保險(xiǎn)精算學(xué)生命表基本函數(shù)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1保險(xiǎn)精算學(xué)生命表基本函數(shù)保險(xiǎn)精算學(xué)生命表基本函數(shù)第1頁(yè)/共20頁(yè)第2頁(yè)/共20頁(yè)第3頁(yè)/共20頁(yè) 001211001210101. :012.:0,1,1100000,1000000,1203.:(1)(2):xxxxxxxxxx ttnxxxlxxllllldxxlldldddddlddxxn 年齡，在生命表中的范圍，歲。 取整數(shù)值。存活到確切整數(shù)年齡 歲的人數(shù)。歲的存活人在 歲這一整年內(nèi)的死亡人數(shù)。表示在 歲到歲之間死亡xxxnndll的人數(shù)，用公式表示即為：第4頁(yè)/共20頁(yè) 11111114.:(1),0,1,121:1.5.:1,1xxxxnxxx nnxxnxxxxxxxxx

2、xqxdqxldllqllqxxxnlldqllnqqpxxlplpq死亡率，表示 歲的人在一年內(nèi)死亡的概率。表示 歲的存活人在 歲到歲之間死亡的概率，用公式表示即為：當(dāng)時(shí)，生存率，表示 歲的人在一年內(nèi)存活的概率，即到歲時(shí)仍然存活的概率。1:,nxnxx nxnnxxpqpxnlpl表示 歲的存活人再活 年的概率，用公式表示即為：第5頁(yè)/共20頁(yè)1006.:10.:7.:xnx nx nx nx nx nxnxx nnxxxx nxxmxnmx nx nx m mxnxm nxnxmx nn mxxxqxnnlldldqp qllllnqqqxxnxnmdllqpppqllex 表示 歲的存活

3、人，活過(guò) 年，并在第年死亡的概率。當(dāng)時(shí)，表示 歲的人在歲之間死亡的概率，完全平均余壽或生命期望值，即表示 歲的存活人在00e以后可望生存的平均年數(shù)。表示確定基數(shù)的一個(gè)群體的平均壽命。第6頁(yè)/共20頁(yè)1012101001210001111221111:22xxxxx ttxxttellltdllellltdll 定理1.1 假設(shè)死亡人數(shù)在每個(gè)年齡區(qū)間上均勻分布,則平均余壽為:平均壽命為第7頁(yè)/共20頁(yè)111010011121000:12211111.221xxxxxxxxxx ttxxxx ttxxxx tx txxtxxxxx ttxxLxllLldTxTLTeLllldlllllTeLll

4、證明 記 表示 歲的人在一年內(nèi)存活的總?cè)四陻?shù). 記 表示 歲的在未來(lái)存活的總?cè)四陻?shù). 另,11110011122xxxx tx tx tttxxlltdll 第8頁(yè)/共20頁(yè)第9頁(yè)/共20頁(yè)第10頁(yè)/共20頁(yè) 生命表描述了人口在整數(shù)年齡上存活和死亡的規(guī)律，但實(shí)際上年齡是人出生后存活時(shí)間的度量，它是一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量。00( )(),0.( )1( )(),0., ( ).()()( )xxXF xP Xx xxqs xF xP Xx xxp s xxxtP xXxtF xtF x 假設(shè)新生兒未來(lái)存活時(shí)間或者新生兒的死亡年齡為 ，它是一個(gè)連續(xù)的隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為： 注釋：表示新生兒在 歲前死亡

5、的概率，對(duì)應(yīng)生命表中設(shè)注釋：表示新生兒活過(guò) 歲的概率，對(duì)應(yīng)生命表中稱為生存函數(shù)新生兒在歲間死亡的概率為：生命表函數(shù)中，0( ).xll s x第11頁(yè)/共20頁(yè) ( )( ( )0.1( )( ( )0.txtxxxxT xxT xxT xTG tP T xttqxtT xG tP T xttpx對(duì)一個(gè) 歲的人，稱 歲生命，用（ ）表示。用表示他的剩余壽命，則表示此人死亡時(shí)的年齡。顯然，對(duì)一確定 歲的某人其剩余壽命是一個(gè)連續(xù)的隨機(jī)變量，下面我們簡(jiǎn)記為 。分布函數(shù)：表示某 歲的人在 年內(nèi)死亡的概率。的存活函數(shù)為：當(dāng) 00,txxtTXqF xtF xs xs xtqP xXtx XxF xs x

6、 時(shí)，正是新生兒未來(lái)余壽的隨機(jī)變量。這時(shí)，實(shí)際上是一個(gè)條件概率：第12頁(yè)/共20頁(yè) ( )()( )( ),1,0,1,.1 .xt uxt ut uxtxtxu txtxux txxtxtuqqP tT xutG utG tqqpppqT xK xK xkkT xkkxP K xkP kTkS xx 在的死亡率在壽險(xiǎn)精算中，年齡變量通常取整數(shù)，實(shí)際上它是上述的整數(shù)部分，我們用表示之 即稱之為的整值余壽,其概率分布函數(shù)為:設(shè)為在死亡年所活過(guò)的分?jǐn)?shù)年齡,它是 0.( )( )( )T xK xS x,1 上的連續(xù)分布第13頁(yè)/共20頁(yè)問(wèn)題的提出：生命表中描述死亡水平的指標(biāo)是死亡率 ，這里的x是整

7、數(shù)，如果x不光是整數(shù)，而是連續(xù)變動(dòng)的，怎么描述在某確切年齡點(diǎn)上的瞬時(shí)死亡水平呢？解決的方案：死亡力度的提出。xq第14頁(yè)/共20頁(yè) 000lim.,.lim.lim,lnlnxhhxhx nx nynxxxxns xs xhhs xs xs xhxxhs xs xs xhxxhhs xs xhs xxhs xs xhsxhs xs xxxnxnsydydys ypxs ype 死亡力是描述瞬間死亡水平的指標(biāo),定義:表示在間的死亡概率表示在間死亡概率密度而正是生存函數(shù)s的導(dǎo)數(shù)兩邊從 到積分 得00,x nntyx sx sxdydsdsnxepe第15頁(yè)/共20頁(yè) 00,1,1.txtxx tt

8、xx tnnxtxx tmxtxx tnn mT xg xg xGxs xts xtdddg xqdtdts xdts xsxts xtsxtps xs xs xtpdtqpdtqpdt 設(shè)的概率密度函數(shù)為則所以第16頁(yè)/共20頁(yè) 002220022200022200022xtxx ttxx ttxtxtxtxtxtxtxeE T xt pdtdE T xtpdttqdtdtdtpdtp tp dtdtt p dtVar T xE T xE T xt p dtp dt 而且第17頁(yè)/共20頁(yè) 001221000,1,( ).,()()()1,()21,.2xxkxx kxkkkxxttxxttxkxkkkxxxxK xeeE K xk p qk qpqpqk qpT xK xS xE T xE K xE S xE S xee歲的整值平均是指余壽 歲未來(lái)平均存活的整數(shù)年數(shù) 不包括不滿年的余數(shù)壽命 是整值余壽隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,用 表示而故由于故在假均勻分布下所以第18頁(yè)/共20頁(yè) 200363636,50%,.1( )( )2:0.5,( ).3.220250.001,.1003.30