直線的參數(shù)方程的幾何意義

1、精品資料歡迎下載樂恩特教育個(gè)性化教學(xué)輔導(dǎo)教案課題教學(xué)目標(biāo)直線的參數(shù)方程的幾何意義與直線的參數(shù)方程有關(guān)的典型例題要求教學(xué)重難點(diǎn)與直線的參數(shù)方程有關(guān)的典型例題分析教學(xué)過程知識(shí)要點(diǎn)概述過定點(diǎn) M 0 (x0 , y0 ) 、傾斜角為的直線 lxx0t cos（ t 為參數(shù)），的參數(shù)方程為y0t siny其中 t 表示直線 l 上以定點(diǎn) M 0 為起點(diǎn)，任意一點(diǎn)M （ x，y）為終點(diǎn)的有向線段M0M 的數(shù)量，的幾何意義是直線上點(diǎn)到M 的距離 .此時(shí) ,若 t>0, 則的方向向上 ;若 t<0, 則的方向向下 ;若 t=0, 則點(diǎn)與點(diǎn) M重合 .由此，易得參數(shù) t 具有如下的性質(zhì)：若直線l

2、上兩點(diǎn) A 、 B 所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t A ,tB ，則性質(zhì)一： A 、B 兩點(diǎn)之間的距離為 | AB | | t At B | ，特別地， A、 B 兩點(diǎn)到 M 0 的距離分別為 | t A |,| t B | .性質(zhì)二： A 、B 兩點(diǎn)的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t At B ，若 M 0 是線段 AB 的中點(diǎn)，則2t At B0 ，反之亦然。精編例題講練一、求直線上點(diǎn)的坐標(biāo)精品資料歡迎下載例 1一個(gè)小蟲從P（ 1，2）出發(fā)，已知它在速度是 4，問小蟲3s 后的位置Q。x 軸方向的分速度是- 3，在y 軸方向的分分析：考慮 t 的實(shí)際意義，可用直線的參數(shù)方程x = x0 +at，(t 是參數(shù) )

3、。y = y0 +bt解：由題意知?jiǎng)t直線PQ 的方程是 x = 1- 3 t ， ，其中時(shí)間 t是參數(shù)，將 t=3s 代入得 Qy = 2+ 4 t（- 8， 12）。例 2 求點(diǎn) A（ - 1， - 2）關(guān)于直線l： 2x - 3y +1 =0 的對(duì)稱點(diǎn)A' 的坐標(biāo)。2解：由條件，設(shè)直線x = - 1 -13 t ，(t 是參數(shù) )，AA' 的參數(shù)方程為3y = - 2 +t13 A 到直線 l 的距離 d =5， t = AA ' =10 ，1313代入直線的參數(shù)方程得A' (-33， 413 13)。點(diǎn)評(píng)： 求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的基本方法是先作垂線，求出交

4、點(diǎn)，再用中點(diǎn)公式， 而此處則是充分利用了參數(shù)t的幾何意義。二 求定點(diǎn)到過定點(diǎn)的直線與其它曲線的交點(diǎn)的距離例 1. 設(shè)直線 經(jīng)過點(diǎn)(1,5), 傾斜角為,1)求直線和直線的交點(diǎn)到點(diǎn)的距離 ;2)求直線和圓的兩個(gè)交點(diǎn)到點(diǎn)的距離的和與積 .解 : 直線的參數(shù)方程為( t1) 將直線的參數(shù)方程中的x,y 代入和直線的交點(diǎn)到點(diǎn)的距離為2) 將直線的方程中的x,y代入兩根為,則=為參數(shù), 得=10.), 得 t=可 知. 所以, 直線設(shè)此方程的均為負(fù)值,所以=精品資料歡迎下載點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵一是正確寫出直線的參數(shù)， 二是注意兩個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)的符號(hào)的異同。三 求直線與曲線相交的弦長(zhǎng)例 1 過拋物線的焦點(diǎn)

5、作斜角為的直線與拋物線交于A、 B 兩點(diǎn)，求 |AB|.解因直線的傾角為，則斜率為 1，又拋物線的焦點(diǎn)為F(1 ，0) ，則可設(shè) AB的方程為(為參數(shù) )代入整理得由韋達(dá)定理得t 1t 2=，t 1t 2= 16。=.例 2 已知直線 L:x+y-1=0 與拋物線 y= 交于 A,B 兩點(diǎn) ,求線段 AB 的長(zhǎng)和點(diǎn) M(-1,2) 到A,B 兩點(diǎn)的距離之積.解:因?yàn)橹本€L過定點(diǎn)M,且L的傾斜角為,所以它的參數(shù)方程是(t 為參數(shù) )即(t 為參數(shù) )精品資料歡迎下載把它代入拋物線的方程,得解得由參數(shù) t 的幾何意義得點(diǎn)評(píng) :本題的解答中 ,為了將普通方程化為參數(shù)方程,先判定點(diǎn)M(-1,2) 在直

6、線上 ,并求出直線的傾斜角 ,這樣才能用參數(shù)t 的幾何意義求相應(yīng)的距離.這樣的求法比用普通方程求出交點(diǎn)坐標(biāo),再用距離公式求交點(diǎn)距離簡(jiǎn)便一些.四、求解中點(diǎn)問題例 1,已知經(jīng)過點(diǎn)P(2,0),斜率為的直線和拋物線相交于 A,B 兩點(diǎn) ,設(shè)線段 AB的中點(diǎn)為M,求點(diǎn) M 的坐標(biāo) .解 :設(shè)過點(diǎn) P(2,0)的直線 AB 的傾斜角為,由已知可得 :cos,所以 ,直線的參數(shù)方程為(t 為參數(shù) )代入,整理得中點(diǎn) M 的相應(yīng)的參數(shù)是=所以點(diǎn) M 的坐標(biāo)為點(diǎn)評(píng) :在直線的參數(shù)方程中,當(dāng) t>0, 則的方向向上 ;當(dāng) t<0, 則的方向向下 ,所以 A,B中點(diǎn)的 M 所對(duì)應(yīng)的t 的值等于,這與二

7、點(diǎn)之點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)有點(diǎn)相同.22y例 2已知雙曲線x -2 = 1，過點(diǎn) P（ 2，1）的直線交雙曲線于 P1，P2，求線段 P1P2精品資料歡迎下載的中點(diǎn) M 的軌跡方程。分析：中點(diǎn)問題與弦長(zhǎng)有關(guān)，考慮用直線的參數(shù)方程，并注意有t1 +t2=0。解：設(shè) M(x0， y0)為軌跡上任一點(diǎn)，則直線P1P2 的方程是 x = x0+t cos ，(t 是參數(shù) )，代y = y0 +t sin 入雙曲線方程得： (2cos2- sin2) t 2 +2(2x0cos- y0sin)t + (2 x02 - y02 -2)=0，2x0由題意 t 1 +t 2=0，即 2x0cos - y0sin=0 ，

8、得 tan=。y - y0又直線 P1P2 的斜率k = tan = x - x0，點(diǎn) P（ 2， 1）在直線P1P2 上， 1 - y0 = 2x0，即 2x2 - y2 - 4x +y = 0 為所求的軌跡的方程。2 - x0y0五 ,求點(diǎn)的軌跡問題例 1 已知雙曲線，過點(diǎn) P（ 2， 1）的直線交雙曲線于P1，P2，求線段 P1 2 的中點(diǎn) MP的軌跡方程。分析：中點(diǎn)問題與弦長(zhǎng)有關(guān)，考慮用直線的參數(shù)方程，并注意有t1 +t2=0。解：設(shè) M (x0，y0)為軌跡上任一點(diǎn)， 則直線 P1P2 的方程是 (t 是參數(shù) )，代入雙曲線方程得：22222-2)=0，(2cos - sin ) t

9、+2(2 x0cos- y0 sin)t + (2x0- y0由題意 t 1+t 2=0，即 2x0cos - y0sin=0 ，得。又直線 P1P2 的斜率 ，點(diǎn) P（ 2，1）在直線 P1P2 上，即 2x2- y2- 4x + y = 0 為所求的軌跡的方程。六、求定點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)的距離例 1直線 l 過點(diǎn)P(1，2)，其參數(shù)方程為x =1 - t，(t 是參數(shù) )，直線 l 與直線 2x +y - 2 =0y =2 +t交于點(diǎn) Q，求 PQ。x =1 -2t'，22x +y - 2 =0 得 t' = 32，解：將直線 l 的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式2，代入2y=2 +2 t'

10、; PQ = | t'| = 322。點(diǎn)評(píng)：題目給出的直線的參數(shù)并不是位移， 直接求解容易出錯(cuò)， 一般要將方程改成以位移為參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式。精品資料歡迎下載例 2 經(jīng)過點(diǎn) P(-1 ，2)，傾斜角為224的直線 l 與圓 x+y = 9 相交于 A， B 兩點(diǎn)，求PA +PB 和 PA ·PB 的值。x = -1 +2t，2解：直線 l 的方程可寫成2，代入圓的方程整理得： t2 + 2t- 4=0，設(shè)點(diǎn) A，y=2 +t2B 對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是 t1 ，t2，則 t1 +t2 = -2，t1 ·t2 = -4 ，由 t1與 t2 的符號(hào)相反知 PA +PB = |t1

11、|+|t2| = | t1 - t 2| = (t1 +t2)2- 4 t1 ·t2 = 32， PA ·PB = | t1 ·t2 | = 4。點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵一是正確寫出直線的參數(shù)， 二是注意兩個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)的符號(hào)的異同。七、求直線與曲線相交弦的長(zhǎng)例 1已知拋物線y2 = 2px，過焦點(diǎn) F 作傾斜角為 的直線交拋物線于A，B 兩點(diǎn)，求證：AB =2p。2sin分析：弦長(zhǎng)AB = |t1 - t2|。px =+t cos ，解：由條件可設(shè)AB 的方程為2( t 是參數(shù) )，代入拋物線方程，2pcos 得 t2 sin 2 - 2pt cos - p2t1

12、+t2 =sin2 ，= 0 ，由韋達(dá)定理：2，t1·t2 = -psin2 AB = |t1 - t2| =2- 4 t1·t2 =4p2 cos2 4p2=2p(t1 - t2)4+sin22 。sin sin 例 2 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸上，過橢圓左焦點(diǎn)F 且傾斜角為 60°的直線交橢圓于 A， B 兩點(diǎn)，若 FA =2 FB，求則橢圓的離心率。分析： FA =2FB 轉(zhuǎn)化成直線參數(shù)方程中的t1= - 2t2 或 |t1| =2|t2|。1x2y2x = - c + 2 t，解：設(shè)橢圓方程為a2+ b2= 1，左焦點(diǎn) F1（ c，0），直線 A

13、B 的方程為3，y =2 t1232224= 0 ，由于 t 1= - 2t2，則代入橢圓整理可得： (b +a)t- b ct - b44精品資料歡迎下載b2c2 = - t2t1 +t2 = 1 23，4b +4a2得： 2c2=12+32222代入，- b42， ×2+b4a ，將 b=a- c4t1·t2 = - 1 2 3 2 = -2 t24b +4a22222c24，故 e =28 c= 3 a+ a- c，得e= 2=。a93在研究線段的長(zhǎng)度或線段與線段之間的關(guān)系時(shí)，往往要正確寫出直線的參數(shù)方程，利用t 的幾何意義，結(jié)合一些定理和公式來解決問題，這是直線參數(shù)

14、的主要用途；通過直線參數(shù)方程將直線上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)用同一參變量 t 來表示，可以將二元問題轉(zhuǎn)化為一元問題來求解，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。知識(shí)鞏固訓(xùn)練應(yīng)用一：求距離例 1、直線 l 過點(diǎn) P0 (4,0) ，傾斜角為，且與圓 x 2y27相交于 A 、B 兩點(diǎn)。6（ 1）求弦長(zhǎng) AB.（ 2）求 P0 A 和 P0B 的長(zhǎng)。應(yīng)用二：求點(diǎn)的坐標(biāo)例 2、直線l 過點(diǎn)P0 ( 2,4) ，傾斜角為6，求出直線l上與點(diǎn)P0 (2,4) 相距為4 的點(diǎn)的坐標(biāo)。精品資料歡迎下載應(yīng)用三：解決有關(guān)弦的中點(diǎn)問題例 3、過點(diǎn) P0 (1,0) ，傾斜角為4的直線l 和拋物線y22x 相交于A 、B兩點(diǎn)，求線段

15、AB的中點(diǎn)M 點(diǎn)的坐標(biāo)。教師課后小結(jié)簽字教學(xué)主任：教學(xué)組長(zhǎng)：學(xué)生 / 家長(zhǎng)：解：因?yàn)橹本€ l 過點(diǎn) P0 (4,0) ，傾斜角為，所以直線 l 的參數(shù)方程為6x4t cos6 ，即x43 t12，（ t 為參數(shù)），代入圓方程，得y0t sinyt62( 43t ) 2(1t ) 27 ，整理得 t 243t9022（1）設(shè) A、 B 所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1 ,t 2 ，所以 t1t 24 3 ， t1t 29 ，所以 | AB | | t1t2 |(t1t 2 ) 24t1t22 3.（2）解方程 t 243t90 得， t133,t 23，所以 P0A| t1 |33，P0B| t 2 |3

16、.精品資料歡迎下載解：因?yàn)橹本€ l 過點(diǎn) P0 (2,4) ，傾斜角為，所以直線 l 的參數(shù)方程為6x2t cosx23 t6 ，即2 ，（ t 為參數(shù)），（ 1）y4t siny41t62設(shè)直線 l上與已知點(diǎn) P0 (2,4)相距為 4 的點(diǎn)為 M 點(diǎn)，且 M 點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t，則|P0M | t |4 ，所以 t4 ，將 t 的值代入（ 1）式，當(dāng) t4 時(shí)， M 點(diǎn)的坐標(biāo)為 (223,6) ；當(dāng) t 4 時(shí)， M 點(diǎn)的坐標(biāo)為 (22 3,2) ，綜上，所求 M 點(diǎn)的坐標(biāo)為 (223,6) 或 (22 3,2) .點(diǎn)評(píng)：若使用直線的普通方程，利用兩點(diǎn)間的距離公式求M 點(diǎn)的坐標(biāo)較麻煩，而使用直線的參數(shù)方程，充分利用參數(shù)t 的幾何意義求M 點(diǎn)的坐標(biāo)較容易。解：直線 l 過點(diǎn) P0 (1,0) ，傾斜角為，所以直線 l 的參數(shù)方程為4x 12 t2，（ t 為參數(shù)），因?yàn)橹本€l 和拋物線相交，將直線的參