數(shù)學(xué)建模第六章2

1、幻方趣談一、幻方的概念 定義 若一個(gè) n階由1n2的正整數(shù)組成，且每行、每列與兩對(duì)角線上的n個(gè)元素之和都相等. 則稱此矩陣為n階幻方. 每行的n個(gè)元素之和稱為幻和，并記為Sn.例如，下面分別是3階幻方和4階幻方81635749211514412679810115133216幻和的計(jì)算公式S3=3(1+9)/2=15, S4=4(1+16)/2=34, S5=5(1+25)/2=65注：不存在2階幻方二、幻方的起源傳說(shuō),我國(guó)遠(yuǎn)在夏禹治水時(shí)(公元前23世紀(jì)), 陜西的洛河常常泛濫成災(zāi)，威脅著兩岸人們的生活與生產(chǎn). 于是，大禹日夜奔忙，三過(guò)家門而不入，帶領(lǐng)人們開溝挖渠，疏通河道，馴服了河水，感動(dòng)了上

2、天. 事后，一只神龜從河中躍出, 背上有一個(gè)九種花紋的圖,后人把這個(gè)圖稱為“洛書”. 它就是從1到9連續(xù)自然數(shù)排成3行的圖. 492357816此圖我國(guó)古代也稱為九宮圖. 最早見于記載的4階幻方,是在印度卡俱拉霍地方發(fā)現(xiàn)的一個(gè)11世紀(jì)的碑文上. 它是一個(gè)極不平凡的4階幻方,有著十分玄妙的性質(zhì). 71211421381116310596154它除了一般四階幻方的通有的性質(zhì)外，還有如下特性：（1）任一“折斷的對(duì)角線”上4個(gè)數(shù)之和也等于幻和34；（2）任一2階子陣的4個(gè)數(shù)之和也等于幻和34；（3）任一3階子陣的4角4個(gè)數(shù)之和也等于幻和34；（4）任一3階子陣的2對(duì)角數(shù)之和恰是幻和34的一半17.順便

3、提一下，1977年美國(guó)發(fā)射尋求星外文明的宇宙飛船旅行者1號(hào)、2號(hào)上除了攜帶向宇宙人問(wèn)候的“地球之聲”(古今音樂(lè)、近六十種語(yǔ)言的問(wèn)候話,三十五種自然界的各種聲響唱片)外,還帶了一些圖片,其中有這張4階幻方圖.1980年，上海博物館在整理明代古墓的出土文物時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一塊玉佩上有一個(gè)4階幻方，它也有上述玄妙的性質(zhì)：81114113271231696105415三、自然順序方陣及其性質(zhì)定義 把自然數(shù)1n2從小到大排成n階方陣:，通項(xiàng) ，把A稱為自然順序n階方陣. 把行（列）號(hào)之和等于 n+1的兩行（列）稱為對(duì)稱行（列），當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n=2k-1，稱為中心數(shù)，它位于A的中央. 位于對(duì)稱行（

4、列）同列（行）的兩個(gè)數(shù)與（）稱為行（列）對(duì)稱數(shù)，而關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)數(shù)與稱為對(duì)稱數(shù). 位于不同行，不同列的數(shù)稱為獨(dú)立數(shù). 矩陣A的性質(zhì)：性質(zhì)1. 任兩個(gè)對(duì)稱數(shù)之和都是. 證 .性質(zhì)2. 任意n個(gè)獨(dú)立數(shù)之和為幻和Sn.證. 設(shè)是A的n個(gè)獨(dú)立數(shù)，則是從1到n的一個(gè)排列，故.因此推論.主(次)對(duì)角線上n個(gè)數(shù)之和為Sn.任一折斷的對(duì)角線上n個(gè)數(shù)之和也為Sn.性質(zhì)3 任兩個(gè)對(duì)稱行（列）的2n個(gè)數(shù)之和都等于2 Sn.證：把兩個(gè)對(duì)稱行（列）的2n個(gè)數(shù)視為n對(duì)對(duì)稱數(shù)，由性質(zhì)1，其和為性質(zhì)4 當(dāng)n=2k-1時(shí)，第k(中間)行(列)的n個(gè)數(shù)之和為Sn.證.第k行的和第k列的和四、奇數(shù)階幻方 設(shè)n=2k-1，（k=

5、1,2,）.(一) 構(gòu)造方法1-連續(xù)擺數(shù)法按以下步驟填寫，即可得到一個(gè)n階幻方.(1) 先畫一個(gè)n×n方格表；(2) 把1填寫在第1行中間；(3) 當(dāng)m填好后，若m的右上方空，則把m+1填在此格，否則，把m+1填在m的下方. (把第1列視作第n列的右方，把第n行視作第1行的上方)17241815235714164613202210121921311182529例如 填寫一個(gè)3階幻方和5階幻方816357492可驗(yàn)證其幻和分別為15和65.(二)連續(xù)擺數(shù)法的原理設(shè)是按以上方法構(gòu)造的n階方陣，是自然順序方陣.1B與A的變換公式設(shè)m表示正在寫的數(shù)，當(dāng)時(shí)，m寫在pn的下面（例如n=5時(shí)，6在

6、5下面，11在10下面等）,否則，m在m-1的右上方.172418151234523571416678910B:46132022A:11121314151012192131617181920111825292122232425從而，是一條折斷對(duì)角線，且對(duì)應(yīng)于A的第p+1行。以上講的B的每一條折斷對(duì)角線，是固定的數(shù)（mod n），故設(shè),B的第1條折斷對(duì)角線，,對(duì)應(yīng)A的第1行；故設(shè)可見規(guī)律是： ，即B的第2條折斷對(duì)角線，,對(duì)應(yīng)A的第2行；故設(shè)可見規(guī)律是： ，即一般，B的第t條折斷對(duì)角線，把代入得變換式：， （1） 2B的列和從（1）式可見，若給定j, i每增加1，（1）式右邊的行號(hào)與列號(hào)也分別增加

7、1(mod n)，即B的每列數(shù)對(duì)應(yīng) A的一條折斷對(duì)角線. 故其和是Sn.172418151234523571416678910B:46132022A:111213141510121921316171819201118252921222324253B的行和， （1）若給定i后, j每增加1，（1）式右邊的行號(hào)增加1(mod n),列號(hào)增加2(mod n)，一旦大于n就減去n(奇數(shù)), 這就改變了奇偶性, 故列號(hào)也取遍了1n,即B的每行數(shù)對(duì)應(yīng) A的n個(gè)獨(dú)立數(shù). 故其和是Sn. 172418151234523571416678910B:46132022A:1112131415101219213161

8、71819201118252921222324254B的對(duì)稱數(shù)容易驗(yàn)證(1)等價(jià)于;(2) 等價(jià)于;(3) 等價(jià)于;(4) 等價(jià)于;(5) 等價(jià)于;(6) 等價(jià)于. 從而, B中的一對(duì)對(duì)稱數(shù)相應(yīng)于A中的兩個(gè)數(shù)的行號(hào)之和為;上式左邊第1項(xiàng)需加(減)n時(shí)，第2項(xiàng)就需減(加)n, 故其和不變. 同理，列號(hào)之和為; 即B中的一對(duì)對(duì)稱數(shù)也是A中的一對(duì)對(duì)稱數(shù)172418151234523571416678910B:46132022A:111213141510121921316171819201118252921222324255B的對(duì)角線和首先，由(1)式知，B的中心數(shù)恰等于A的中心數(shù)：.其次，B的主（次

9、）對(duì)角線都是由對(duì)對(duì)稱數(shù)及中心數(shù)組成，故其和為綜合得，上法構(gòu)造的方陣符合幻方的定義. （三）構(gòu)造方法2-階梯法 以n=5為例說(shuō)明（1）在的表格中斜著按自然順序填寫，這相當(dāng)于把自然順序方陣A逆時(shí)針轉(zhuǎn)45度。54103915281420171319256121824111723162221（2）框住中心的格.54103915281420171319256121824111723162221（3）把框外的數(shù)移到框內(nèi)的空格處：左（右）面的數(shù)向右（左）移動(dòng)n列；上（下）面的數(shù)向下（上）移動(dòng)n行。這就得到一個(gè)n=2k-1階幻方31692215208211427251311924125186114171023

10、化簡(jiǎn)的方法：直接在個(gè)方格中填寫（1）把1填在中心右旁；（2）若右上方空，就寫下一個(gè)數(shù)；（3）否則，寫在右隔一處.（四）階梯法的P矩陣性質(zhì)：316922151234520821142678910P72513119A11121314152412518616171819201141710232122232425（1） P的次對(duì)角線=A的中間行（2） P的主對(duì)角線=A的中間列（3） P的中間行=A的主對(duì)角線（4） P的中間列=A的次對(duì)角線（5） P的其他行（列）=A的折斷對(duì)角線以上右面的和都是Sn，故P是幻方。（五）階梯法的變換公式設(shè)，每個(gè)y值對(duì)應(yīng)P的一條折斷對(duì)角線，也對(duì)應(yīng)A的一行。y=2對(duì)應(yīng)A的第1

11、行，；y=4對(duì)應(yīng)A的第2行，；.y=2k-2 對(duì)應(yīng)A的第k-1行，；可見，y為偶數(shù)時(shí)，y=1對(duì)應(yīng)A的第k行，；y=3對(duì)應(yīng)A的第k+1行，；.y=2k-1 對(duì)應(yīng)A的第2k-1行，；可見，y為奇數(shù)時(shí)，另外，y為偶數(shù)時(shí)，y為奇數(shù)時(shí)，可見，不論y的奇偶性，P與A的變換公式可以統(tǒng)一為五雙偶階幻方設(shè)n=4k，（k=1,2,）.（一）. 構(gòu)造方法(對(duì)稱法)把A的中心點(diǎn)視為原點(diǎn)，把第1象限的數(shù)均勻地分為甲類和乙類，即每行(列)各占一半，然后按對(duì)稱原則，使aij, ai(n+1-j) , a (n+1-i)j，與a (n+1-i) (n+1-j)同類.讓甲(乙)類的數(shù)固定不變，乙(甲)類的數(shù)都跟其對(duì)稱數(shù)對(duì)換.

12、n=4的例1234567891011121314151611514412679810115133216（A） （D）n=8的例123456781636245595889101112131415165610115352141549171819202122232417474620214342242526272829303132402627373630313333343536373839403234352928383925414243444546474841232244451918484950515253545556165051131254559575859606162636457766061326

13、4（A） （D）可驗(yàn)證滿足S8=260 （二）. 原理A的第i行之和A中兩個(gè)行對(duì)稱數(shù)之差為， 從而若把第i行與第n+1-i行中的n/2對(duì)行對(duì)稱數(shù)進(jìn)行交換，則這兩行的行和分別變?yōu)榧磳?duì)換后，這兩行的和都等于幻和. A的第j列之和A中兩個(gè)列對(duì)稱數(shù)之差為 從而若把第j列與第n+1-j列中的n/2對(duì)列對(duì)稱數(shù)進(jìn)行交換，則這兩列的和分別變?yōu)榧磳?duì)換后，這兩列的和都等于幻和. 另外，注意到A中每條對(duì)角線的n個(gè)數(shù)之和都為Sn, 即對(duì)角線上的數(shù)只與同在此對(duì)角線上的數(shù)交換，其和不變. 因此，矩陣D是幻方.六、單偶階幻方設(shè)n=4k+2，先考察一個(gè)6階幻方. 第一步，先用上述介紹的方法構(gòu)造出一個(gè)4階幻方, 如圖1所示，幻

14、和為34；第二步，把這個(gè)4階幻方的每個(gè)數(shù)都加上10,得圖2所示, 此時(shí)幻和為74；圖2所用的數(shù)是1126, 恰是136中間的16個(gè)數(shù), 如圖3所示;1125241422161719182021152313122611514412679810115133216圖1 圖2123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536圖3第三步，觀察剩余的20個(gè)數(shù)有這樣的規(guī)律：，而37+74=111=S6, 于是，可把這20個(gè)數(shù)按“和為37”配成10對(duì)，如圖4所示. 把第一行的數(shù)稱為小頭數(shù)，第二行稱為大頭數(shù). 1234567891036

15、353433323130292827圖4第四步，按每對(duì)在同一行或同一列或同一對(duì)角線的原則，把它們添加到圖2的四周,但要滿足: (a) 每邊3個(gè)小頭數(shù)；(b)對(duì)邊的小頭數(shù)之和相等. 這就可得到一個(gè)6階幻方,如圖5所示. 913230291061125241431222161719353418202115333231312264273657828圖5圖5四周每邊3個(gè)小頭數(shù)（藍(lán)色），第1行與第6行的小頭數(shù)之和都是20; 第1列與第6列的小頭數(shù)之和都是17.下圖是在寧夏固原市南15 km處安西王府（1273年建）遺址發(fā)現(xiàn)的一個(gè)6階幻方。（安西王叫忙哥刺，是元世祖忽必烈的第三兒子）。左圖是古阿拉伯?dāng)?shù)字。

16、該6階幻方就是用上述方法構(gòu)造的。上述方法可以推廣到一般4k+2階幻方的構(gòu)造，其步驟是：(1) 先構(gòu)造出一個(gè)4k階幻方;(2) 把這個(gè)4k階幻方的每個(gè)數(shù)都加上8k+2,即把這16k2個(gè)數(shù)移到1(4k+2)2的中間；(3) 把剩余的首尾兩段小頭數(shù)與大頭數(shù)配對(duì)，每對(duì)之和為16k(k+1)+5;(4) 按每對(duì)在同一行或同一列或同一對(duì)角線的原則，把它們添到上圖的四周，但要滿足: (a) 每邊有2k+1個(gè)小頭數(shù)；(b)對(duì)邊的小頭數(shù)之和相等. 這就可得到一個(gè)4k+2階幻方. 按這種方法，我們?cè)贅?gòu)造出一個(gè)10階幻方如圖6所示，S10=505.1712397969586901878220217978242575

17、94142773723031696834878356564383961604293165844455554484951859150525347465657431089594140626337366612886733327071292874139226767723228081199831009998456151184圖6圖6中間部分是把一個(gè)8階幻方平移了18, 四周每邊有5個(gè)小頭數(shù)，第1行與第10行的小頭數(shù)之和都是41; 第1列與第10列的小頭數(shù)之和都是62. 這就是一個(gè)10階幻方.注：（1）幻方的數(shù)量：3階8個(gè)；4階7040個(gè)；5階多于2.7億個(gè)；6階多于1.77*1019個(gè).（2）我國(guó)南宋時(shí)

18、期杰出的數(shù)學(xué)家楊輝（1238-1298）是世界上第一個(gè)從數(shù)學(xué)角度對(duì)幻方進(jìn)行系統(tǒng)研究的學(xué)者。對(duì)于洛書上的幻方，楊輝總結(jié)成八句話：九子斜排 上下對(duì)易 左右相更 四維挺出戴九履一 左三右七 二四為肩 六八為足（3）幻方的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用實(shí)例一塊木板放在水面，浮力大于45 kg，要把重量分別為1,2，,9 kg的九箱物體放到該木板上，要求不出現(xiàn)傾斜，怎么放？答：只要按3階幻方的位置去放相應(yīng)重量的物體。七、幻方的推廣（1）廣義幻方由n2個(gè)不同的正整數(shù)組成的n階方陣，且每行、每列及兩對(duì)角線上的n個(gè)元素之和都相等，這種方陣稱為n階廣義幻方.當(dāng)然，n階廣義幻方?jīng)]有固定的幻和. 102547131922116例1

19、S3=39. 由于約束條件減弱，所以n階廣義幻方較易求得. 任一個(gè)n階幻方平移一個(gè)正整數(shù)，都可獲得一個(gè)n階廣義幻方. 例2 以下是一個(gè)可顛倒(轉(zhuǎn)180度)的4階廣義幻方, S4=264顛倒后，幻和不變.6889119616916988991886618166981961869918199881668869169196116889（2）雙重幻方雙重幻方由n個(gè)不同的正整數(shù)構(gòu)成，各行、各列及兩對(duì)角線上的各數(shù)之和均相等，同時(shí)各數(shù)的乘積也均相等. 例如16220751261331201162510515210029138243393492279113645381502615730174225108231

20、19104587517190175221616113681841895087135114200203157611710246811537854692321751960這是8 階雙重幻方，幻和為 840，幻積為 2,058,068,231,856,000（3）平方（二次）幻方平方幻方的各行各列及兩條對(duì)角線諸數(shù)的和均相等、平方和也均相等. 以下是由0195構(gòu)成的14階平方幻方36810368151166104281905516878611491144841771321461241481297718164117333574491411201891831115980431581383413515914

21、07214616253144152102391531501931716715846376115119892621176116195112051738266541451051081545018110915542157201133792694132191126561561331272246885119179131161165316510695110471005819291178117413612401072918410183122134218010147130967449901231421211821316725163385128938618598188717871372412516979161871762160752717570358114364971721869923601171945211817030139943845（4）三次幻方三次幻方的各行各列及兩條對(duì)角線諸數(shù)的和均相等、平方和也均相等、立方和也均相等. 以下是由0255構(gòu)成的16階三次幻方3329272514582841141411711731102302282262225139123632331092062183749146221921322162041771672252111682441504121410511874430887812420042481119048102