排列組合知識(shí)點(diǎn)總結(jié)典型例題及復(fù)習(xí)資料解析

1、排列組合知識(shí)點(diǎn)總結(jié)+典型例題及答案解析1 .加法原理：做一件事有n類辦法，則完成這件事的方法數(shù)等于各類方法數(shù)相加。2 .乘法原理：做一件事分n步完成，則完成這件事的方法數(shù)等于各步方法數(shù)相乘。注：做一件事時(shí)，元素或位置允許重復(fù)使用，求方法數(shù)時(shí)常用基本原理求解。二.排列：從n個(gè)不同元素中，任取m (mW n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一 列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列，所 有排列的個(gè)數(shù)記為Anm.1 .公式：1. Am n n 1 nn!n m !用之用，福之L恤之。，k weN2 . ' .:1 1規(guī)定：0!(1) n! n (n 1)!,( n 1) n!(n 1)!n

2、!(n 1) 1 n! (n 1) n! n! (n 1)! n!; n n 1 1 n 1(n 1)! (n 1)! (n 1)! (n 1)! n!1(n 1)!三.組合：從n個(gè)不同元素中任取m (m<n)個(gè)元素并組成一組，叫做從n個(gè)不同的m元素中任取m個(gè)元素的組合數(shù)，記作Cn 。1 .公式：Cm " nn n電之旭僧規(guī)定：C0n m 1 Amm!2.組合數(shù)性質(zhì):m n m m m 1 m 01C n C n ， C n Cn Cn 11 C n C nCnn 2n注.r r rrrtt. Cr Cr 1 Cr 2 L Cn 1 Cnr 1 rrrr r 1 rrr r 1

3、Cr 1 Cr 1Cr 2 L Cn 1 Cn Cr 2Cr 2 L Cn 1 Cn Cn 1若 Cnm1Cnm2 則 m1二m2 或 m1+m2四.處理排列組合應(yīng)用題1.明確要完成的是一件什么事(審題)有序還是無序分步還是分類。2 .解排列、組合題的基本策略(1)兩種思路：直接法；間接法：對(duì)有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉。這是解決排列組合應(yīng)用題時(shí)一種常用的解題方法。(2)分類處理：當(dāng)問題總體不好解決時(shí)，常分成若干類，再由分類計(jì)數(shù)原理得出結(jié)論。注意: 分類不重復(fù)不遺漏。即：每兩類的交集為空集，所有各類的并集為全集。(3)分步處理：與分類處理類似，某些問題總體不好解

4、決時(shí)，常常分成若干步，再由分步計(jì) 數(shù)原理解決。在處理排列組合問題時(shí)，常常既要分類，又要分步。其原則是先分類， 后分步。(4)兩種途徑：元素分析法；位置分析法。3 .排列應(yīng)用題：(1)窮舉法(列舉法)：將所有滿足題設(shè)條件的排列與組合逐一列舉出來；(2)、特殊元素優(yōu)先考慮、特殊位置優(yōu)先考慮；(3) .相鄰問題：捆邦法：對(duì)于某些元素要求相鄰的排列問題，先將相鄰接的元素“捆綁”起來，看作一 “大”元素與 其余元素排列，然后再對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行排列。(4)、全不相鄰問題，插空法：某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時(shí)可采用插空 法.即先安排好沒有限制條件的元素，然后再將不相鄰接元素在已排好的元素之間

5、及兩 端的空隙之間插入。(5)、順序一定，除法處理。先排后除或先定后插解法一：對(duì)于某幾個(gè)元素按一定的順序排列問題，可先把這幾個(gè)元素與其他元素一同進(jìn)行全排列， 然后用總的排列數(shù)除于這幾個(gè)元素的全排列數(shù)。即先全排，再除以定序元素的全排列。解法二：在總位置中選出定序元素的位置不參加排列，先對(duì)其他元素進(jìn)行排列，剩余的幾個(gè)位置放定序的元素，若定序元素要求從左到右或從右到左排列，則只有 1 種排法； 若不要求，則有 2 種排法；（ 6）“小團(tuán)體”排列問題采用先整體后局部策略對(duì)于某些排列問題中的某些元素要求組成“小團(tuán)體”時(shí)，可先將“小團(tuán)體”看作一個(gè)元素與其余元素排列，最后再進(jìn)行“小團(tuán)體”內(nèi)部的排列。（ 7）

6、分排問題用“直排法”把元素排成幾排的問題，可歸納為一排考慮，再分段處理。（ 8）數(shù)字問題（組成無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)） 能被2整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是偶數(shù)；不能被 2整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是奇數(shù)。能被 3 整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是3 的倍數(shù)；能被 9 整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是9 的倍數(shù)能被4 整除的數(shù)的特征：末兩位是4的倍數(shù)。能被 5 整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是0 或5。能被 25整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)是25，50， 75。能被 6整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是3 的倍數(shù)的偶數(shù)。4組合應(yīng)用題：（1） . “至少”“至多”問題用間接排除法或分類法 :（ 2）“含”與“不含” 用間接排除法或

7、分類法:3分組問題：均勻分組：分步取，得組合數(shù)相乘，再除以組數(shù)的階乘。即除法處理。非均勻分組：分步取，得組合數(shù)相乘。即組合處理。混合分組：分步取，得組合數(shù)相乘，再除以均勻分組的組數(shù)的階乘。4 .分配問題:定額分配：（指定到具體位置）即固定位置固定人數(shù)，分步取，得組合數(shù)相乘。隨機(jī)分配：（不指定到具體位置）即不固定位置但固定人數(shù)，先分組再排列，先組合分堆后排，注意平均分堆除以均勻分組組數(shù)的階乘。5 .隔板法：不可分辨的球即相同元素分組問題例1.電視臺(tái)連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中含4個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益廣告， 要求首尾必須播放公益廣告，則共有 種不同的播放方式（結(jié)果用數(shù)值表示）.解：分二步：首

8、尾必須播放公益廣告的有 A2種；中間4個(gè)為不同的商業(yè)廣告有 A4種，從而 應(yīng)當(dāng)填A(yù)； A4 = 48.從而應(yīng)填48.例3.6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少種排法？解一：間接法：即 A6 A5 A5 A： 720 2 120 24 504解二：（1）分類求解：按甲排與不排在最右端分類.（1）甲排在最右端時(shí)，有a5種排法；（2）甲不排在最右端（甲不排在最左端）時(shí)，則甲有 A4種排法，乙有 A4種排法，其他人有 A4種排法，共有 A4 A4 A：種排法，分類相加得共有A5+A4 A4 A4 =504種排法例.有4個(gè)男生，3個(gè)女生，高矮互不相等，現(xiàn)將他們排成一行，要求從左到右，女

9、生從矮到高排列，有多少種排法？分析一：先在7個(gè)位置上任取4個(gè)位置排男生，有A7種排法.剩余的3個(gè)位置排女生，因要求“從矮到高”，只有1種排法，故共有A4 1=840種.1.從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任取3臺(tái)，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同的取法共有解析1:逆向思考，至少各一臺(tái)的反面就是分別只取一種型號(hào)，不取另一種型號(hào)的電視機(jī)，故不同的取法共有c93 c43 C53 70種，選.c解析2:至少要甲型和乙 型電視機(jī)各一臺(tái)可分兩種情況：甲型 1臺(tái)乙型2臺(tái)；甲型2臺(tái)乙型1臺(tái)；故不同的取法有C；c： C5C2 70臺(tái),選C.2.從5名男生和4名女生中選出4人去參加辯論比賽.(1)如果4人中男

10、生和女生各選2人，有 種選法；(2)如果男生中的甲與女生中的乙必須在內(nèi)，有 種選法；(3)如果男生中的甲與女生中的乙至少要有 1人在內(nèi)，有一種選法；(4)如果4人中必須既有男生又有女生，有 種選法.分析：本題考查利用種數(shù)公式解答與組合相關(guān)的問題.由于選出的人沒有地位的差異，所以是 組合問題.解：(1)先從男生中選2人，有C；種選法，再從女生中選2人，有C42種選法，所以共有C2C：=60 (種)；(2)除去甲、乙之外，其余2人可以從剩下的7人中任意選擇，所以共有C2C72=21(種)；(3)在9人選4人的選法中，把甲和乙都不在內(nèi)的去掉，得到符合條件的選法數(shù)：C94 C74=91 (種)；直接法

11、，則可分為3類：只含甲；只含乙；同時(shí)含甲和乙，得到符合條件的方法數(shù)c；c3 c1c7 c2c7 c3 C7 C2 =91 (種).(4)在9人選4人的選法中，把只有男生和只有女生的情況排除掉，得到選法總數(shù)C4 C4 C4=120 （種）直接法：分別按照含男生1、2、3人分類，得到符合條件的選法為C5c3 c；c2 C3c4=120 （種）.1 . 6個(gè)人分乘兩輛不同的汽車，每輛車最多坐 4人，則不同的乘車方法數(shù)為（）A 40B. 50 C. 60D. 70C6解析先分組再排列，一組2人一組4人有C6= 15種不同的分法；兩組各3人共有又=10 A種不同的分法，所以乘車方法數(shù)為 25X 2 =

12、50,故選B.2 .有6個(gè)座位連成一排，現(xiàn)有3人就坐，則恰有兩個(gè)空座位相鄰的不同坐法有 （）A. 36 種B. 48 種 C . 72 種D. 96 種解析恰有兩個(gè)空座位相鄰，相當(dāng)于兩個(gè)空位與第三個(gè)空位不相鄰，先排三個(gè)人，然后插 空，從而共66=72種排法，故選C.3 .只用1,2,3三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)，規(guī)定這三個(gè)數(shù)必須同時(shí)使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有（）A 6 個(gè)B. 9 個(gè) C . 18 個(gè)D. 36 個(gè)解析注意題中條件的要求，一是三個(gè)數(shù)字必須全部使用，二是相同的數(shù)字不能相鄰，選 四個(gè)數(shù)字共有C3=3（種）選法,即1231,1232,1233,而每種選擇有A2X C2

13、= 6（種）排法,所以 共有3X6= 18（種）情況，即這樣的四位數(shù)有18個(gè).4 .男女學(xué)生共有8人，從男生中選取2人，從女生中選取1人，共有30種不同的選法，其中女生有（）A 2人或3人 B . 3人或4人 C.3人 D.4人解析設(shè)男生有n人，則女生有（8n）人，由題意可得CCLn = 30,解得n= 5或n = 6,代6 / 14入驗(yàn)證，可知女生為2 人或 3 人5某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10 級(jí)，上樓可以一步上一級(jí)，也可以一步上兩級(jí)，若規(guī)定從二樓到三樓用8 步走完，則方法有()A 45 種B 36 種 C 28 種D 25 種解析因?yàn)?0 + 8的余數(shù)為2,故可以肯定一步一個(gè)臺(tái)階的有

14、6步，一步兩個(gè)臺(tái)階的有2 步，那么共有C8=28種走法.6某公司招聘來8 名員工，平均分配給下屬的甲、乙兩個(gè)部門，其中兩名英語翻譯人員不能分在同一個(gè)部門，另外三名電腦編程人員也不能全分在同一個(gè)部門，則不同的分配方案共有()A 24 種B 36 種 C 38 種D 108 種 解析 本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，據(jù)題意可先將兩名翻譯人員分到兩個(gè)部門，共有2種方法，第二步將3名電腦編程人員分成兩組，一組1人另一組2人，共有C3種分法，然后再分到兩部門去共有C1A2種方法，第三步只需將其他 3人分成兩組，一組1人另一組2人即可，由于是每個(gè)部門各4人，故分組后兩人所去的部門就已確定，故第三步共有C3種方

15、法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有2C1A2C1=36(#).7.已知集合 A= 5, B= 1,2 , C1,3,4,從這三個(gè)集合中各取一個(gè)元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，則確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A 33B 34 C 35D 36解析所得空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)中不含1的有C2 A3=12個(gè)；所得空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)中含有1個(gè)1的有C2 A3 + A3=18個(gè)；所得空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)中含有2個(gè)1的有C1 = 3個(gè).故共有符合條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為12+18+3 = 33個(gè)，故選A.8 由 1、 2、 3、 4、 5、 6 組成沒有重復(fù)數(shù)字且1、 3 都不與 5 相鄰的六位偶數(shù)的個(gè)數(shù)是（

16、）A 72B 96 C 108D 144解析分兩類：若1與3相鄰，有A CAa3 = 72（個(gè)），若1與3不相鄰有A3 = 36（個(gè)） 故共有72+36= 108個(gè).9 如果在一周內(nèi)（ 周一至周日） 安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學(xué)校，要求甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天，其余學(xué)校均只參觀一天，那么不同的安排方法有（）A 50 種B 60 種 C 120 種D 210 種 解析 先安排甲學(xué)校的參觀時(shí)間，一周內(nèi)兩天連排的方法一共有6 種： （1,2） 、 （2,3） 、 （3,4） 、（4,5）、（5,6）、（6,7）,甲任選一種為C6,然后在剩下的5天中任選2天有序地安排其余兩所 學(xué)校參

17、觀，安排方法有A5種，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理可知共有不同的安排方法 C6&=120種， 故選 C.10安排 7 位工作人員在5 月 1 日到 5 月 7 日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5 月 1 日和 2 日，不同的安排方法共有種 （用數(shù)字作答）解析先安排甲、乙兩人在后5天值班，有戌=20（種）排法，其余5人再進(jìn)行排列，有戌=120（種）排法，所以共有20X 120= 2400（種）安排方法.11 今有 2 個(gè)紅球、 3 個(gè)黃球、 4 個(gè)白球， 同色球不加以區(qū)分，將這 9 個(gè)球排成一列有種不同的排法（ 用數(shù)字作答）解析由題意可知，因同色球不加以區(qū)分，實(shí)際上是一個(gè)組合問題

18、，共有C4 <2 <3= 1260（種）排法12將6 位志愿者分成4 組，其中兩個(gè)組各2 人，另兩個(gè)組各1 人，分赴世博會(huì)的四個(gè)不同場(chǎng)館服務(wù)，不同的分配方案有 種（用數(shù)字作答）.c2c2解析先將6名志愿者分為4組，共有二a種分法，再將4組人員分到4個(gè)C2 . C2不同場(chǎng)館去，共有A4種分法，故所有分配方案有：一A一 A4=1 080種.13 .要在如圖所示的花圃中的5個(gè)區(qū)域中種入4種顏色不同的花，要求相鄰區(qū)域不同色, 有 種不同的種法（用數(shù)字作答）.解析5有4種種法，1有3種種法，4有2種種法.若1、3同色，2有2種種法，若1、3不同色，2有1種種法，.有4X 3X2X（1 X2+

19、1X1）=72種.14 .將標(biāo)號(hào)為1, 2, 3, 4, 5, 6的6張卡片放入3個(gè)不同的信封中.若每個(gè)信封放 2 張，其中標(biāo)號(hào)為1, 2的卡片放入同一信封，則不同的方法共有（A） 12 種（B） 18種（Q 36 種（酚 54 種_ -g【解析】標(biāo)號(hào)1,2的卡片放入同一封信有G種方法；其他四封信放入兩個(gè)信封，每個(gè)信封兩- -1! *ChJ. 點(diǎn)二 IS個(gè)有T 一種方法，共有.疝一種，故選B.15.某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在 10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案 共有A. 504 種 B. 960 種

20、 C. 1008 種 D. 1108 種解析：分兩類：甲乙排1、2號(hào)或6、7號(hào) 共有2 a；a1a：種方法甲乙排中間，丙排7號(hào)或不排7號(hào)，共有4A2（A： A3A3a；）種方法故共有1008種不同的排法排列組合二項(xiàng)式定理1,分類計(jì)數(shù)原理 完成一件事有幾類方法，各類辦法相互獨(dú)立每類辦法又有多種不同的辦法(每一種都可以獨(dú)立的完成這個(gè)事情)分步計(jì)數(shù)原理 完成一件事，需要分幾個(gè)步驟，每一步的完成有多種不同的方法2,排列_排列定義：從 n個(gè)不同元素中，任取 m (m< n)個(gè)元素(被取出的元素各不相同)，按照一定的順mAn序排成一列，叫做從 n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的一個(gè)排列。排列數(shù)定義；從

21、n個(gè)不同元素中，任取 m (me n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)八一 m n!規(guī)定0! =1公式 An =An(n m)!3,組合組合定義 從n個(gè)不同元素中，任取 m (存n)個(gè)元素并成一組，叫做從 n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的一個(gè)組合組合數(shù) 從n個(gè)不同元素中，任取 m (men)個(gè)元素的所有組合個(gè)數(shù)cmm _ n !Cn m!(n m)!m n m 性質(zhì)cn=cnmm m 1Cn1 Cn Cn排列組合題型總結(jié)直接法1 . 特殊元素法例 1 用 1， 2， 3， 4， 5， 6 這 6 個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)的四位數(shù)，試求滿足下列條件的四位數(shù)各有多少個(gè)（ 1 ）數(shù)字 1 不排在個(gè)位和千位（ 2）數(shù)字1

22、 不在個(gè)位，數(shù)字6 不在千位。分析：（1）個(gè)位和千位有5個(gè)數(shù)字可供選擇As ,其余2位有四個(gè)可供選擇 解，由乘法原理：A2 A2 =2402 特殊位置法（2）當(dāng)1在千位時(shí)余下三位有A3 =60 , 1不在千位時(shí)，千位有A1種選法，個(gè)位有A：種，余下的有A2 ,共有 A41 A14 A42 =192 所以總共有192+60=252二 間接法當(dāng)直接法求解類別比較大時(shí)，應(yīng)采用間接法。如上例中（2）可用間接法A64 2A53 A42 =252例：有五張卡片，它的正反面分別寫0 與 1 ， 2 與 3， 4 與 5， 6 與 7， 8 與 9，將它們?nèi)我馊龔埐⑴欧旁谝黄鸾M成三位數(shù)，共可組成多少個(gè)不同的三

23、位數(shù)？分析：任取三張卡片可以組成不同的三位數(shù) C3 23 A；個(gè)，其中0在百位的有C： 22 A2個(gè)，這是不合題意的。故共可組成不同的三位數(shù)C53 23 A33- C42 22 A22 =432例： 三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排（ 1 ） 女生必須全排在一起有多少種排法（捆綁法）（2） 女生必須全分開（插空法須排的元素必須相鄰）（3） 兩端不能排女生（4） 兩端不能全排女生（5） 如果三個(gè)女生占前排，五個(gè)男生站后排，有多少種不同的排法2 插空法當(dāng)需排元素中有不能相鄰的元素時(shí)，宜用插空法。例 3 在一個(gè)含有8 個(gè)節(jié)目的節(jié)目單中，臨時(shí)插入兩個(gè)歌唱節(jié)目，且保持原節(jié)目順序，有多少中插入方法？分析： 原有

24、的 8 個(gè)節(jié)目中含有9 個(gè)空檔， 插入一個(gè)節(jié)目后，空檔變?yōu)?0 個(gè)， 故有A19 A110 =100 中插入方法。3 捆綁法當(dāng)需排元素中有必須相鄰的元素時(shí)，宜用捆綁法。1.四個(gè)不同的小球全部放入三個(gè)不同的盒子中，若使每個(gè)盒子不空，則不同的放法有 種(C：A；),2,某市植物園要在30天內(nèi)接待20所學(xué)校的學(xué)生參觀，但每天只能安排一所學(xué)校，其中有一所學(xué)校人數(shù)較多，要安排連續(xù)參觀2天,其余只參觀一天，則植物園30天內(nèi)不同的安排方法有(C；9 A29)(注意連續(xù)參 觀2天，即需把30大種的連續(xù)兩天捆綁看成一天作為一個(gè)整體來選有 C；9其余的就是19所學(xué)校選28天進(jìn) 行排列)四. 閣板法名額分配或相同物

25、品的分配問題，適宜采閣板用法例5 某校準(zhǔn)備組建一個(gè)由12人組成籃球隊(duì)，這12個(gè)人由8個(gè)班的學(xué)生組成，每班至少一人，名額分配 方案共 種。分析：此例的實(shí)質(zhì)是12個(gè)名額分配給8個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，可在 12個(gè)名額種的11個(gè)空當(dāng)中插 入7塊閘板，一種插法對(duì)應(yīng)一種名額的分配方式，故有 C；種五平均分推問題 例：6本不同的書按一下方式處理，各有幾種分發(fā)?(1) 平均分成三堆，(2) 平均分給甲乙丙三人(3) 一堆一本，一堆兩本，一對(duì)三本(4) 甲得一本，乙得兩本，內(nèi)得三本(一種分組對(duì)應(yīng)一種方案)(5) 一人的一本，一人的兩本，一人的三本分析：1,分出三堆書(a1,a2),(a3,a4), (a5,a6)由順序不同可以有A33 =6種，而這6種分法只算一種分堆方式，故6本不同的書平均分成三堆方式有C2C42C22=15種2,六本不同的書，平均分成三堆有