上極限和下極限PPT學(xué)習(xí)教案

1、上極限和下極限上極限和下極限注 點(diǎn)集的聚點(diǎn)與數(shù)列的聚點(diǎn)之間的區(qū)別在于: 定義1若數(shù)列nx滿足: 在數(shù)0 x的任何一個(gè)鄰域內(nèi)均含有 中的無限多項(xiàng), 則稱 x0 是數(shù)列nxnx常數(shù)列()naa 只有一個(gè)聚點(diǎn): a . 的一個(gè)聚點(diǎn). 限多個(gè)項(xiàng)”. 現(xiàn)舉例如下: 前者要求 “含有無限多個(gè)點(diǎn)”, 后者要求 “含有無 第1頁/共28頁定理7.4 有界數(shù)列至少存在一個(gè)聚點(diǎn), 并且有最大 但作為數(shù)列來說, 它卻有兩個(gè)聚點(diǎn):11. 和和有五個(gè)聚點(diǎn):1,2 2, 0,2 2, 1. sin4n數(shù)列0,.knxxk 從數(shù)列聚點(diǎn)的定義不難看出, x0 是數(shù)列 的聚 nx( 1) n 作為點(diǎn)集來說它僅有兩個(gè)點(diǎn), 故沒有

2、聚點(diǎn); 點(diǎn)的一個(gè)充要條件是: 存在 的一個(gè)子列,knxnx聚點(diǎn)和最小聚點(diǎn). 第2頁/共28頁又設(shè) |,nEx xx 是是的的聚聚點(diǎn)點(diǎn)由于 E 非空有界, 故由確界原理, 存在sup,inf.AEAE下面證明A是 xn 的最大聚點(diǎn), 亦即.EA證設(shè)nx為有界數(shù)列, 由致密性定理, 存在一個(gè) 的一個(gè)聚點(diǎn).0nxx是是收斂子列0,(),kknnxxxk 于是首先, 由上確界的性質(zhì), 存在,Ean 使.Aan第3頁/共28頁,11 存在,1nx使;1|11 axn,212 存在221(),nxnn 使221|;2nxa(,)iiaanx內(nèi)含有內(nèi)含有的無限多項(xiàng). 現(xiàn)依次令 ,1kk 存在1(),knkk

3、xnn 使;1|kaxknk 因?yàn)閕a是nx的聚點(diǎn), 所以對(duì)任意正數(shù) 在區(qū)間 , .第4頁/共28頁這樣就得到了 xn 的一個(gè)子列滿足:, knxlimlim()lim,kknnkkkkkxxaaA.EA 同理可證.EA定義 2有界數(shù)列nx的最大聚點(diǎn)A與最小聚點(diǎn) A分別稱為nx的上、下極限, 記為 lim,lim.nnnnAxAx即證得,nAx也是的一個(gè)聚點(diǎn) 所以也是的一個(gè)聚點(diǎn) 所以第5頁/共28頁注 由定理 7.4 得知, 有界數(shù)列必有上、下極限. 提供了一個(gè)新的平臺(tái). 的上、下極限總是存在的, 這為研究數(shù)列的性質(zhì) 極限來研究該數(shù)列往往是徒勞的; 但是有界數(shù)列 數(shù)列若有界, 它的極限可以不存

4、在, 此時(shí)想通過 這樣, 上、下極限的優(yōu)越性就顯現(xiàn)出來了: 一個(gè) 第6頁/共28頁例1 考察以下兩個(gè)數(shù)列的上、下極限:lim( 1)1,lim( 1)1.11nnnnnnnn 111limlim0 (lim);nnnnnn從中可大致看出數(shù)列的極限和數(shù)列的上、下極限之間存在著的內(nèi)在聯(lián)系. 詳細(xì)討論請(qǐng)見下文. 第7頁/共28頁由上、下極限的定義, 立即得出:定理7.5對(duì)任何有界數(shù)列, nx有 下面這個(gè)定理刻畫了極限與上、下極限之間的關(guān)系.定理7.6有界數(shù)列nx存在極限的充要條件是:limlim.nnnnxx (1)limlim.nnnnxx (2)第8頁/共28頁limlim.nnnnxx 證設(shè)l

5、im.nnxA 對(duì)于任意正數(shù)在, ( ; )U A 之外 只有有限項(xiàng). 這樣, 對(duì)任意的 若,BA nx0( ;)U A 在之外在之外 只有有限項(xiàng). 這就是說, Bnx不是 的聚點(diǎn), 故 僅有一個(gè)聚點(diǎn) A, 從而nxnx那么在內(nèi)( 此時(shí)必0|0,2BA 0( ;)U B 取反之, 若上式成立, 則 的聚點(diǎn)惟一 (設(shè)為 A) , nx第9頁/共28頁一的假設(shè)相矛盾.另一聚點(diǎn), 導(dǎo)致與聚點(diǎn)惟 性定理, 這無限多項(xiàng)必有 nx的無限多項(xiàng). 由致密 0( ;)U A 之外含有使得在00, 倘若不然,則存在 lim.nnxA 此時(shí)易證第10頁/共28頁定理7.7設(shè)nx為有界數(shù)列, 則有1limnnxA 的

6、充要條件是: 對(duì)于任意的, 0 (i) 存在 N, 當(dāng) n N 時(shí), ; Axn(ii),1, 2,.kknnxxAk 存在存在lim2nnxB 的充要條件是: 對(duì)于任意的0, (i) 存在 N, 當(dāng) n N 時(shí), ; Bxn(ii),1, 2,.kknnxxBk 存在存在證 在形式上是對(duì)稱的, 所以僅證明 .12和和1 第11頁/共28頁.limAxnn必要性設(shè)因?yàn)?A 是nx的一個(gè)聚點(diǎn),使得所以存在, knx(),knxAk 故對(duì)于任意的 存在 0, 0,K 當(dāng) k K 時(shí)，.knAx 將knx中的前面 K 項(xiàng)剔除, 這樣就證明了(ii).,)A 上, 至多只含nx的有限項(xiàng). 不然的 話,

7、 因?yàn)閚xnx有界, 故在 上,)A 還有聚點(diǎn), 這與 A 是最大聚點(diǎn)相矛盾. 設(shè)這有限項(xiàng) 又因 A 是nx的最大聚點(diǎn), 所以對(duì)上述 在區(qū)間,第12頁/共28頁的最大下標(biāo)為 N, 那么當(dāng) n N 時(shí),.nxA 充分性 任給,0 綜合 (i) 和 (ii), 在),( AA上含有 xn 的無限項(xiàng), 即 A 是 xn 的聚點(diǎn).而對(duì)于任意的0,2AAAA 令由于滿足令由于滿足02nAAxA 的項(xiàng)至多只有有限個(gè),的項(xiàng)至多只有有限個(gè),這說明在),(00 AA第13頁/共28頁lim.nnxA 定理7.8 (保不等式性)設(shè) xn , yn 均為有界數(shù) xn 的有限項(xiàng), 故 不是 xn 的上也至多只有A 從

8、而有聚點(diǎn),所以 A 是 的最大聚點(diǎn) .nx.nnxy 列,并且滿足: 存在當(dāng) n N0 時(shí), 有00,N 則取上(下)極限后, 原來的不等號(hào)方向保持不變:第14頁/共28頁證設(shè)lim, lim,nnnnxAyB 因?yàn)?B 是 yn 的聚點(diǎn), 所以存在 , knylim.kknnkyBx 又有界，又有界，特別若 則更有,nnaxyb故存在 的一個(gè)收斂子列 ,knxkjnxlim.kjnjxA limlim,limlim.nnnnnnnnxyxy(3).limlimbyxannnn(4)第15頁/共28頁.AAB 同理可證關(guān)于上極限的不等式; 而 (4) 式則可由,kkjjnnxy 又因 (1)

9、與 (3) 式直接推得. nx的最小聚點(diǎn) A 理應(yīng)滿足的聚點(diǎn), 它與BA nxj A 也是. 由于的極限,便得取第16頁/共28頁證 這里只證明 (i) , (ii) 可同理證明. 設(shè)lim,lim.nnnnAaBb由定理7.7, 存在 N, 當(dāng) n N 時(shí),2,2 BbAann(i) lim()limlim;nnnnnnnabab(5)(ii) lim()limlim.nnnnnnnabab(6)例1, nnba都是有界數(shù)列, 那么設(shè)第17頁/共28頁再由定理 7.8 的 (4) 式, 得lim().nnnabAB 因?yàn)?是任意的, 故 lim ()limlim.nnnnnnnabABab注

10、 這里嚴(yán)格不等的情形確實(shí)會(huì)發(fā)生, 例如1( 1),( 1) .nnnnab 故. BAbann第18頁/共28頁例2設(shè) , 且limlimnnnnxABx1lim ()nnnxx .0 求證 的全體聚點(diǎn)的集合為nx.,BA證設(shè) E 是 的全體聚點(diǎn)的集合, 顯然有nxlim1 , lim1 ,nnnnablim ()0.nnnab而而,BAE ,.AEBE內(nèi)僅含 的有限項(xiàng):nx,00 00(;)U x 在任給 , 欲證 如若不然, 則存在),(0BAx 0.xE 第19頁/共28頁1212,().NnnnNxxxnnn 之內(nèi). 又因 所以存在1lim ()0,nnnxx ,K 當(dāng)當(dāng)nK 時(shí),有時(shí)

11、,有010.(7)nnxx 這就是說, 當(dāng) 時(shí), 所有的 均不在Nnn nx0(; )U x ,maxNnKK令令當(dāng) n K 時(shí), 由 (7) 導(dǎo)致所有的 或者都有 或者都有00,nxx nx00.nxx 前者與 B 是 的聚點(diǎn)矛盾; 后者與 A 是 nxnx第20頁/共28頁.,BAE 的聚點(diǎn)矛盾. 故證得 , 即 從而Ex 0,A BE 定理7.9 設(shè) xn 為有界數(shù)列. 則有(i) A 是 xn 的上極限的充要條件是(ii) B 是 xn 的下極限的充要條件是證這里僅證 (i). 設(shè) , 顯然 是一supnkknax nalim sup;knknAx (8)lim inf .knknBx

12、 (9)第21頁/共28頁遞減數(shù)列, 并且有界, lim.nnaa 設(shè)設(shè)一方面, 因?yàn)?limlimlim.nnnnnnAxaaa,nnxa 所以所以另一方面, 0, 112sup,axx 由于根 據(jù)上確界定義,1111,.nnxa 使得使得又因,1,2,nnaaa n遞減 故遞減 故所以有11.nxaa同理, 由于 第22頁/共28頁這樣得到的子列 因仍為有界的,故其上極限knx因 是任意的, 所以又得 . 從而證得 aA .aA 照此做下去,可求得 使12,knnn11,1, 2,.(10)kknnxaak 111112sup,nnnaxx 211.,nnxaa 2111,nnn使得2 .

13、AAa 求上極限, 由不等式性質(zhì) (4), 得出,.AAA 且顯然有且顯然有亦存在, 設(shè)為 (10) 式關(guān)于 k第23頁/共28頁例3 用上、下極限證明: 若 為有界發(fā)散數(shù)列,nxlimlimlimlim.jjnnnnjnjnxxxx注 本例命題用現(xiàn)在這種證法,可以說是最簡(jiǎn)捷的. , ,jjnnxx 使得 limlim.nnnnxx nx為 于是存在 的兩個(gè)子列 nx證 由定理7.6 , 有界數(shù)列 發(fā)散的充要條件 nx則存在 的兩個(gè)子列, 收斂于不同的極限. 第24頁/共28頁例4 證明: 對(duì)任何有界數(shù)列 有, ,nnxylim ()limlim.nnnnnnnxyxy(11)lim ()limlim,nnnnnnnxyyx(12)limlim sup nknnknyy 證 根據(jù)定理7.9 的 (8) 與 (9), 可得limlim (),nnnnyy若能證明 便不難得出結(jié)果.分析 將 (11) 式改寫為lim inf lim ().knnknnyy第25頁/共