北師大版初三二次函數(shù)知識點及練習(xí)

1、二次函數(shù)知識回顧一、二次函數(shù)概念：1二次函數(shù)的概念：一般地，形如20 ）的函數(shù)，y ax bx c （ a，b ，c 是常數(shù)， a叫做二次函數(shù)。這里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)a 0 ，而 b ，c 可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)2. 二次函數(shù) y ax2 bx c 的結(jié)構(gòu)特征： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x 的二次式， x 的最高次數(shù)是 2 a ，b ，c 是常數(shù)， a 是二次項系數(shù)， b 是一次項系數(shù)， c 是常數(shù)項例 1（基礎(chǔ)） .二次函數(shù) y3x26x 5 的圖像的頂點坐標(biāo)是（）A（ -1， 8） B. （ 1，8） C （-1， 2） D （1，-4）習(xí)題精練1

2、、二次函數(shù) yax2 bx c 的圖象如圖所示，反比例函數(shù)ay x與正比例函數(shù) y（ b c） x 在同一坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（）2、若二次函數(shù)y x2bx 5配方后為 y( x2) 2k 則 b 、 k 的值分別為（ ）A .05B.0. 1C.-4. 5D.- 4.13、圖（ 1）是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面在l 時，拱頂（拱橋洞的最高點）離水面2m ，水面寬 4m 如圖（ 2）建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線的關(guān)系式是（）A y2x2B y 2x2C y1 x2D y1 x2221/20圖（ 1）圖（ 2）4、已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則這個二次函數(shù)的表達(dá)式為（）A yx22

3、x3B yx22x3C yx22x3D yx22x35. 若 yax2bxc ，則由表格中信息可知y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式是（）x101ax21ax2bxc83 y x24x 3 yx23x 4 y x23x 3 yx24x 86、巴人廣場中心標(biāo)志性建筑處有高低不同的各種噴泉，其中一支高為1 米的噴水管噴水最大高度為3 米，此時噴水水平距離為1 米，在如圖 4 所示的坐標(biāo)系中，這支2噴泉滿足的函數(shù)關(guān)系式是（）A） y( x1 )2 3 （ B） y 3( x 1 ) 2 1（222/20C） y8( x1 ) 23 （ D） y8( x1) 2322二、二次函數(shù)的基本形式1.二次函數(shù)基本形

4、式：yax2 的性質(zhì)：a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。a 的符號開口方頂點坐對稱性質(zhì)向標(biāo)軸x0 時， y 隨 x 的增大而增大；x 0 時，a0向上0 ，0y 軸y 隨 x 的增大而減?。?x0 時， y 有最小值 0 x0 時， y 隨 x 的增大而減??；x 0 時，a0向下0 ，0y 軸y 隨 x 的增大而增大； x0 時， y 有最大值 0 3/202.2y ax c 的性質(zhì)：上加下減。開口方頂點坐對稱a 的符號性質(zhì)向標(biāo)軸x 0 時， y 隨 x 的增大而增大；x 0 時，a0向上0 ，cy 軸y 隨 x 的增大而減??； x0 時，值 c x 0 時， y 隨 x 的增大而減?。籥0

5、向下0 ，cy 軸y 隨 x 的增大而增大； x0 時，值 c y 有最小x 0 時，y 有最大3. y a x h 2 的性質(zhì)：左加右減。a 的符號開口方頂點坐對稱性質(zhì)向標(biāo)軸a 0向上h ，0X=hx h 時， y 隨 x 的增大而增大；x h 時，y 隨 x 的增大而減?。?xh 時， y 有最小4/20值 0 x h 時， y 隨 x 的增大而減?。?x h 時，a 0向下h ，0X=hy 隨 x 的增大而增大； xh 時， y 有最大值 0 4.2y a x hk 的性質(zhì)：開口方頂點坐對稱a 的符號向標(biāo)軸a0向上h ，kX=ha0向下h ，kX=h性質(zhì)x h 時， y 隨 x 的增大而

6、增大； x h 時， y 隨 x 的增大而減?。?x h 時， y 有最小值 k x h 時， y 隨 x 的增大而減??； x h 時， y 隨 x 的增大而增大； x h 時， y 有最大值 k 三、二次函數(shù)圖象的平移1. 平移步驟：方法一：將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式 y a x2hk ，確定其頂點坐標(biāo)h ，k ； 保持拋物線 yax2 的形狀不變，將其頂點平移到h，k 處，具體平移方法如下：5/20向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k|個單位y=ax2y=ax 2+k向右 (h>0)【或左 ( h<0) 】向右 ( h>0) 【或左 (h<0

7、) 】向右 (h>0)【或左 (h<0)】平移 |k|個單位平移 |k|個單位向上 (k>0) 【或下 (k<0) 】平移 |k|個單位平移 |k|個單位y=a(x-h)2向上 (k>0)【或下 (k<0) 】平移 |k|個單位y=a (x-h)2+k2. 平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“h 值正右移，負(fù)左移；k 值正上移，負(fù)下移”概括成八個字“左加右減，上加下減”方法二： yax 2bxc 沿 y 軸平移 : 向上（下）平移 m 個單位， yax2bxc 變成yax 2bx cm （或 y ax2bx cm ） yax 2bxc 沿軸平移：向左（右）平移m 個

8、單位， yax 2bxc 變成ya( xm)2b(x m) c （或 ya( xm) 2b( x m) c ）考點 1. 二次函數(shù)的平移小試牛刀例 2已知，在同一直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y5 與二次函數(shù) yx22 xc 的x圖像交于點A( 1， m) （ 1）求 m 、 c 的值；（ 2）求二次函數(shù)圖像的對稱軸和頂點坐標(biāo).6/20例 3 把拋物線 y=3x 2 向上平移 2 個單位，得到的拋物線是（）A.y=3 （x+2 ）2B.y=3 （ x-2 ） 2C.y=3x 2 +2D.y=3x2 -2專題練習(xí)一1. 對于拋物線 y=1x2+ 10 x16 ，下列說法正確的是（）333A.開口向下，

9、頂點坐標(biāo)為（5， 3）B. 開口向上，頂點坐標(biāo)為（5，3）C.開口向下，頂點坐標(biāo)為（-5，3）D. 開口向上，頂點坐標(biāo)為（-5，3）2. 若拋物線 y=x 2-2x+c 與 y 軸的交點為（ 0， -3 ），則下列說法不正確的是（）A.拋物線開口向上B.拋物線的對稱軸是x=1C.當(dāng) x=1 時， y 的最大值為 -4D. 拋物線與 x 軸交點為（ -1， 0），（ 3，0）3. 將二次函數(shù) y=x 2 的圖象向左平移 1 個單位長度，再向下平移 2 個單位長度后，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是_.y1x34. 小明從圖 2 所示的二次函數(shù) y ax2bxc 的圖象中，1 01 2 x2觀察得出了下面五

10、條信息：c 0 ； abc0 ；a b c 0 ； 2a 3b0 ； c 4b0 ，你認(rèn)為其中正確圖信息的個數(shù)有 _. （填序號）考點 2. 根據(jù)拋物線上點的坐標(biāo)確定二次函數(shù)表達(dá)式7/201. 若已知拋物線上三點的坐標(biāo)，則可用一般式：y=ax 2 +bx+c （a0）；2. 若已知拋物線的頂點坐標(biāo)或最大（?。┲导皰佄锞€上另一個點的坐標(biāo)，則可用頂點式： y=a （ x-h ） 2+k （ a0）；3. 若已知拋物線與x 軸的兩個交點坐標(biāo)及另一個點，則可用交點式：y=a （x-x 1 ）（ x-x 2）（ a0） .例 2 已知拋物線的圖象以 A（ -1 ， 4）為頂點，且過點 B（ 2，-5 ）

11、，求該拋物線的表達(dá)式 .例 3已知一拋物線與x 軸的交點是A（-2 ， 0）、 B（ 1， 0），且經(jīng)過點C（ 2，8）.（ 1）求該拋物線的解析式；（ 2）求該拋物線的頂點坐標(biāo) .專項練習(xí)二8/201. 由于世界金融危機的不斷蔓延，世界經(jīng)濟受到嚴(yán)重沖擊.為了盤活資金，減少損失，某電器商場決定對某種電視機連續(xù)進行兩次降價.若設(shè)平均每次降價的百分率是x，降價后的價格為y 元，原價為a 元，則 y 與 x 之間的函數(shù)表達(dá)式為（）A.y=2a （ x-1 ）B.y=2a （1-x ）C.y=a （ 1-x 2）D.y=a （1-x ） 22. 如圖 2，在平而直角坐標(biāo)系xOy 中，拋物線y=x 2+

12、bx+c與 x 軸交于 A、B 兩點，點 A 在 x 軸負(fù)半軸，點B 在 x 軸正半軸，與y 軸交于點 C，且 tan 圖 2ACO= 1 ， CO=BO ，AB=3 ，則這條拋物線的函數(shù)解析式是23. 對稱軸平行于 y 軸的拋物線與 y 軸交于點（ 0， -2 ），且 x=1 時， y=3； x=-1 時y=1，求此拋物線的關(guān)系式.4. 推理運算：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(0， 3) ， B(2， 3) ， C ( 1，0) （ 1）求此二次函數(shù)的關(guān)系式；（ 2）求此二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)；（ 3）填空：把二次函數(shù)的圖象沿坐標(biāo)軸方向最少 平移個單位，使得該圖象的頂點在原點9/20四、二次函數(shù)

13、y a x h2k 與 yax2bx c的比較從解析式上看， ya x2k 與 yax 2bx c 是兩種不同的表達(dá)形式，后者通h2b2b ，k4ac b2過配方可以得到前者，即ya xb4ac，其中 h2a4a2a4a五、二次函數(shù) y2bxc 圖象的畫法ax五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)y2bxc 化為頂點式y(tǒng) a (x2k，確axh)定其開口方向、對稱軸及頂點坐標(biāo)，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點畫圖. 一般我們選取的五點為：頂點、與y 軸的交點0 ，c 、以及0，c 關(guān)于對稱軸對稱的點2h ，c、與 x 軸的交點x1 ，0， x2 ，0（若與 x 軸沒有交點，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點

14、） .畫草圖時應(yīng)抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x 軸的交點，與y 軸的交點 .六、二次函數(shù) yax2bxc 的性質(zhì)1.當(dāng) a0 時，拋物線開口向上，對稱軸為xb，頂點坐標(biāo)為b ，4acb 22a2a4a當(dāng) xb時， y 隨 x 的增大而減?。划?dāng)xb時， y 隨 x 的增大而增大；當(dāng)2ab22axb 時， y 有最小值 4ac2a4a2.當(dāng) a0 時，拋物線開口向下，對稱軸為xb，頂點坐標(biāo)為b22ab ，4ac當(dāng) xb 時， y 隨 x 的增大而增大；當(dāng) xb時， y 隨 x 的增大而2a4 a2a2a減??；當(dāng) xb時， y 有最大值 4acb22a4a七、二次函數(shù)解析式的表示方法1.

15、一般式： yax2bxc （ a ， b ， c 為常數(shù)， a0 ）；2.頂點式： ya (x2k （ a ， h ， k 為常數(shù)， a0 ）；h)3.兩根式： ya (xx1 )( x x2 ) （ a 0 ， x1 ， x2 是拋物線與 x 軸兩交點的橫坐標(biāo)） .10/20注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與x 軸有交點，即b24ac0 時，拋物線的解析式才可以用交點式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.專項練習(xí)三y1. 拋物線 y=kx 2 -7x-7 的圖象和 x 軸有交點，則 k 的取值范圍是 _.2. 已知二次函

16、數(shù) yx2 2 x m 的部分圖象如圖 2 所示，則關(guān)于 x 的一元x二次方程x22xm0 的解為O1 3圖 23. 已知函數(shù) yax2bx c 的圖象如圖3 所示，那么關(guān)于x 的方程yax 2bxc 20的根的情況是（）A. 無實數(shù)根B. 有兩個相等實數(shù)0x3根圖 3C. 有兩個異號實數(shù)根D.有兩個同號不等實數(shù)根4. 二次函數(shù) yax2bxc(a0) 的圖象如圖4 所示，根據(jù)圖象解答下列問題：（ 1）寫出方程 ax2bxc0 的兩個根（ 2）寫出不等式ax2bxc0 的解集（ 3）寫出 y 隨 x 的增大而減小的自變量x 的取值范圍11/20（ 4）若方程 ax2bxck 有兩個不相等的實數(shù)

17、根，求k 的取值范圍八、二次函數(shù)圖象的對稱二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達(dá)1. 關(guān)于 x 軸對稱yax2bxc 關(guān)于 x 軸對稱后，得到的解析式是yax2bxc ；yaxh2ya xh2；k 關(guān)于 x 軸對稱后，得到的解析式是k2. 關(guān)于 y 軸對稱yax2bxc 關(guān)于 y 軸對稱后，得到的解析式是yax2bxc ；yaxh2ya xh2k 關(guān)于 y 軸對稱后，得到的解析式是k ；3. 關(guān)于原點對稱yax2bxc 關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是y2bxc ；axyaxh2yaxh2k；k 關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是4. 關(guān)于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)180&#

18、176;）yax2bxc 關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是yax2bxcb2；2ayaxh2yaxh2kk 關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是5. 關(guān)于點 m，n 對稱2k 關(guān)于點 m，n 對稱后，得到的解析式是2y a x hy a x h 2m2n k根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此 a 永遠(yuǎn)不變求拋物線的對稱拋物線的表達(dá)式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點坐12/20標(biāo)及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達(dá)式十、二次函數(shù)與一元二次方程：1.二次

19、函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與x 軸交點情況）：一元二次方程 ax2bxc 0 是二次函數(shù) yax2bx c 當(dāng)函數(shù)值 y0 時的特殊情況 .圖象與 x 軸的交點個數(shù)： 當(dāng)b 24ac0 時，圖象與 x 軸交于兩點 Ax1 ，0 ，B x2 ，0(x1x2 ) ，其中的x1 ，x2 是一元二次方程 ax2bx c 0 a0 的兩根這兩點間的距離ABx2x1b24ac.a 當(dāng)0時，圖象與 x 軸只有一個交點； 當(dāng)0時，圖象與 x 軸沒有交點 .1'當(dāng) a0 時，圖象落在 x 軸的上方，無論 x 為任何實數(shù)，都有y0 ；2'當(dāng) a0 時，圖象落在 x 軸的下方，無論x 為任何

20、實數(shù)，都有y0 2.拋物線 yax2bxc 的圖象與 y 軸一定相交，交點坐標(biāo)為 (0 ， c) ；3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與x 軸的交點坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點式； 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)2y ax bx c 中 a ， b ， c 的符號，或由二次函數(shù)中 a ， b ， c 的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點對稱的點坐標(biāo)，或已知與x 軸的一個交點坐標(biāo)，可由對稱性求出另一個交點坐標(biāo). 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項式，二次三項式ax2

21、bxc( a0) 本身就是所含字母 x 的二次函數(shù)；下面以 a 0 時為例，揭示二次函數(shù)、二次三項式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：13/200拋物線與 x 軸有二次三項式的值可一元二次方程有兩個不相等實根兩個交點正、可零、可負(fù)0拋物線與 x 軸只二次三項式的值為非一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根有一個交點負(fù)0拋物線與 x 軸無二次三項式的值恒為一元二次方程無實數(shù)根 .交點正二次函數(shù)圖像參考：y=2x 2y=3(x+4)2y=3x 2y=3(x-2) 2y=x 2y=2x 2y=2(x-4) 2x 2y=2y=2(x-4) 2-3y=2 x 2 +2y=2 x 2y=2 x 2 -4x2y= -2

22、y= -x 2y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3) 2y=-2x 214/20課后鞏固練習(xí)：1、把拋物線 yx2 向右平移 1 個單位，所得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（）A y x 21 B y x 1 2C y x 21 D yx 1 22、在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y 2x2 的圖象向上平移2 個單位，所得圖象的解析式為 ()A y 2x 22B y 2x 22 C y 2( x 2) 2D y 2(x 2)23、把拋物線yx2 向左平移 1 個單位，然后向上平移3 個單位 ，則平移后拋物線的解析式為（）.A y( x 1)23B y( x 1)23C y( x 1)23D y

23、(x 1)234、拋物線 y( x 2) 23的頂點坐標(biāo)是（）A (2，3)B( 2，3)D (2， 3)D( 2， 3)5、二次函數(shù)y=ax 2+bx+c的圖象如圖所示，若點A(1,y 1 )、 B(2,y 2 )是它圖象上的兩點，則 y1 與 y2 的大小關(guān)系是（）(A) y 1 y2(B) y 1 =y 2(C) y 1 y2 (D) 不能確定6、函數(shù) = 1 與y=2 bx1（ a0）的圖象可能是（）y axax15/207、根據(jù)下表中的二次函數(shù)yax2bxc 的自變量 x 與函數(shù) y 的對應(yīng)值，可判斷該二次函數(shù)的圖象與x 軸（）A 只有一個交點B 有兩個交點，且它們分別在y 軸兩側(cè)C

24、有兩個交點，且它們均在y 軸同側(cè)D 無交點8、已知二次函數(shù)yax2bxc 的 y 與 x 的部分對應(yīng)值如下表：x1013y3131則下列判斷中正確的是（）A拋物線開口向上B拋物線與y 軸交于負(fù)半軸C當(dāng) x 4 時， y 0D方程 ax 2bxc0 的正根在 3 與 4 之間9、已知二次函數(shù)yax2bx c(a0) 的圖象如圖所示，則下列結(jié)論： ac0 ； 方程 ax 2bxc0 的兩根之和大于0； y隨 x 的增大而增大；a b c 0 ，其中正確的個數(shù)（）16/20A4 個B3 個C2 個D1 個10 、已知二次函數(shù)yax2 bx c(a0)的圖象如圖所示，給出以下結(jié)論： 0. 該函數(shù)的圖象關(guān)于直線x 1對稱 . 當(dāng) x1或 x 3a時，函數(shù) y 的值都等于0. 其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A3B2C1D011 、二次函數(shù) yax2bxc 的圖象如圖所示，則下列關(guān)系式不正確的是（） .A a 0B. abc 0C. abc 0D. b24ac 012 、已知二次函數(shù)y=ax 2