中考復(fù)習(xí)-利用軸對稱性質(zhì)求幾何最值名師制作優(yōu)質(zhì)教學(xué)資料

1、軸對稱中幾何動點最值問題總結(jié)軸對稱的作用是“搬點移線”，可以把圖形中比較分散、缺乏聯(lián)系的元素集中到“新的圖形”中，為應(yīng)用某些基本定理提供方便。比如我們可以利用軸對稱性質(zhì)求幾何圖形中一些線段和的最大值或最小值問題。利用軸對稱的性質(zhì)解決幾何圖形中的最值問題借助的主要基本定理有三個：（1）兩點之間線段最短；（2）三角形兩邊之和大于第三邊；（3）垂線段最短。初中階段利用軸對稱性質(zhì)求最值的題目可以歸結(jié)為：兩點一線，兩點兩線，一點兩線三類線段和的最值問題。下面對三類線段和的最值問題進行分析、討論。（ 1） 兩點一線的最值問題 : （ 兩個定點 + 一個動點）問題特征：已知兩個定點位于一條直線的同一側(cè)， 在

2、直線上求一動點的位置， 使動點與定點 線段和最短。核心思路：這類最值問題所求的 線段和中只有一個動點， 解決這類題目的方法是找出任一定點關(guān)于直線的對稱點，連結(jié)這個對稱點與另一定點，交直線于一點，交點即為動點滿足最值的位置。變異類型：實際考題中，經(jīng)常利用本身就具有對稱性質(zhì)的圖形，比如等腰三角形，等邊三角形、正方形、圓、二次函數(shù)、直角梯形等圖形，即其中一個定點的對稱點就在這個圖形上。1. 如圖 ,等邊 ABC 的邊長為 6,AD 是 BC 邊上的中線 ,M 是 AD 上的動點 ,E 是 AC 邊上一點 ,若AE=2,EM+CM的最小值為()A 4B.8C.D.2. 如圖，等邊 ABC的邊長為 4，

3、AD是 BC邊上的中線， F 是 AD邊上的動點， E 是 AC邊上一點，若AE=2，當(dāng) EF+CF取得最小值時，則 ECF的度數(shù)為（）A15°B.22.5°C.30°D. 45°3. 如圖， Rt ABC中， AC=BC=4，點 D，E 分別是 AB， AC的中點，在 CD上找一點 P，使 PA+PE最小，則這個最小值是 _.4. （2006?河南）如圖，在 ABC中， AC=BC=2， ACB=90°，D 是 BC邊的中點， E 是 AB邊上一動點，則 EC+ED的最小值是 _.5. 如圖 , 在正方形 ABCD中 ,E 是 AB上一點 ,

4、BE=2,AE=3BE,P是 AC上一動點 , 則 PB+PE的最小值是 ()AB.C.D. 106.（2009?撫順）如圖所示，正方形 ABCD 的面積為 12， ABE 是等邊三角形， 點 E 在正方形 ABCD內(nèi)，在對角線 AC 上有一點 P，使PD+PE 的和最小，則這個最小值為（）A23B. 26C. 3D. 6（ 2） 一點兩線的最值問題 : （ 兩個動點 +一個定點）問題特征：已知一個定點位于平面內(nèi)兩相交直線之間，分別在兩直線上確定兩個動點使線段和最短。核心思路：這類問題實際上是兩點兩線段最值問題的變式，通過做這一定點關(guān)于兩條線的對稱點，實現(xiàn)“搬點移線”，把線段“移”到同一直線上

5、來解決。變異類型：例 1 ：如圖 6，接力賽場上，甲同學(xué)站在L1、L2 兩條交叉跑道之間的任意一點A 處，要將接力棒傳給站在L1 跑道上的乙同學(xué)，乙同學(xué)要將接力棒傳給站在L2跑道上的丙同學(xué)，丙同學(xué)跑回A 處，試找出乙丙同學(xué)所站的最佳位置使比賽的路程最短。A'l 1BQAR C圖 6l 2A''1. 如圖，已知 AOB 的大小為 ，P 是 AOB 內(nèi)部的一個定點，且 OP=2，點 E、F 分別是 OA 、OB上的動點，若 PEF 周長的最小值等于2，則 =（ ）A30°B.45°C.60°D.90°2. 如圖， AOB=30

6、76;，內(nèi)有一點 P 且 OP=，若 M 、N 為邊 OA 、OB 上兩動點，那么 PMN 的周長最小為（ ）A26B.6C. 6/2D. 63. 如圖，在 ABC 中， C=90°， CB=CA=4 ， A 的平分線交 BC 于點 D，若點 P、Q 分別是 AC和 AD 上的動點，則 CQ+PQ 的最小值是 _4. 在銳角三角形 ABC中，AB=4，BAC=60°，BAC的平分線 BC于 D，M、N分別是 AD與 AB上動點，則 BM+MN的最小值是 _ （ 3） 兩點兩線的最值問題 : （ 兩個動點 +兩個定點）問題特征：兩動點，其中一個隨另一個動（一個主動，一個從動）

7、，并且兩動點間的距離保持不變。核心思路：用平移方法，可把兩動點變成一個動點，轉(zhuǎn)化為“兩個定點和一個動點”類型來解。變異類型：例 1 如圖 4，河岸兩側(cè)有 、 兩個村莊，為了村民出行方便，計劃在河上修一座橋，橋修在何處才能兩村村民來往路程最短？解析：設(shè)橋端兩動點為將 向上平移河寬長到邊形， ，此時、，線段，那么 點隨 點而動， 等于河寬，且 垂直于河岸。與河北岸線的交點即為橋端 點位置。四邊形 為平行四值最小。那么來往 、 兩村最短路程為：。2如圖，在直角坐標(biāo)系中有線段AB ， AB=50cm ， A、 B到x 軸的距離分別為10cm和40cm， B點到y(tǒng) 軸的距離為 30cm，現(xiàn)在在x 軸、 y 軸上分別有動點P、 Q，當(dāng)四邊形PABQ的周長最短時，則這個值為（）A50B.505C. 50（ 5-1）D. 50（ 5-1）3. (20