事件的獨立性和二項分布(修改后)

1、.2.2.2事件的相互獨立性事件的相互獨立性.三張獎券有一張可以中獎?，F(xiàn)由三名同學依次無放回地抽取，問：在第一位同學沒有中獎的條件下，最后一名去抽的同學中獎的概率會受到影響嗎？同同學學中中獎獎”. .B B表表示示事事件件“最最后后一一名名設A為事件“第一位同學沒有中獎”。答:事件事件A的發(fā)生會影響事件的發(fā)生會影響事件B發(fā)生的概率發(fā)生的概率21)()()()(APABPAnABn)(ABP.三張獎券有一張可以中獎。現(xiàn)由三名同學依次有放回地抽取，問：最后一名去抽的同學的中獎概率會受到第一位同學是否中獎的影響嗎？同同學學中中獎獎”. .B B表表示示事事件件“最最后后一一名名設A為事件“第一位同學

2、沒有中獎”。答：事件A的發(fā)生不會影響事件B發(fā)生的概率。)()|(BPABP)|()()(ABPAPABP又)()()(BPAPABP.設設A，B為兩個事件，如果為兩個事件，如果)()()(BPAPABP則稱事件則稱事件A與事件與事件B相互獨立。相互獨立。（1）定義法）定義法:P(AB)=P(A)P(B)（2）經(jīng)驗判斷）經(jīng)驗判斷:A發(fā)生與否不影響發(fā)生與否不影響B(tài)發(fā)生的概率發(fā)生的概率 B發(fā)生與否不影響發(fā)生與否不影響A發(fā)生的概率發(fā)生的概率3.判斷兩個事件相互獨立的方法判斷兩個事件相互獨立的方法注意注意:(1)互斥事件互斥事件:兩個事件不可能同時發(fā)生兩個事件不可能同時發(fā)生(2)相互獨立事件相互獨立事件

3、:兩個事件的發(fā)生彼此互不影響兩個事件的發(fā)生彼此互不影響. 事件的“互斥”和“相互獨立”是兩個不同的概念。互斥說的是兩個事件不能同時發(fā)生；而相互獨立則是允許兩個事件同時發(fā)生，只是其中一個事件的發(fā)生與否對另外一個事件發(fā)生的可能性不會產(chǎn)生任何影響 在邏輯上，可以將互斥事件理解為一次試驗下可能出現(xiàn)的不同基本事件，而將相互獨立事件理解為兩次或更多次不同試驗下相應出現(xiàn)的不同事件。故此，若A 與B 為互斥事件，則應使用概率加法公式來計算A或B發(fā)生的概率：P( A + B) = P( A) +P( B)。而若A 與B 為相互獨立事件，則應使用概率乘法公式來計算A和B同時發(fā)生的概率（聯(lián)合概率）：P( AB) =

4、 P( A)P( B) . 設若兩個隨機事件設若兩個隨機事件A、B相互獨立，則說明這兩個相互獨立，則說明這兩個事件可以同時發(fā)生（因為兩個事件的發(fā)生互不影事件可以同時發(fā)生（因為兩個事件的發(fā)生互不影響），而互斥的兩個事件卻不能同時發(fā)生（亦即響），而互斥的兩個事件卻不能同時發(fā)生（亦即一個事件發(fā)生了，另個事件就絕對不可能發(fā)生），一個事件發(fā)生了，另個事件就絕對不可能發(fā)生），故此兩個相互獨立的事件故此兩個相互獨立的事件通常通常不可能不可能“互斥互斥”。 反之，設若兩個事件互斥，則一個事件的出現(xiàn)必反之，設若兩個事件互斥，則一個事件的出現(xiàn)必導致另一個事件的不出現(xiàn)，這說明后者出現(xiàn)的概導致另一個事件的不出現(xiàn)，這說

5、明后者出現(xiàn)的概率受到了前者是否出現(xiàn)的影響，從而意味著這兩率受到了前者是否出現(xiàn)的影響，從而意味著這兩個事件并不相互獨立。個事件并不相互獨立。 當然這只是一般情況當然這只是一般情況，當有概率為零的事件時例，當有概率為零的事件時例外。具體地，當外。具體地，當A、B 中至少有一個是不可能事中至少有一個是不可能事件時，設若事件件時，設若事件A 和和B 為互斥事件，則事件為互斥事件，則事件A 與與B一定是相互獨立事件；設若事件一定是相互獨立事件；設若事件A 和和B 為相互為相互獨立事件，則它們一定也是互斥事件。獨立事件，則它們一定也是互斥事件。.(1)必然事件必然事件 及不可能事件及不可能事件與任何事件與

6、任何事件A相互獨立相互獨立.；與與 BAAB與與 ；.BA 與與(2)若事件若事件A與與B相互獨立相互獨立, 則以下三對事件也相互獨立則以下三對事件也相互獨立:相互獨立事件的性質： 即兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，等于每個即兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積。事件發(fā)生的概率的積。（2 2）推廣：如果事件）推廣：如果事件A A1 1，A A2 2，AAn n相互獨立相互獨立，那么這，那么這 n n個事件同時發(fā)生的概率個事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的等于每個事件發(fā)生的概率的積積.即：即：P(AP(A1 1AA2 2AAn n)= P(A)= P(A1 1)P(

7、A)P(A2 2)P(A)P(An n) )（1 1）若）若A A、B B是相互是相互獨立獨立事件，則有事件，則有P(AB)= P(A)P(B)P(AB)= P(A)P(B). .相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式.練習練習1.1.判斷下列事件是否為相互獨立事件判斷下列事件是否為相互獨立事件. . 籃球比賽的籃球比賽的“罰球兩次罰球兩次”中，中， 事件事件A A：第一次罰球，球進了：第一次罰球，球進了. . 事件事件B B：第二次罰球，球進了：第二次罰球，球進了. .袋中有三個紅球，兩個白球，采取不放回的取球袋中有三個紅球，兩個白球，采取不放回的取球. .事件事件A

8、A：第一次從中任取一個球是白球：第一次從中任取一個球是白球. .事件事件B B：第二次從中任取一個球是白球：第二次從中任取一個球是白球. .袋中有三個紅球，兩個白球，采取有放回的取球袋中有三個紅球，兩個白球，采取有放回的取球. . 事件事件A A：第一次從中任取一個球是白球：第一次從中任取一個球是白球. . 事件事件B B：第二次從中任取一個球是白球：第二次從中任取一個球是白球. .練練2 2、判斷下列各對事件的關系判斷下列各對事件的關系（1 1）運動員甲射擊一次，射中）運動員甲射擊一次，射中9 9環(huán)與射中環(huán)與射中8 8環(huán)；環(huán)；（2 2）甲乙兩運動員各射擊一次，甲射中）甲乙兩運動員各射擊一次，

9、甲射中9 9環(huán)與乙環(huán)與乙射中射中8 8環(huán)；環(huán)；互斥互斥相互獨立相互獨立相互獨立相互獨立相互獨立相互獨立（4 4）在一次地理會考中，）在一次地理會考中，“甲的成績合甲的成績合格格”與與“乙的成績優(yōu)秀乙的成績優(yōu)秀”24. 0)(, 6 . 0)(, 6 . 0)()3(ABPBPAP已知.練習練習3:已知已知A、B、C相互獨立，試用數(shù)相互獨立，試用數(shù)學符號語言表示下列關系學符號語言表示下列關系 A、B、C同時發(fā)生概率；同時發(fā)生概率； A、B、C都不發(fā)生的概率；都不發(fā)生的概率； A、B、C中恰有一個發(fā)生的概率；中恰有一個發(fā)生的概率； A、B、C中恰有兩個發(fā)生的概率；中恰有兩個發(fā)生的概率；A、B 、C

10、中至少有一個發(fā)生的概率；中至少有一個發(fā)生的概率；)(CBAP)(CBAP(1) A發(fā)生且發(fā)生且B發(fā)生且發(fā)生且C發(fā)生發(fā)生(2) A不發(fā)生且不發(fā)生且B不發(fā)生且不發(fā)生且C不發(fā)生不發(fā)生.)()()()3(CBAPCBAPCBAP練習練習3 :已知已知A、B、C相互獨立，試用數(shù)相互獨立，試用數(shù)學符號語言表示下列關系學符號語言表示下列關系 A、B、C同時發(fā)生概率；同時發(fā)生概率； A、B、C都不發(fā)生的概率；都不發(fā)生的概率； A、B、C中恰有一個發(fā)生的概率；中恰有一個發(fā)生的概率； A、B、C中恰有兩個發(fā)生的概率；中恰有兩個發(fā)生的概率；A、B 、C中至少有一個發(fā)生的概率；中至少有一個發(fā)生的概率；)()()()4

11、(CBAPCBAPCBAP)(1 )5(CBAP.例例1、某商場推出兩次開獎活動，凡購買一定、某商場推出兩次開獎活動，凡購買一定價值的商品可以獲得一張獎券價值的商品可以獲得一張獎券,抽到某一指定抽到某一指定號碼為中獎。獎券上有一個兌獎號碼，可以號碼為中獎。獎券上有一個兌獎號碼，可以分別參加兩次抽獎方式相同的兌獎活動。如分別參加兩次抽獎方式相同的兌獎活動。如果兩次兌獎活動的中獎概率都為果兩次兌獎活動的中獎概率都為0.05，求兩，求兩次抽獎中以下事件的概率：次抽獎中以下事件的概率：（1）“都抽到某一指定號碼都抽到某一指定號碼”；（2）“恰有一次抽到某一指定號碼恰有一次抽到某一指定號碼”；（3）“至

12、少有一次抽到某一指定號碼至少有一次抽到某一指定號碼”。.解解: (1)記記“第一次抽獎抽到某一指定號碼第一次抽獎抽到某一指定號碼”為事件為事件A， “第二次抽獎抽到某一指定號碼第二次抽獎抽到某一指定號碼”為事件為事件B，則，則“兩次抽獎都抽到某一指定號碼兩次抽獎都抽到某一指定號碼”就是事件就是事件AB。（1）“都抽到某一指定號碼都抽到某一指定號碼”；由于兩次的抽獎結果是互不影響的由于兩次的抽獎結果是互不影響的,因此因此A和和B相互獨立相互獨立.于是由獨立性可得于是由獨立性可得,兩次抽獎都抽到兩次抽獎都抽到某一指定號碼的概率為某一指定號碼的概率為 P(AB)=P(A)P(B)=0.050.05=

13、0.0025.（2）“恰有一次抽到某一指定號碼恰有一次抽到某一指定號碼”；解解: “兩次抽獎恰有一次抽到某一指定號碼兩次抽獎恰有一次抽到某一指定號碼”可以用可以用 表示。由于事件表示。由于事件 與與 互斥，根據(jù)概率加法公式和相互獨立事件的互斥，根據(jù)概率加法公式和相互獨立事件的定義，所求的概率為：定義，所求的概率為：B B) )A A( () )B B( (A A B BA AB BA A0 0. .0 09 95 5 0 0. .0 05 50 0. .0 05 5) )( (1 10 0. .0 05 5) )( (1 10 0. .0 05 5 ) )P P( (B B) )A AP P(

14、 () )B B P P( (A A) )P P( (B B) )A AP P( () )B BP P( (A A.（3）“至少有一次抽到某一指定號碼至少有一次抽到某一指定號碼”；0 0. .0 09 97 75 5 0 0. .0 09 95 50 0. .0 00 02 25 5B B) )A AP P( () )B BP P( (A AP P( (A AB B) )解解: “兩次抽獎至少有一次抽到某一指定號碼兩次抽獎至少有一次抽到某一指定號碼”可可以用以用 表示。由于事件表示。由于事件 與與 兩兩互斥，根據(jù)概率加法公式和相互獨立兩兩互斥，根據(jù)概率加法公式和相互獨立事件的定義，所求的概率為

15、：事件的定義，所求的概率為：) )B B( (A AB B) )A A( ( (A AB B) )B BA AB BA AA AB B, ,0 0. .0 09 97 75 50 0. .0 05 5) )( (1 10 0. .0 05 5) )( (1 11 1) )B BA AP P( (1 1另解：另解：(逆向思考逆向思考)至少有一次抽中的概率為至少有一次抽中的概率為.例例2.2.甲甲, , 乙兩人同時向敵人炮擊乙兩人同時向敵人炮擊, ,已知甲擊中敵機已知甲擊中敵機的概率為的概率為0.6, 0.6, 乙擊中敵機的概率為乙擊中敵機的概率為0.5, 0.5, 求敵機求敵機被擊中的概率被擊中

16、的概率. .解解設設 A= 甲擊中敵機甲擊中敵機 ,B= 乙擊中敵機乙擊中敵機 ,C=敵機被擊中敵機被擊中 .BAC 則則依題設依題設,5 . 0)(, 6 . 0)( BPAP由于由于 甲，乙同時射擊，甲擊中敵機并不影響乙擊中甲，乙同時射擊，甲擊中敵機并不影響乙擊中敵機的可能性，所以敵機的可能性，所以 A與與B獨立獨立, ,進而進而.獨獨立立與與 BABAC BA )(1)(CPCP )()(1BPAP )(1)(11BPAP )5 . 01)(6 . 01(1 = 0.8.練習練習1、若甲以、若甲以10發(fā)發(fā)8中，乙以中，乙以10發(fā)發(fā)7中的命中率打靶，中的命中率打靶， 兩人各射擊一次，則他們

17、都中靶的概率是兩人各射擊一次，則他們都中靶的概率是( )(A)(B)(D)(C)5 53 34 43 32 25 51 12 22 25 51 14 4練習練習2.某產(chǎn)品的制作需三道工序，設這三道工序出某產(chǎn)品的制作需三道工序，設這三道工序出現(xiàn)次品的概率分別是現(xiàn)次品的概率分別是P1,P2,P3。假設三道工序互不影。假設三道工序互不影響，則制作出來的產(chǎn)品是正品的概率響，則制作出來的產(chǎn)品是正品的概率是是 。D(1P1) (1P2) (1P3)練習練習3.甲、乙兩人獨立地解同一問題甲、乙兩人獨立地解同一問題,甲解決這個問甲解決這個問題的概率是題的概率是P1, ，乙解決這個問題的概率是，乙解決這個問題的

18、概率是P2，那，那么其中至少有么其中至少有1人解決這個問題的概率是多少？人解決這個問題的概率是多少？P1 (1P2) +(1P1)P2+P1P2=P1 + P2 P1P2.練習練習4:4: 已知諸葛亮解出問題的概率為已知諸葛亮解出問題的概率為0.8,0.8,臭皮匠臭皮匠老大解出問題的概率為老大解出問題的概率為0.5,0.5,老二為老二為0.45,0.45,老三為老三為0.4,0.4,且每個人必須獨立解題，問三個臭皮匠中且每個人必須獨立解題，問三個臭皮匠中至少有一人解出的概率與諸葛亮解出的概率比至少有一人解出的概率與諸葛亮解出的概率比較，誰大？較，誰大？ 1()10.5 0.55 0.60.83

19、5P A B C 0.8()P D 略解略解: : 三個臭皮匠中至少有一人解出的概率為三個臭皮匠中至少有一人解出的概率為 所以所以，合三個臭皮匠之力把握就大過，合三個臭皮匠之力把握就大過諸葛亮諸葛亮. .互斥事件互斥事件相互獨立事件相互獨立事件 不可能同時發(fā)生的不可能同時發(fā)生的兩個事件叫做互斥兩個事件叫做互斥事件事件.如果事件如果事件A A（或（或B B）是否發(fā)生對事）是否發(fā)生對事件件B B（或（或A A）發(fā)生的概率沒有影響，）發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事這樣的兩個事件叫做相互獨立事件件P(AB)=P(A)+P(B)P（AB）= P(A)P(B) 互斥事件互斥事件A A、B

20、 B中中有一個發(fā)生，有一個發(fā)生，相互獨立事件相互獨立事件A A、B B同時同時發(fā)生發(fā)生, ,計算計算公式公式 符符號號概念概念記作記作:AB(:AB(或或A+B)A+B)記作記作:AB.2.2.3獨立重復試驗與獨立重復試驗與二項分布二項分布.復習引入復習引入.共同特點是共同特點是: 多次重復地做同一個試驗多次重復地做同一個試驗.分析下面的試驗，它們有什么共同特點？分析下面的試驗，它們有什么共同特點？投擲一個骰子投擲投擲一個骰子投擲5次次;某人射擊某人射擊1次，擊中目標的概率是次，擊中目標的概率是0.8，他射擊，他射擊10次次;實力相等的甲、乙兩隊參加乒乓球團體比賽，規(guī)實力相等的甲、乙兩隊參加乒

21、乓球團體比賽，規(guī)定定5局局3勝制（即勝制（即5局內(nèi)誰先贏局內(nèi)誰先贏3局就算勝出并停止局就算勝出并停止比賽）比賽）;一個盒子中裝有一個盒子中裝有5個球（個球（3個紅球和個紅球和2個黑球），個黑球），有放回地依次從中抽取有放回地依次從中抽取5個球個球;生產(chǎn)一種零件，出現(xiàn)次品的概率是生產(chǎn)一種零件，出現(xiàn)次品的概率是0.04,生產(chǎn)這種生產(chǎn)這種零件零件4件件.1.獨立重復試驗定義：獨立重復試驗定義： 一般地，在相同條件下重復做的一般地，在相同條件下重復做的n n次試驗次試驗稱為稱為n n次獨立重復試驗次獨立重復試驗（1 1）每次試驗是在同樣條件下進行；每次試驗是在同樣條件下進行；（2 2）每次試驗都只有兩

22、種結果）每次試驗都只有兩種結果: :發(fā)生與不發(fā)生；發(fā)生與不發(fā)生；（3 3）各次試驗中的事件是相互獨立的；）各次試驗中的事件是相互獨立的；（4 4）每次試驗）每次試驗, ,某事件發(fā)生的概率是相同的。某事件發(fā)生的概率是相同的。注：注：獨立重復試驗的基本特征：獨立重復試驗的基本特征：基本概念基本概念.判斷下列試驗是不是獨立重復試驗：判斷下列試驗是不是獨立重復試驗：1)1)依次投擲四枚質地不同的硬幣依次投擲四枚質地不同的硬幣,3,3次正面向上次正面向上; ;2)2)某射擊手每次擊中目標的概率是某射擊手每次擊中目標的概率是0.90.9，他進行了，他進行了4 4 次射擊，只命中一次；次射擊，只命中一次；

23、3)3)口袋裝有口袋裝有5 5個白球個白球,3,3個紅球個紅球,2,2個黑球個黑球, ,從中從中依次依次 抽取抽取5 5個球個球, ,恰好抽出恰好抽出4 4個白球個白球; ;4)4)口袋裝有口袋裝有5 5個白球個白球,3,3個紅球個紅球,2,2個黑球個黑球, ,從中從中有放回有放回 的抽取的抽取5 5個球個球, ,恰好抽出恰好抽出4 4個白球個白球不是不是是是不是不是是是注：獨立重復試驗的實際原型是有放回的抽樣試驗.探究探究 投擲一枚圖釘，設針尖向上的概率為投擲一枚圖釘，設針尖向上的概率為p，則針尖，則針尖向下的概率為向下的概率為q=1-p.連續(xù)擲一枚圖釘連續(xù)擲一枚圖釘3次，僅出現(xiàn)次，僅出現(xiàn)1

24、次次針尖向上的概率是多少？針尖向上的概率是多少？所以，連續(xù)擲一枚圖釘所以，連續(xù)擲一枚圖釘3次，僅出現(xiàn)次，僅出現(xiàn)1次次針尖向上的概率是針尖向上的概率是23.q p.思考？思考？ 上面我們利用擲上面我們利用擲1次圖釘，針尖向上的概率為次圖釘，針尖向上的概率為p，求，求出了連續(xù)擲出了連續(xù)擲3次圖釘，僅出現(xiàn)次次圖釘，僅出現(xiàn)次1針尖向上的概率。類針尖向上的概率。類似地，連續(xù)擲似地，連續(xù)擲3次圖釘，出現(xiàn)次圖釘，出現(xiàn) 次針尖向次針尖向上的概率是多少？你能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律嗎？上的概率是多少？你能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律嗎？(03)kk33(),0,1,2,3.kkkkP BC p qk仔細觀察上述等仔細觀察上述等式，可以

25、發(fā)現(xiàn)：式，可以發(fā)現(xiàn)：30123()(),P BP A A Aq21123123123()()()()3,P BP A A AP A A AP A A Aq p22123123123()()()()3,P BP A A AP A A AP A A Aqp33123()().P BP A A Ap.基本概念基本概念2、二項分布：、二項分布： 一般地，在一般地，在n次獨立重復試驗中，設事件次獨立重復試驗中，設事件A發(fā)生的發(fā)生的次數(shù)為次數(shù)為X，在每次試驗中事件，在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為p，那么，那么在在n次獨立重復試驗中，事件次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生恰好發(fā)生k次的概率為次的概

26、率為()(1),0,1,2,., .kkn knP XkC ppkn此時稱隨機變量此時稱隨機變量X服從服從二項分布二項分布，記作，記作XB(n,p),并稱并稱p為成功概率。為成功概率。注注: （1） 展開式展開式中的第中的第 項項. ( )()kkn knnnP kc p qpq 是是1k .knkknppCkXP)1 ()(（其中（其中k = 0，1，2，n ）試驗總次數(shù)試驗總次數(shù)事件事件 A 發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù)一次試驗中事件一次試驗中事件 A 發(fā)發(fā)生的概率生的概率發(fā)生的概率一次試驗中事件A（2）公式理解）公式理解.例例1.某射手每次射擊擊中目標的概率是某射手每次射擊擊中目標的概率是0.8

27、. 求這名射手在求這名射手在10次射擊中。次射擊中。（1）恰有）恰有8次擊中目標的概率；次擊中目標的概率；（2）至少有）至少有8次擊中目標的概率。次擊中目標的概率。 （結果保留兩個有效數(shù)字）（結果保留兩個有效數(shù)字）.解：設解：設X為擊中目標的次數(shù)，則為擊中目標的次數(shù)，則XB(10,0.8)(1)在在10次射擊中，恰有次射擊中，恰有8次擊中目標的概率為次擊中目標的概率為30. 0)8 . 01 (8 . 0)8(8108810CXP(2)在在10次射擊中，至少有次射擊中，至少有8次擊中目標的概率為次擊中目標的概率為)10()9()8()8(XPXPXPXP68. 0)8 . 01 (8 . 0)

28、8 . 01 (8 . 0)8 . 01 (8 . 0101010101091099108108810CCC.練練2. 2. 設一射手平均每射擊設一射手平均每射擊1010次中靶次中靶4 4次，求在五次射擊中次，求在五次射擊中擊中一次，擊中一次，恰在第二次擊中，恰在第二次擊中，擊中兩次，擊中兩次，第二、第二、三兩次擊中，三兩次擊中，至少擊中一次的概率至少擊中一次的概率由題設，此射手射擊由題設，此射手射擊1 1次，中靶的概率為次，中靶的概率為0.40.4 n n5 5，k k1 1，應用公式得，應用公式得 事件事件“第二次擊中第二次擊中”表示第一、三、四、五次擊中或表示第一、三、四、五次擊中或擊不

29、中都可，它不同于擊不中都可，它不同于“擊中一次擊中一次”，也不同于，也不同于“第二次第二次擊中，其他各次都不中擊中，其他各次都不中”，不能用公式它的概率就是，不能用公式它的概率就是0.40.4n n5 5，k k2 2，.“第二、三兩次擊中第二、三兩次擊中”表示第一次、第四次及第五表示第一次、第四次及第五次可中可不中，所以概率為次可中可不中，所以概率為0.40.40.40.40.160.16設設“至少擊中一次至少擊中一次”為事件為事件B B，則，則B B包括包括“擊中一次擊中一次”，“擊中兩次擊中兩次”，“擊中三次擊中三次”，“擊中四次擊中四次”，“擊中擊中五次五次”，所以概率為，所以概率為P

30、(B)P(B)P(1)P(1)P(2)P(2)P(3)P(3)P(4)P(4)P(5)P(5) 0.25920.25920.34560.34560.23040.23040.07680.07680.010240.01024 0.922240.922241P(0)練練2 2： 設一射手平均每射擊設一射手平均每射擊1010次中靶次中靶4 4次，求在五次射擊次，求在五次射擊中中擊中一次，擊中一次，第二次擊中，第二次擊中，恰好擊中兩次，恰好擊中兩次，剛剛好在第二、三兩次擊中，好在第二、三兩次擊中，至少擊中一次的概率至少擊中一次的概率.3181831)32()31(2224C求恰好摸求恰好摸5次就停止的概

31、率。次就停止的概率。記五次之內(nèi)（含記五次之內(nèi)（含5次）摸到紅球的次數(shù)為次）摸到紅球的次數(shù)為X，求隨機變量求隨機變量X的分布列。的分布列。例例2.袋袋A中裝有若干個均勻的紅球和白球，從中裝有若干個均勻的紅球和白球，從A中摸出一個紅球的概中摸出一個紅球的概率是率是 ，從，從A中有放回的摸球，每次摸出中有放回的摸球，每次摸出1個，個，有有3次摸到紅球就次摸到紅球就停止。停止。解：解：恰好摸恰好摸5 5次就停止的概率為次就停止的概率為.隨機變量隨機變量X X的取值為的取值為0 0，1 1，2 2， 3 324332)311 ()0(505CXP24380)311 (31) 1(415CXP24380)311 ()31()2(3225CXP811731)32()31(31)32()31()31()3(2224223333CCCXP所以隨機變量所以隨機變量X X的分布列為的分布列為X012