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1、福建省福州市首占中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、 選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1. 等差數(shù)列中,則 (a)31 (b)32 (c)33
2、60; (d)34參考答案:b2. 若函數(shù)在內(nèi)有極小值,則( )a. b. c. d. 參考答案:c3. 設(shè)i是虛數(shù)單位,是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù),若z=2(+i),則z=()a1ib1+ic1+id1i參考答案:b【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算【專題】數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)【分析
3、】設(shè)出復(fù)數(shù)z=a+bi(a,br),代入z?=2(+i)后整理,利用復(fù)數(shù)相等的條件列關(guān)于a,b的方程組求解a,b,則復(fù)數(shù)z可求【解答】解:設(shè)z=a+bi(a,br),則=abi,由z=2(+i),得(a+bi)(abi)=2a+(b1)i,整理得a2+b2=2a+2(b1)i則,解得所以z=1+i故選b【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)相等的條件,兩個(gè)復(fù)數(shù)相等,當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)部等于實(shí)部,虛部等于虛部,是基礎(chǔ)題4. 若橢圓(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1、f2,線段f1f2被拋物線 的焦點(diǎn)分成53的兩段,則此橢圓的離心率為 a
4、; b c d參考答案:d略5. 若數(shù)列滿足,則的值為()a2 bcd參考答案:c略6. 下列函數(shù)是奇函數(shù)且在定義域內(nèi)是增函數(shù)的是 ayex bytanx cyx3-x d參考答案:d7. 對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y,定義運(yùn)算x*y=ax+by+cxy,其中a,b,c為常數(shù).現(xiàn)已知1*2=4,2*3=6,若有一個(gè)非零實(shí)數(shù)m,使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有x*m=x,則m=a.15
5、; b.10 c.5 d.0參考答案:c略8. 已知函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱 , 且,則的最小值為( )(a)、 (b)、(c)、(d)、參考答案:d:9. 設(shè)0m2,已知函數(shù),對(duì)于任意x1,x2m-2,m,都有|f(x1)-f(x2)|1,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為a b c d參考答案:b10.
6、 某四棱錐的三視圖如圖所示,其俯視圖為等腰直角三角形,則該四棱錐的體積為( )a b c. d參考答案:c二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 拋物線所圍成的圖形的面積是 。參考答案
7、:答案: 12. 某校為了解高一學(xué)生寒假期間的閱讀情況,抽查并統(tǒng)計(jì)了100名同學(xué)的某一周閱讀時(shí)間,繪制了頻率分布直方圖(如圖所示),那么這100名學(xué)生中閱讀時(shí)間在小時(shí)內(nèi)的人數(shù)為_(kāi)參考答案:5413. 已知,那么 .參考答案:814. 函數(shù),的最小值為_(kāi).參考答案:5【分析】用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)f(x),結(jié)合基本不等式求出f(x)的最值即可.【詳解】此時(shí)時(shí)取等,但,所
8、以,當(dāng)時(shí),有最小值為5,故答案為:5.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題,也考查了邏輯推理與計(jì)算能力,是綜合性題目15. 代號(hào)為“狂飆”的臺(tái)風(fēng)于某日晚8點(diǎn)在距港口的a碼頭南偏東60°的400千米的海面上形成,預(yù)計(jì)臺(tái)風(fēng)中心將以40千米/時(shí)的速度向正北方向移動(dòng),離臺(tái)風(fēng)中心350千米的范圍都會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響,則a碼頭從受到臺(tái)風(fēng)影響到影響結(jié)束,將持續(xù)多少小時(shí)參考答案:2.5小時(shí)考點(diǎn):解三角形的實(shí)際應(yīng)用3794729專題:應(yīng)用題分析:將臺(tái)風(fēng)中心視為點(diǎn)b,進(jìn)而可知ab的長(zhǎng)度,過(guò)b作bc垂直正東線于點(diǎn)c,進(jìn)而可知bc=200,ac=200,在bc線上取點(diǎn)d使得ad=350千米進(jìn)而根據(jù)勾
9、股定理求得dc,進(jìn)而乘以2,再除以速度即是 a碼頭從受到臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間解答:解:在距港口的a碼頭南偏東60°的400千米的海面 將臺(tái)風(fēng)中心視為點(diǎn)b,則ab=400 過(guò)b作bc垂直正東線于點(diǎn)c,則bc=200,ac=200臺(tái)風(fēng)中心350千米的范圍都會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響 所以在bc線上取點(diǎn)d使得ad=350千米 因?yàn)閍c=200千米,ad=350千米dca是直角 根據(jù)勾股定理 dc=50千米 因?yàn)?50千米的范圍內(nèi)都會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響所以影響距離是50×2=100千米 t=0=2.5(小時(shí))故答案為2.5小時(shí)點(diǎn)評(píng):本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用考查了考生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力1
10、6. 正三角形的邊長(zhǎng)為2,將它沿高翻折,使點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為1,此時(shí)四面體外接球表面積為 參考答案: 17. 如圖是甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)入高中以來(lái)次體育測(cè)試成績(jī)的莖葉圖,則甲次測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)是 ,乙次測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)與中位數(shù)之差是 參考答案: 略三、 解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18. 如圖,在梯形abcd中,abcd,ad=dc=cb=1,abc=60o,四邊形acfe為矩形,平面acf
11、e平面abcd,cf=1.(1)求證:bc平面acfe; (2)點(diǎn)m在線段ef上運(yùn)動(dòng),設(shè)平面mab與平面fcb所成二面角的平面角為90o),試求cos的取值范圍。參考答案:(1)證明:在梯形abcd中,過(guò)c作ce/ad,中,又, 因?yàn)椋浩矫鎍cfe平面abcd, 平面acfe平面abcd=ac,bc平面abcd所以,bc平面acfe (2)由(1)可以分別以直線ca,cb,cf為軸建立空間直角坐標(biāo)系,令fm=,則c(0,0,0),a(,b(
12、0,1,0),m(,設(shè)為平面mab的一個(gè)法向量,由 得: 取則 而平面fcb的法向量可取 由,當(dāng)時(shí),有最小值當(dāng)時(shí),有最大值,cos的取值范圍為,略19. (本小題滿分14分)已知數(shù)列的前項(xiàng)的和為,點(diǎn)在函數(shù) 的圖象上()求數(shù)列的通項(xiàng)公式及的最大值;()令,求數(shù)列的前項(xiàng)的和;()設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)的和為,求使不等式對(duì)一切都成立的最大正整數(shù)的值參考答案:(i)因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù) 的圖象上所以,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),滿足上式,所以 2分又,且所以當(dāng)或4時(shí),取得最大值12
13、; 4分()由題意知 5分所以數(shù)列的前項(xiàng)的和為所以,相減得, 8分所以9分()由()得 10分所以12分 知在上單調(diào)遞增,所以的最小值為不等式對(duì)一切都成立,則,即
14、60; 14分20. (本小題滿分15分)在平面直角坐標(biāo)系中,給定三點(diǎn),點(diǎn)p到直線bc的距離是該點(diǎn)到直線ab,ac距離的等比中項(xiàng)。(1)求點(diǎn)p的軌跡方程;(2)若直線l經(jīng)過(guò)的內(nèi)心(設(shè)為d),且與p點(diǎn)的軌跡恰好有3個(gè)公共點(diǎn),求l的斜率k的取值范圍。參考答案:(1),(2)知識(shí)點(diǎn):軌跡方程的求法;斜率的取值范圍;分類討論思想.解析 :解:(1)直線ab、ac、bc的方程依次為。點(diǎn)到ab、ac、bc的距離依次為。依設(shè),即,化簡(jiǎn)得點(diǎn)p的軌跡方程為圓s:(2)由前知,點(diǎn)p的軌跡包含兩部分圓s: 與
15、雙曲線t:因?yàn)閎(1,0)和c(1,0)是適合題設(shè)條件的點(diǎn),所以點(diǎn)b和點(diǎn)c在點(diǎn)p的軌跡上,且點(diǎn)p的軌跡曲線s與t的公共點(diǎn)只有b、c兩點(diǎn)。的內(nèi)心d也是適合題設(shè)條件的點(diǎn),由,解得,且知它在圓s上。直線l經(jīng)過(guò)d,且與點(diǎn)p的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn),所以,l的斜率存在,設(shè)l的方程為(i)當(dāng)k=0時(shí),l與圓s相切,有唯一的公共點(diǎn)d;此時(shí),直線平行于x軸,表明l與雙曲線有不同于d的兩個(gè)公共點(diǎn),所以l恰好與點(diǎn)p的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)。.10分(ii)當(dāng)時(shí),l與圓s有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。這時(shí),l與點(diǎn)p的軌跡恰有3個(gè)公共點(diǎn)只能有兩種情況:情況1:直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)b或點(diǎn)c,此時(shí)l的斜率,直線l的方程為。代入方程得,解得。表明直線bd
16、與曲線t有2個(gè)交點(diǎn)b、e;直線cd與曲線t有2個(gè)交點(diǎn)c、f。故當(dāng)時(shí),l恰好與點(diǎn)p的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)。 情況2:直線l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)b和c(即),因?yàn)閘與s有兩個(gè)不同的交點(diǎn),所以l與雙曲線t有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。即方程組有且只有一組實(shí)數(shù)解,消去y并化簡(jiǎn)得該方程有唯一實(shí)數(shù)解的充要條件是或解方程得,解方程得.綜合得直線l的斜率k的取值范圍是有限集.思路點(diǎn)撥:(1)先求直線ab、ac、bc的方程,在求出點(diǎn)到ab、ac、bc的距離依次為d1,d2,d3由此能求出點(diǎn)的軌跡方程(2)點(diǎn)p的軌跡包含圓:與雙曲線:abc的內(nèi)心d也是適合題設(shè)條件的點(diǎn),由,解得設(shè)的方程為再分情況討論能夠求出直線的斜率的取值范圍21. (2
17、017?河北二模)已知函數(shù)f(x)=alnx+x2ax(a為常數(shù))有兩個(gè)極值點(diǎn)(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)設(shè)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x1,x2,若不等式f(x1)+f(x2)(x1+x2)恒成立,求的最小值參考答案:【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值【分析】(1)f(x)=且f(x)=0有兩個(gè)不同的正根,即x2ax+a=0兩個(gè)不同的正根,即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)利用韋達(dá)定理,可得=lnaa1,構(gòu)造函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,求出其范圍,即可求的最小值【解答】解:(1)由題設(shè)知,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+),f(x)=且f(x)=0
18、有兩個(gè)不同的正根,即x2ax+a=0兩個(gè)不同的正根x1,x2,(x1x2)則,a4,(0,x1),f(x)0,(x1,x2),f(x)0,(x2,+),f(x)0,x1,x2是f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn),符合題意,a4;(2)f(x1)+f(x2)=alnx1+x12ax1+alnx2+x22ax2=a(lnaa1),=lnaa1,令y=lnaa1,則y=,a4,y0,y=lnaa1在(4,+)上單調(diào)遞減,yln43,不等式f(x1)+f(x2)(x1+x2)恒成立,x1+x20,是的最小值ln43【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用,考查函數(shù)的極值,考查不等式恒成立問(wèn)題,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題22. (本小題滿分14分)如圖所示,在所有棱長(zhǎng)都為的三棱柱中,側(cè)棱,點(diǎn)為棱的中點(diǎn)(1)求證:平面;(2)求四棱錐的體積參考答案:(1)連結(jié),設(shè)與交于點(diǎn),1分則點(diǎn)是的中點(diǎn),連結(jié),2分因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn),所以是的中位線, 所以, 4分因?yàn)槠矫?,面?分所以平面.
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