函數(shù)與初等函數(shù)PPT學習教案

1、會計學1函數(shù)與初等函數(shù)函數(shù)與初等函數(shù). 0, 且且是兩個實數(shù)是兩個實數(shù)與與設(shè)設(shè)a).,( aU記作記作,叫做這鄰域的中心叫做這鄰域的中心點點a.叫做這鄰域的半徑叫做這鄰域的半徑 . ),( axaxaUxa a a ,鄰域鄰域的去心的的去心的點點 a. ),( axxaU0,鄰域鄰域的的稱為點稱為點數(shù)集數(shù)集 aaxx )(aU簡記為簡記為。第1頁/共51頁因變量因變量自變量.)(,000處的函數(shù)值處的函數(shù)值為函數(shù)在點為函數(shù)在點稱稱時時當當xxfDx 函數(shù)值全體組成的數(shù)集函數(shù)值全體組成的數(shù)集數(shù)集數(shù)集 D 叫做這個函數(shù)的叫做這個函數(shù)的定義域定義域)(xfy 變量變量 y 按照一定法則總有按照一定法

2、則總有 如果對于每個數(shù)如果對于每個數(shù)Dx , 二、函數(shù)二、函數(shù)確定的數(shù)值和它對應(yīng)，則稱確定的數(shù)值和它對應(yīng)，則稱 y 是是 x 的的函數(shù)函數(shù)，記作，記作 定義：設(shè)定義：設(shè) x 和和 y 是兩個變量是兩個變量，D 是一個給定的數(shù)集，是一個給定的數(shù)集，.),(稱為函數(shù)的值域稱為函數(shù)的值域DxxfyyW 第2頁/共51頁()0 x)(0 xf自變量自變量因變量因變量對應(yīng)法則對應(yīng)法則f函數(shù)的兩要素函數(shù)的兩要素: : 定義域定義域與與對應(yīng)法則對應(yīng)法則.xyDW約定約定: 定義域是自變量所能取的使算式有意定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值義的一切實數(shù)值.21xy 例如，例如， 1 , 1 : D

3、211xy 例如，例如，)1 , 1(: D第3頁/共51頁定義定義: :),(),(DxxfyyxC 平面點集平面點集oxy),(yxxyWD 如果自變量在定如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，對應(yīng)的函數(shù)值總時，對應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個，這種函是只有一個，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)則叫做多值函數(shù)例如，例如，222ayx .)(的圖形的圖形稱為函數(shù)稱為函數(shù)xfy 第4頁/共51頁 (1) 符號函數(shù)符號函數(shù) 010001sgnxxxxy當當當當當當1. 幾個特殊的函數(shù)舉例幾個特殊的函數(shù)舉例xxx sgny1-1xo.第5頁/共51頁(2) 取整函數(shù)

4、取整函數(shù) y = x 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線階梯曲線x 表示不超過表示不超過 x 的最大整數(shù)的最大整數(shù)第6頁/共51頁 是無理數(shù)時是無理數(shù)時當當是有理數(shù)時是有理數(shù)時當當xxxDy01)(有理數(shù)點有理數(shù)點無理數(shù)點無理數(shù)點1xyo(3) 狄利克雷函狄利克雷函數(shù)數(shù)第7頁/共51頁(4) 取最值函數(shù)取最值函數(shù))(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg.第8頁/共51頁 0, 10, 12)(,2xxxxxf例如例如12 xy12 xy在自變量的不同變化范圍中在自變量的不同變化范

5、圍中, 對應(yīng)法則用不同的對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù)式子來表示的函數(shù),稱為稱為分段函數(shù)分段函數(shù).第9頁/共51頁例例1 1.)3(,212101)(的定義域的定義域求函數(shù)求函數(shù)設(shè)設(shè) xfxxxf解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1, 3 : fD故故第10頁/共51頁M-Myxoy=f(x)X有界有界無界無界M-MyxoX0 x,)(, 0,成立成立有有若若MxfXxMDX （1）函數(shù)的有界性）函數(shù)的有界性:.)(否則稱無界否則稱無界上有界上有界在在則稱函數(shù)則稱函數(shù)Xxf2 2、函數(shù)的特性、函數(shù)的特性第11頁/共51頁（2）函數(shù)的單調(diào)性）函數(shù)的

6、單調(diào)性:,)(DIDxf 區(qū)間區(qū)間的定義域為的定義域為設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),2121時時當當及及上任意兩點上任意兩點如果對于區(qū)間如果對于區(qū)間xxxxI ;)(上是單調(diào)增加的上是單調(diào)增加的在區(qū)間在區(qū)間則稱函數(shù)則稱函數(shù)Ixf),()()1(21xfxf 恒有恒有o)(xfy )(1xf)(2xfxyI第12頁/共51頁)(xfy )(1xf)(2xfxyoI;)(上是單調(diào)減少的上是單調(diào)減少的在區(qū)間在區(qū)間則稱函數(shù)則稱函數(shù)Ixf,)(DIDxf 區(qū)間區(qū)間的定義域為的定義域為設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),2121時時當當及及上任意兩點上任意兩點如果對于區(qū)間如果對于區(qū)間xxxxI ),()()2(21xfxf 恒有恒有第13頁/

7、共51頁（3）函數(shù)的奇偶性）函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)偶函數(shù)有有對于對于關(guān)于原點對稱關(guān)于原點對稱設(shè)設(shè),DxD )()(xfxf xyx)( xf )(xfy o-x)(xf;)(為偶函數(shù)為偶函數(shù)稱稱xf第14頁/共51頁有有對于對于關(guān)于原點對稱關(guān)于原點對稱設(shè)設(shè),DxD )()(xfxf ;)(為奇函數(shù)為奇函數(shù)稱稱xf奇函數(shù)奇函數(shù))( xf yx)(xfox-x)(xfy 第15頁/共51頁（4）函數(shù)的周期性）函數(shù)的周期性:（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期周期）.2l 2l23l 23l,)(Dxf的定義域為的定義域為設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)如果存在一個不為零的如果存在一個

8、不為零的)()(xflxf 且且為周為周則稱則稱)(xf.)( ,DlxDxl 使得對于任一使得對于任一數(shù)數(shù).)(,的周期的周期稱為稱為期函數(shù)期函數(shù)xfl.恒成立恒成立第16頁/共51頁例例2 2解解,01)( QxQxxD設(shè)設(shè).)().21(),57(的性質(zhì)的性質(zhì)并討論并討論求求xDDDD , 1)57( D, 0)21( D, 1)( xDDoxy1單值函數(shù)單值函數(shù), 有界函數(shù)有界函數(shù),偶函數(shù)偶函數(shù),周期函數(shù)周期函數(shù)(無最小正周期無最小正周期)不是單調(diào)函數(shù)不是單調(diào)函數(shù),第17頁/共51頁0 x0y0 x0yxyDW)(xfy 函數(shù)函數(shù)oxyDW)(yx 反函數(shù)反函數(shù)o3 3、反函數(shù)、反函數(shù)

9、對于任意的對于任意的 y W,在在 D 上至少可以確定一個上至少可以確定一個 x 滿足滿足yxf )(若將若將 y 看作自變量看作自變量, x 看作因變量看作因變量, 得到一個新的函數(shù)得到一個新的函數(shù)稱為原函數(shù)稱為原函數(shù) y = f (x) 的反函數(shù)的反函數(shù), 記為記為 x = (y)第18頁/共51頁)(xfy 直接函數(shù)直接函數(shù)xyo),(abQ),(baP)(xy 反函數(shù)反函數(shù) （2） 直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線 y = x 對對稱稱.)()1(yx )(xy （3） 單值函數(shù)的反函數(shù)不一定是單值的單值函數(shù)的反函數(shù)不一定是單值的.第19頁/共51頁一、復合

10、函數(shù)一、復合函數(shù)二、初等函數(shù)二、初等函數(shù)第20頁/共51頁若若fDZ , 則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xfy 為為x的的復合函數(shù)復合函數(shù). 一、復合函數(shù)一、復合函數(shù),uy 設(shè)設(shè),12xu 21xy 定義定義:設(shè)設(shè))(ufy 的定義域的定義域為為fD, 而函數(shù)而函數(shù))(xu 的值域為的值域為 Z, uyufy )(xxu )( )(xfy 因變量因變量中間變量中間變量自變量自變量第21頁/共51頁注意注意: :1.不是任何兩個函數(shù)都可以復合成一個不是任何兩個函數(shù)都可以復合成一個復合函數(shù)的復合函數(shù)的;,arcsinuy 例如例如;22xu )2arcsin(2xy 2.復合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過多復

11、合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過多次（或多層）復合構(gòu)成次（或多層）復合構(gòu)成.,2cotxy 例如例如,uy ,cotvu .2xv 第22頁/共51頁(1) 冪函數(shù)冪函數(shù))( 是常數(shù)是常數(shù) xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 二、二、 初等函數(shù)初等函數(shù)（一）基本初等函數(shù)（一）基本初等函數(shù)第23頁/共51頁(2)、指數(shù)函、指數(shù)函數(shù)數(shù))1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey 第24頁/共51頁(3)、對數(shù)函、對數(shù)函數(shù)數(shù))1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( 第25頁/共51頁(4)、三角

12、函數(shù)、三角函數(shù)正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xysin 第26頁/共51頁xycos xycos 余弦函數(shù)余弦函數(shù)第27頁/共51頁正切函正切函數(shù)數(shù)xytan xytan 第28頁/共51頁xycot 余切函余切函數(shù)數(shù)xycot 第29頁/共51頁正割函正割函數(shù)數(shù)xysec xysec 第30頁/共51頁xycsc 余割函數(shù)余割函數(shù)xycsc 第31頁/共51頁(5)、反三角函、反三角函數(shù)數(shù)xyarcsin xyarcsin 反正弦函數(shù)反正弦函數(shù)第32頁/共51頁xyarccos xyarccos 反余弦函數(shù)反余弦函數(shù)第33頁/共51頁xyarctan xyarctan 反正切函數(shù)反正切函數(shù)第3

13、4頁/共51頁 冪函數(shù)冪函數(shù),指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)基本初等函數(shù).xycot arcxarcycot 反余切函數(shù)反余切函數(shù)第35頁/共51頁（二）初等函數(shù)（二）初等函數(shù) 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次的函數(shù)復合步驟所構(gòu)成并可用和有限次的函數(shù)復合步驟所構(gòu)成并可用一個式一個式子表示子表示的函數(shù)的函數(shù),稱為稱為初等函數(shù)初等函數(shù).第36頁/共51頁2sinhxxeex 雙曲正弦雙曲正弦xycosh xysinh ),(:D奇函數(shù)奇函數(shù).2coshxxeex 雙曲余弦雙曲余

14、弦),(:D偶函數(shù)偶函數(shù).雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)xey21 xey 21第37頁/共51頁xxxxeeeexxx coshsinhtanh雙曲正切雙曲正切奇函數(shù)奇函數(shù),),(:D有界函數(shù)有界函數(shù),第38頁/共51頁雙曲函數(shù)常用公式雙曲函數(shù)常用公式;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx ;sinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyx ;1sinhcosh22 xx;coshsinh22sinhxxx .sinhcosh2cosh22xxx 第39頁/共51頁反雙曲函數(shù)反雙曲函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù),),(:D.),(內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加在在;sinh xy 反雙曲正弦反雙曲正弦

15、ar).1ln(sinh2 xxxyarsinhar xy第40頁/共51頁.), 1內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加在在), 1 :D y反雙曲余弦反雙曲余弦coshararxcosharx y第41頁/共51頁.11ln21xx )1 , 1(: D奇函數(shù)奇函數(shù),.)1 , 1(內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加在在 y反雙曲正切反雙曲正切tanharxytanh arxtanharx y第42頁/共51頁思考題思考題1設(shè)設(shè)0 x，函數(shù)值函數(shù)值21)1(xxxf ，求函數(shù)求函數(shù))0()( xxfy的解析表達式的解析表達式. 第43頁/共51頁解答解答設(shè)設(shè)ux 1則則 2111uuuf ,112uu 故故)0(.11

16、)(2 xxxxf思考題思考題1設(shè)設(shè)0 x，函數(shù)值函數(shù)值21)1(xxxf ，求函數(shù)求函數(shù))0()( xxfy的解析表達式的解析表達式. 第44頁/共51頁思考題思考題2 2).(,)(,)(xfxxxxxxxxexfx 求求設(shè)設(shè) 0102112第45頁/共51頁).(,)(,)(xfxxxxxxxxexfx 求求設(shè)設(shè) 0102112解解 1)(),(1)(,)()(xxxexfx,1)(10時時當當 x, 0 x或或, 12)( xx;20 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 1 x,1)(20時時當當 x, 0 x或或, 12)( xx;2 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 01

17、 x第46頁/共51頁綜上所述綜上所述.2, 120011, 2,)(2122 xxxxxexexfxx 第47頁/共51頁一、一、 填空題填空題: :1 1、 若若2251tttf , ,則則_)( tf, , _)1(2 tf. .2 2、 若若 3,sin3, 1)(xxxt, , 則則)6( =_=_，)3( =_.=_. 3 3、不等式、不等式15 x的區(qū)間表示法是的區(qū)間表示法是_._. 4 4、設(shè)、設(shè)2xy , ,要使要使 ), 0( Ux 時，時，)2 , 0(Uy , , 須須 _._.練練 習習 題題第48頁/共51頁二、證明二、證明xylg 在在), 0(上的單調(diào)性上的單調(diào)性. . 三、證明任一定義在區(qū)間三、證明任一定義在區(qū)間)0(),( aaa上的函數(shù)可表上的函數(shù)可表 示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和. . 四、設(shè)四、設(shè))(xf是以是以 2 2 為周期的函數(shù)，為周期的函數(shù)， 且且 10, 001,)(2xxxxf, ,試在試在),(上繪出上繪出 )(xf的圖形的圖形. . 五、證明：兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)五、證明：兩個偶函數(shù)的乘積