24用因式分解法求解一元二次方程教學設計

1、第二章 一元二次方程用因式分解法求解一元二次方程一、學生知識狀況分析學生的知識技能基礎：在前幾冊學生已經(jīng)學習了一元一次方程、二元一次方程組、可化為一元一次方程的分式方程等，初步感受了方程的模型作用，并積累了解一元一次方程的方法，熟練掌握了解一元一次方程的步驟；在八年級學生學習了因式分解，掌握了提公因式法及運用公式法（平方差、完全平方）熟練的分解因式；在本章前幾節(jié)課中又學習了配方法及公式法解一元二次方程，掌握了這兩種方法的解題思路及步驟。學生活動經(jīng)驗基礎：在相關知識的學習過程中，學生已經(jīng)經(jīng)歷了用配方法和公式法求一元二次方程的解的過程，并在現(xiàn)實情景中加以應用，切實提高了應用意識和能力，也感受到了解

2、一元二次方程的必要性和作用；同時在以前的數(shù)學學習中，學生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學習的過程，具有了一定的合作學習的經(jīng)驗，具備了一定的合作與交流的能力。二、教學任務分析教科書基于用因式分解法解一元二次方程是解決特殊問題的一種簡便、特殊的方法的基礎之上，提出了本課的具體學習任務：能根據(jù)已有的分解因式知識解決形如“x(xa)=0”和“x2a2=0”的特殊一元二次方程。但這僅僅是這堂課具體的教學目標，或者說是一個近期目標。數(shù)學教學由一系列相互聯(lián)系而又漸次遞進的課堂組成，因而具體的課堂教學也應滿足于遠期目標，或者說，數(shù)學教學的遠期目標，應該與具體的課堂教學任務產生實質性聯(lián)系。本課因式分解法內容從屬于“方程與不

3、等式”這一數(shù)學學習領域，因而務必服務于方程教學的遠期目標：“經(jīng)歷由具體問題抽象出一元二次方程的過程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關系的一個有效數(shù)學模型，并在解一元二次方程的過程中體會轉化的數(shù)學思想，進一步培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的意識和能力?！蓖瑫r也應力圖在學習中逐步達成學生的有關情感態(tài)度目標。為此，本節(jié)課的教學目標是：知識與技能目標1、能根據(jù)具體一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法，體會解決問題方法的多樣性；2、會用因式分解法（提公因式法、公式法）解決某些簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；3、通過因式分解法的學習，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力，并體會轉化的思想。過程與方法目標1、通過學生

4、探究一元二次方程的解法，使學生知道分解因式法是解一元二次方程的一種簡便、特殊的方法，通過“降次”把一元二次方程轉化為兩個一元一次方程；2、通過小組合作交流，嘗試在解方程過程中，多角度地思考問題，尋求從不同角度解決問題的方法，并初步學會不同方法之間的差異，學會在與他人的交流中獲益。情感與態(tài)度目標1、經(jīng)歷觀察，歸納分解因式法解一元二次方程的過程，激發(fā)好奇心；2、進一步豐富數(shù)學學習的成功體驗，使學生在學習中培養(yǎng)良好的情感、態(tài)度和主動參與、合作交流的意識，進一步提高觀察、分析、概括等能力。三、教學過程分析本節(jié)課設計了七個教學環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：復習回顧；第二環(huán)節(jié)：情境引入，探究新知；第三環(huán)節(jié)：例題解析；第

5、四環(huán)節(jié)：鞏固練習；第五環(huán)節(jié)：拓展延伸；第六環(huán)節(jié)：感悟與收獲；第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè)。第一環(huán)節(jié)：復習回顧內容：1、用配方法解一元二次方程的關鍵是將方程轉化為(x+m)2=n（n0）的形式。 2、用公式法解一元二次方程應先將方程化為一般形式。3、選擇合適的方法解下列方程：x2-6x=7 3x2+8x-3=0目的：以問題串的形式引導學生思考，回憶兩種解一元二次方程的方法，有利于學生銜接前后知識，形成清晰的知識脈絡，為學生后面的學習作好鋪墊。實際效果：第一問題學生先動筆寫在練習本上，有個別同學少了條件“n0”。第二問題由于較簡單，學生很快回答出來。第三問題由學生獨立完成，通過練習學生復習了配方法及公式法，

6、并能靈活應用，提高了學生自信心。第二環(huán)節(jié)：情景引入、探究新知內容：1、師：有一道題難住了我，想請同學們幫助一下，行不行？生：齊答行。師：出示問題，一個數(shù)的平方與這個數(shù)的3倍有可能相等嗎？如果能，這個數(shù)是幾？你是怎樣求出來的？說明：學生獨自完成，教師巡視指導，選擇不同答案準備展示。附：學生A：設這個數(shù)為x，根據(jù)題意，可列方程x2=3xx2-3x=0a=1,b= -3,c=0 b2-4ac=9 x1=0, x2=3 這個數(shù)是0或3。學生B：:設這個數(shù)為x，根據(jù)題意，可列方程 x2=3x x2-3x=0 x2-3x+(3/2)2=(3/2) 2 (x-3/2) 2=9/4 x-3/2=3/2或x-3

7、/2= -3/2 x1=3, x2=0這個數(shù)是0或3。學生C：:設這個數(shù)為x，根據(jù)題意，可列方程 x2=3x x2-3x=0 即x(x-3)=0 x=0或x-3=0 x1=0, x2=3 這個數(shù)是0或3。學生D：設這個數(shù)為x，根據(jù)題意，可列方程 x2=3x 兩邊同時約去x,得 x=3 這個數(shù)是3。2、師：同學們在下面用了多種方法解決此問題，觀察以上四個同學的做法是否存在問題?你認為那種方法更合適?為什么?說明：小組內交流,中心發(fā)言人回答,及時讓學生補充不同的思路，關注每一個學生的參與情況。超越小組：我們認為D小組的做法不正確,因為要兩邊同時約去X,必須確保X不等于0,但題目中沒有說明。雖然我們

8、組沒有人用C同學的做法,但我們一致認為C同學的做法最好,這樣做簡單又準確.學生E：補充一點，剛才講X須確保不等于0，而此題恰好X=0,所以不能約去，否則丟根.師：這兩位同學的回答條理清楚并且敘述嚴密，相信下面同學的回答會一個比一個棒!(及時評價鼓勵，激發(fā)學生的學習熱情)3、師：現(xiàn)在請C同學為大家說說他的想法好不好? 生：齊答好學生C：X(X-3)=0 所以X1=0或X2=3 因為我想3×0=0, 0×(-3)=0 ， 0×0=0反過來，如果ab=0,那么a=0或b=0,所以a與b至少有一個等于04、師：好，這時我們可這樣表示： 如果a×b=0,那么a=0

9、或b=0 這就是說：當一個一元二次方程降為兩個一元一次方程時，這兩個一元一次方程中用的是“或”，而不用“且”。所以由x(x-3)=0得到x=0和x-3=0時，中間應寫上“或”字。我們再來看c同學解方程x2=3x的方法，他是把方程的一邊變?yōu)?，而另一邊可以分解成兩個因式的乘積，然后利用a×b=0,則a=0或b=0,把一元二次方程變成一元一次方程，從而求出方程的解。我們把這種解一元二次方程的方法稱為因式分解法，即當一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時，我門就采用因式分解法來解一元二次方程。目的：通過獨立思考,小組協(xié)作交流,力求使學生根據(jù)方程的具體特征,靈活選取適

10、當?shù)慕夥?在操作活動過程中,培養(yǎng)學生積極的情感,態(tài)度，提高學生自主學習和思考的能力,讓學生盡可能自己探索新知,教師要關注每一位學生的發(fā)展.問題3和4進一步點明了因式分解的理論根據(jù)及實質,教師總結了本節(jié)課的重點.實際效果：對于問題1學生能根據(jù)自己的理解選擇一定的方法解決，速度比較快。第2問讓學生合作解決，學生在交流中產生了不同的看法，經(jīng)過討論探究進一步了解了分解因式法解一元二次方程是一種更特殊、簡單的方法。C同學對于第3問的回答從特殊到一般講解透徹，學生語言學生更容易理解。問題4的解決很自然地探究了新知因式分解法.并且也點明了運用因式分解法解一元二次方程的關鍵：將方程左邊化為因式乘積,右邊化為0

11、，這為后面的解題做了鋪墊。說明：如果ab=0，那么a=0或b=0，“或”是“二者中至少有一個成立”的意思，包括兩種情況，二者同時成立；二者有一個成立?！扒摇笔恰岸咄瑫r成立”的意思。第三環(huán)節(jié) 例題解析內容：解下列方程 (1)、 5X2=4X (仿照引例學生自行解決) (2)、 X-2=X(X-2) (師生共同解決) (3)、 (X+1)2-25=0 (師生共同解決) 學生G：解方程（1）時，先把它化為一般形式，然后再因式分解求解。解：（1）原方程可變形為 5X2-4X=0 X(5X-4)=0 X=0或5X-4=0 X1=0, X2=4/5 學生H：解方程（2）時因為方程的左、右兩邊都有(x-2

12、),所以我把(x-2)看作整體，然后移項，再因式分解求解。解：(2)原方程可變形為 （X-2）-X(X-2)=0 (X-2)(1-X)=0 X-2=0或1-X=0 X1=2 ， X2=1學生K：老師，解方程（2）時能否將原方程展開后再求解師：能呀，只不過這樣的話會復雜一些，不如把(x-2)當作整體簡便。學生M：方程(x+1) 2- 25=0的右邊是0，左邊(x+1) 2-25可以把(x+1)看做整體，這樣左邊就是一個平方差，利用平方差公式即可因式分解。解：(3)原方程可變形為(X+1)+5(X+1)-5=0 (X+6)(X-4)=0 X+6=0或X-4=0 X1=-6 ， X2=4師：好這個題

13、實際上我們在前幾節(jié)課時解過，當時我們用的是開平方法，現(xiàn)在用的是因式分解法。由此可知：一個一元二次方程的解法可能有多種，我們在選用時，以簡便為主。問題：1、用這種方法解一元二次方程的思路是什么?步驟是什么? (小組合作交流)2、對于以上三道題你是否還有其他方法來解? (課下交流完成)目的：例題講解中,第一題學生獨自完成,考察了學生對引例的掌握情況,便于及時反饋。第2、3題體現(xiàn)了師生互動共同合作，進一步規(guī)范解題步驟,最后提出兩個問題。問題1進一步鞏固因式分解法定義及解題步驟，而問題2體現(xiàn)了解題的多樣化。實際效果：對于例題中(1)學生做得很迅速,正確率比較高；(2)、(3)題經(jīng)過探究合作最終順利的完

14、成,所以學生情緒高漲,討論熱烈,思維活躍,正是因為這，問題1、2學生們有見地的結論不斷涌現(xiàn)，敘述越來越嚴謹。說明：在課本的基礎上例題又補充了一題,目的是練習使用公式法因式分解。第四環(huán)節(jié)：鞏固練習內容：1、解下列方程：（1） (X+2)(X-4)=0 (2 ) X2-4=0 (3 ) 4X(2X+1)=3(2X+1)2、一個數(shù)平方的兩倍等于這個數(shù)的7倍，求這個數(shù)？目的：華羅庚說過“學數(shù)學而不練,猶如入寶山而空返”該練習對本節(jié)知識進行鞏固，使學生更好地理解所學知識并靈活運用。實際效果：此處留給學生充分的時間與空間進行獨立練習，通過練習基本能用因式分解法解一元二次方程，收到了較好的效果。第五環(huán)節(jié) 拓

15、展與延伸師：想不想挑戰(zhàn)自我？學生：想內容：1、一個小球以15m/s的初速度豎直向上彈出，它在空中的速度h(m)，與時間t(s)滿足關系：h=15t-5t2 小球何時能落回地面？2、一元二次方程（m-1）x2 +3mx+(m+4)(m-1)=0有一個根為0，求m 的值 說明：a學生交流合作后教師適當引導提出兩個問提，1、第一題中小球落回地面是什么意思？2、第二題中一個根為0有什么用？ b這組補充題目稍有難度,為了激發(fā)優(yōu)秀生的學習熱情。目的：學生在對因式分解法直接感知的基礎上，在頭腦加工組合，呈現(xiàn)感知過的特點，使認識從感知不段發(fā)展，上升為一種可以把握的能力。同時學生通過獨立思考及小組交流，尋找解決

16、問題的方法，獲得數(shù)學活動的經(jīng)驗，調動了學生學習的積極性，也培養(yǎng)了團結協(xié)作的精神，使學生在學習中獲得快樂，在學習中感受數(shù)學的實際應用價值。實際效果：對于問題1，個別學生不理解問題導致沒列出一元二次方程；問題2由于在配方法時接觸過此類型的題目，因此掌握比較不錯。說明：小組內交流時，教師關注小組中每個學生的參與積極性及小組內的合作交流情況。第六環(huán)節(jié) 感悟與收獲內容：師生互相交流總結1、因式分解法解一元二次方程的基本思路和關鍵。2、在應用因式分解法時應注意的問題。3、因式分解法體現(xiàn)了怎樣的數(shù)學思想?目的：鼓勵學生結合本節(jié)課的內容談自己的收獲與感想。實際效果：學生暢所欲言，在民主的氛圍中培養(yǎng)學生歸納概括能力和語言表達能力；同時引導學生反思探究過程，幫助學生肯定自我、欣賞他人。第七環(huán)節(jié) 布置作業(yè)課本49頁習題2.7 1、2題。四、教學反思1. 評價的目的是為了全面了解學生的學習狀況,激