概率統(tǒng)計習題及答案

1、習題二-5 -作業(yè)2 (修改2008 10)4. 擲一枚非均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的概率為p(0 <p <1)，若以X表示直至擲到正、反面都出現(xiàn)為止所需投擲的次數(shù),求X的概率分布.解 對于k=2, 3，前k _1次出現(xiàn)正面,第k次出現(xiàn)反面的概率是pk(i_p),前k _1次出現(xiàn)反面，第k次出現(xiàn)正面的概率是(1 _p)kWp,因而X有概率分布k 1k 1P (X = k) = p 一(1 p) , (1 p) 一 p , k = 2, 3" ,.5. 一個小班有8位學生，其中有5人能正確回答老師的一個問題.老師隨意地逐個請學 生回答，直到得到正確的回答為止 ，求在得到正確的回答

2、以前不能正確回答問題的學生個數(shù)的概率分布.第1個能正確回答的概率是 5/8,第1個不能正確回答，第2個能正確回答的概率是(3 / 8)(5 / 7) =15/56,前2個不能正確回答，第3個能正確回答的概率是(3/8)(2 /7)(5 / 6) =5/56 ,前3個不能正確回答，第4個能正確回答的概率是(3/8)(2 / 7)(1/ 6)(5 /5) =1/ 56 , 前4個都不能正確回答的概率是 (3 /8)(2 / 7)(1/ 6)(0 /5) =0 .設(shè)在得到正確的回答以前不能正確回答問題的學生個數(shù)為X ,則X有分布X0123P5/815/ 565/ 561/566. 設(shè)某人有100位朋

3、友都會向他發(fā)送電子郵件，在一天中每位朋友向他發(fā)出電子郵件的概率都是0.04,問一天中他至少收到4位朋友的電子郵件的概率是多少？試用二項分布公式和泊松近似律分別計算.解設(shè)一天中某人收到X位朋友的電子郵件，則XB(100, 0.04), 一天中他至少收到 4位朋友的電子郵件的概率是P(X >4).1) 用二項分布公式計算一 3_ kk100 -kP(X _4) =1 P(X ：:4) =1C100 0.04 (1 0.04)=0.5705 .k 02) 用泊松近似律計算k、.3 kk100 _k_ 3 4_4P(X _4) =1 -P(X : 4) =1L k C100 0.04 (10.0

4、4):'1 一 Lk e=0.5665 .k 0k 0k!8.設(shè)X服從泊松分布，分布律為kP(X =k) = e -', k =0,1, 2,.k!問當k取何值時PX =k最大？k -1e /k!- : -e /(k -1)!k解 設(shè) ak =P(X =k)/ P(X =k _1) , k =1,2，貝Uak數(shù)列 ak是一個遞減的數(shù)列.若a1 <1,則P(X =0)最大.若a1 >1,則當ak >1且ak書<1時，PX =k最大.由此得1) 若九<1 ,則P(X =0)最大.2) 若人 >1 ,則 PX =k最大 u A/k 云1 且 A/(

5、k +1) <1=丸一1 壬k 壬.由上面的1)和2)知，無論 <1或 >1 ,都有曰工由九不是整數(shù)P X =k取大 U k =e01或&j是整數(shù)12.設(shè)隨機變量X的概率密度為 p(x) nxlw) (x) +(2 x)" (x).求X的分布函數(shù)F (x),并作出p(x)與F (x)的圖形.xF(x) =_p(v)dv =l( _二0)0l1,2) (x) I 0 dvx0x(x) =0 dv T0,1)(x)=0 dv 0 vdv 1x- I vdv(2 -x)dv12:l2, ：)(x) I 0 dv - 0vdv 1 (2v)dv2 0 dvx1x12

6、= l0,1) (x) 0 vdv - l1,2) (x)0 vdv - 1 (2 v)dv 1，l2,二)(x)0vdv - 1 (2 -v)dv =(x2/2)l0,1) (x)+(2x x2/2 1)l")(x) +l2,切(x).11.設(shè)隨機變量X的概率密度為p(x) =cxl 0,10 (x) .求常數(shù)c和X的分布函數(shù)，并求概率P(X 16/X 三 10).-bo1 二 p(x)dx10二 cxdx.02 cx210=50c, c=1/50.02x vxF (x) = p (v) dv = I 0,10 ) (x)dv - l10, ：)(x)= I 0,10 ) (x)

7、' I 10, ：-)(x).sQ 501002P(X 16 /X £10) =P(X 10X 16 壬0) =P(2 壬X <8)88 x=p(x)dx =dx22 502 x1008=3/ 5 .215.解設(shè)隨機變量X的密度為ce * .求常數(shù)c .D2 蟲.Mx _1 /殄+ 1 / x4座 * / 21 = ce dx =c edx = ceJ _jqOJ jqO10- 4_t 21 / 4e dt =ce 5 .J -JQO由上式得J/4 J / 2c =e .上15.離散型隨機向量（X,Y）有如下的概率分布012300.10.10.10.1100.10.10

8、.12000.10.2求邊緣分布.又問隨機變量X,Y是否獨立?解 X有分布xk012P(X =xQ0.40.30.3Y有分布yk0123p(y =yk)0.10.20.30.4因為0 =P(X =2,Y =0) =P(X =2)P(Y =0) =0.3 0.1 ,所以X , Y不獨立.18設(shè)隨機向量(X,Y)D =( x, y):=x2, 0壬y2上的均勻分布，求條件概率 P(X >1 | X <Y).斯1解 P(X <Y) =(62 2) /6 =2/3,21P(X <Y, X _1) =(1 1)/6 =1 /12，2P(X <Y, X _1)1/12P(X

9、_1 | X <Y)=P(X <Y) 2/322.隨機向量(X,Y)有聯(lián)合密度cp(x,y)二 Ie(x, y),x y其中 E = (x, y) : 0< x2 + y2 < 廿.求系數(shù) c 和(X ,Y)落在圓 D =( x, y): x2 + y2 <r 2內(nèi)的概率.解x -r cosF ，心cgsinR 21 i Cp(x,y)dxdy -2dxdy =.o odUcdr=2：cR0 :：x2 :y2 .£R2 . x y1 一因而c =.而1:dxdy222 2二 R x y2 二RP(X,Y) D= p(x,y)dxdy =Dx2 -y2 s

10、x -f cosy -f sin=r /R .27.設(shè) X - N(P,。2),分別找 出 ki ,使得 P(H kQ <X+吟0)=皿.其中 i =1，2,3,:1 =0.9 , :2 =0.95 , ： 3 =0.99 .解 1 Q =P(Hkjb <X+kjb) = ( ：*'苔一ex-fA /(2心)dx-白二 c 2 二"Jkj12,.=e dt "(ki) kQ =2："(kj) -1 .'* . 2 二"ki) =(*1)/2 .習題二-10 -代入 a 的值查得 OL1 =1.64 , 口2 =1.96 , o

11、(3 =2.58 .X -1設(shè) Z =N (0,1)，則 Z N (0,1).2:-i = P （ , L -吟；：:： X ：-加） = P I一 X 一 Jk"一!<<acr 代入= P(_ki : Z : ki) -：.：，&) -：.，(_ki ) =2令(ki) 一1 .a 的值查得 0(1 =1.64 , 0(2 =1.96 , 0(3 =2.58 .28.某商品的每包重量XN（200,。2）.若要求P（195 <X <205 >0.98，則需要把 痣控制在什么范圍內(nèi).解設(shè) Z = X -20。N (0,1)，則ZN (0,1).P(

12、195 : X : 205195 -200 =P I205 -200<Z打一.，（5 /；）-：.，（ -5/ 二）=2：.，（5 /。）一1 .13P(195 : X : 205二0.98 ：= 2宏(5 / 二)一1 二0.98:二 5/二尸(0.99) =2.33 ：二 C- _5/ 2.33 =2.15 .28.設(shè)X服從自由度為k的Z2分布，即X有密度Px ( x)12k/2 (k/2)k /2 J . x/ 2x e I© s(x)求Y = , X / k的密度.解1當 y <0 時，F(xiàn)y (y) =P(丫壬y) =P( Jx /k -y) =0 , py(y)

13、 = FY(y) =0 .當 y A0 時，F(xiàn)Y(y) =P(Y Fy) =P(Jx / ky) = P(X 壬ky2) =FX (ky2),-12 ,22、k/2n_ky/22、Py (y Fy (y) =2kypx(ky ) =2ky (ky ) e I© ：)(ky )2 一(k /2)k / 2 k.ky2 / 2 y eI ik/2k /2 2因而k / 22 k/2kJ y2/2PY(y) =y e i(0, ：-)(y).k/2'解 2 設(shè) V =(0, he)，則 P(XWV)=1.設(shè)y = f (x) =JT7k , x WV，貝U f有反函數(shù).12.、：

14、= f 一(y) =ky , y 己G ,其中G = y = f (x) : x EV =(0，檢).因而Y有密度pY (y)':(y) I pX ( ;:(y)l G (y)22 k /2 _1 _ky2 /2_2=2ky (ky ) e y, 一一)(ky )2(k/2)-2(k/2，/2 k飛y2/2y er k / 229.由統(tǒng)計物理學知道分子運動的速率遵從麥克斯威爾(Maxwell)分布，即密度為4x 頊2 /-2Px(x) = 3 _e - l(0, ：.)(x).a 5其中參數(shù)a >0 .求分子的動能Y =mX 2 / 2的密度.當 y <0 時，F(xiàn)Y (y)

15、 =P(Y2 , _y) = P(mX /2 _y) =0, pY(y) = FY(y) = 0 當 y >0 時，F(xiàn)Y(y) =P(Y£y) =P(mX 2 / 2 £y) =P(X £ .2y/m ) =Fx ( 2y/m),1Py (y) =Fy (y)=-.2 my1 8y / m /y/(m-2)Px(,2y/m) -=3e；l(0, :-)C.2y/m)2 my :：_1 8y / m 2y/(m-.2) _4J2my a3&ea3 2y e2y/( m¥ ) m3上因而/ 4 / 2 y _2y/( mg ) ./、PY(y*

16、e- l(0,c(y).解 2 設(shè) V =(0，七c)，則 P(XEV)=1.設(shè)y =f (x) =mx2/2 , x亡V,則f有反函數(shù)= fLy)= 2y/m, y G,其中G = y = f (x) :x V =(0，七c).因而Y有密度Py( y) M ： (y)1 Px( ：(y)l g(y)4323y-e0/(m：2)")(y).J. : m 二1 8y / m2、 eNy/(mQg “（0, ：）（. 2y/m）30.設(shè)X服從_1,2上的均勻分布，丫 =X2.求丫的分布.1X有蜜度Px (x) =- I _!2) (x) . Y有分布函數(shù)3 一FY(y) =P(丫 壬 y

17、)2= P(X _y)T0,二)(y)P( _X _ V)T0,二）（y）Px(x)dxy iT0,r(y)廠 |j,2(x)dx- y 3,/y iy i- 4 iT0"y) -y3dy |i,4)(y).3dy |4, ：)(y).丁yy -1(y) .十Uy)"：”.31.質(zhì)點隨機地落在中心在原點，半徑為R的圓周上，并且對弧長是均勻地分布的求落 點的橫坐標的概率密度.解 設(shè)落點極坐標是（R,G）,則。服從0, 2n上的均勻分布，有密度1.PLj(?l)=二 I0, 2 (口)._2'：!.設(shè)落點橫坐標是 X ,則X =Rcos O, X的分布函數(shù)為FX (x)

18、 =P(X 以)=P(RcosL)- x).當 x <H 時，F(xiàn)x (x)=。.當 x A1 時，F(xiàn)x (x) =1 .當=Mx M時_x _x 1xF X (x) = P (R cos Lj x) =P arccos2 - - arccos =- - arccosRR 二.R因而落點的橫坐標 X有概率密度1pX(X)=Fx(x) =2- 1 ( j,i) (x).二R -x34.設(shè)隨機變量X服從在0,1上的均勻分布，求Y =_ln X的分布.解 設(shè) V =(0,1)，則 P(X WV) =1 .設(shè)y = f (x) = _ln x, x §V ,貝U f有反函數(shù)峪=f(y)

19、=e" , y 己G ,其中G = y = f (x) : x WV =(0，松).因而Y有密度PY(y)目;：(y) I Px ( ;：( y)lG(y) =e 0,i (e")I(0，二)(y) =e“I(。，二)(y).36. 設(shè) X 和 Y 獨立,密度分別為px (x) =I0,1 (x)和 PY(y) =e”I(0,枷(y),求 Z = X +Y 的密度.解 pZ (z) = pX (x) pY (z -x)dxf -joO''-_(z _x)=_I0,1 (x)e I(0, ：)(z-x)dx= j0,1 (x)ez")I(二z)(x)

20、dx= I0,1) (z)+l1,8(z)山公=0,1) (z) (1 e) , e (e 1) k,二)(z).37. 設(shè)系統(tǒng)L由兩個相互獨立的子系統(tǒng) L1,L2聯(lián)接而成，聯(lián)接的方式分別為串聯(lián)，并聯(lián)和 備用（當系統(tǒng)L1損壞時，系統(tǒng)L2開始工作）,如圖7.1所示.L1和L2的壽命為X和Y ,分別有密度 pX ( x) =cte* I(0,*)(x)和 pY (y) = Ee8yI (0，切(y),其中 a >0, P a 0且 a #P .請就這三種聯(lián)接方式分別寫出系統(tǒng)L的壽命Z的密度.解 X , 丫獨立,分別服從參數(shù)為a和臼的指數(shù)分布，因此分別有分布函數(shù)Fx(x)=(1-e：'

21、x)I(0,門二 yFY(y) =(1 -e y)I(0, r(y).1) 聯(lián)接的方式為串聯(lián)時，Z =min X .Y),Fs(z) =Pmin( x,Y)£z =1 _Pmin( x ,Y) . z=1 _P(X .z)P(Y .z) =1 一1 Fx (z)1 Fy(z) =(1 e：小)1(0，后：)(z), Pz(z) =FZ(z) =(q +E)e« 卅座|(o*(z).2) 聯(lián)接的方式為并聯(lián)時，Z =max X.Y,Fz (z) =Pmax( X,Y) £z =P(X 土z)P(丫土 z) =Fx(z)Fy(z)=(1 _e&)(1 _e 耶)s(z),Pz (z) =Fz'(z) =(c(e 乜 +pe* _(q +p)e也卅z)I (0, (z).3) 聯(lián)接的方式為備用時，Z =X +Y ,Pz =二Px (x) Py (z x)dx = jJ(eqxI(o, s(x)書e-z“I (0, s(z x)dx=I (o, s(z) " ae& Be*z"dx 瑚 e-%。, y (z) &q