其物理意義是粒子既未產(chǎn)生也未消滅。(3)式可改寫為 (5) 幾率守恒的微分表達(dá)式其微分形式與流體力學(xué)中連續(xù)性方程的形式相同。二、再論波函數(shù)的性質(zhì)1、波函數(shù)完全描述粒子的狀態(tài)2、波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件：單值、有限、連續(xù)幾率流密度矢量 （直角坐標(biāo)） （球坐標(biāo)）例子：由下列兩個定態(tài)波函數(shù)計算幾率密度，(1)、(2)、從所得結(jié)果證明：表示沿軸正方向傳播的平面波；表示沿軸反方向傳播的平面波。解：(1)、 。 所以表示沿軸正方向傳播的平面波。 (2)、。 所以表示沿軸反方向傳播的平面波。§1.6 定態(tài)薛定諤方

15、程一、定態(tài)Schrödinger方程 (1)與t無關(guān)時，可以分離變量 令 代入(1)式 (2) (3) 定態(tài)薛定諤方程由(2)解得 其中為任意常數(shù)。把常數(shù)放到里面去，則 (4) 體系能量有確定的值E，所以這種狀態(tài)稱為定態(tài)，波函數(shù)y(r,t)稱為定態(tài)波函數(shù)。 定態(tài)有兩個含義：1、；2、E具有確定值；（判斷是否為定態(tài)的依據(jù)）空間波函數(shù)可由方程和具體問題應(yīng)滿足的邊界條件得出。方程(3)稱為定態(tài)Schrödinger方程，也可稱為定態(tài)波函數(shù)，或可看作是t=0時刻yE(r,0)的定態(tài)波函數(shù)。二、Hamilton算符和能量本征值方程1、Hamilton算符 (2) (3) 再由Schrödinger方程：也可看出，作用于任一波函數(shù)y上的二算符 是相當(dāng)?shù)摹＿@兩個算符都稱為能量算符。與經(jīng)典力學(xué)相同， 稱為Hamilto