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文檔簡介
1、平面幾何知識(shí)要點(diǎn)(一)【線段、角、直線】1. 過兩點(diǎn)有且只有一條直線。2. 兩點(diǎn)之間線段最短。3. 過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直。4. 直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中,垂直線段最短。垂直平分線, 簡稱 “中垂線 ”。定義: 經(jīng)過某一條線段的中點(diǎn),并且垂直于這條線段的直線,叫做這條線段的垂直平分線(中垂線)。線段的垂直平分線可看作和線段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合。中垂線性質(zhì):垂直平分線垂直且平分其所在線段。垂直平分線定理:垂直平分線上任意一點(diǎn),到線段兩端點(diǎn)的距離相等。逆定理 :到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上。.三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn),該點(diǎn)叫
2、外心 ,并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。角1. 同角或等角的余角相等。2. 同角或等角的補(bǔ)角相等。3. 對(duì)頂角相等。角的平分線性質(zhì)角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合定理 1:角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。定理 2: 到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上。三角形各內(nèi)角平分線的交點(diǎn),該點(diǎn)叫內(nèi)心, 它到三角形三邊距離相等?!酒叫芯€】平行線性質(zhì)1:兩直線平行,同位角相等。平行線性質(zhì)2:兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等。平行線性質(zhì)3:兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)。平行線判定1:同位角相等,兩直線平行。平行線判定2:內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行。平行線判定3:同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行。平行線判
3、定4:如果兩條直線都和第三條直線平行,這兩條直線也互相平行。平行公理 :經(jīng)過直線外一點(diǎn),有且只有一條直線與這條直線平行。平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。推論:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)成比例。,所得的對(duì)應(yīng)線段平面幾何知識(shí)要點(diǎn)(二)【三角形 】面積公式:1 已知三角形底a ,高 h , S1 ah22 正三角形面積S=3 a2(a 為邊長正三角形 )43 已知三角形三邊a,b,c ,則 Sp( p a)( pb)( pc) (海倫公式)其中: p(abc) (周長的一半)24 已知三角形兩邊a , b 及這兩邊夾角C,則 S1 absi
4、n C。2(a b c)r5 設(shè)三角形三邊分別為a 、 b 、 c,內(nèi)切圓半徑為r,則 S26 設(shè)三角形三邊分別為a 、 b 、 c,外接圓半徑為abcR,則 S4R記住 :已知正三角形邊長為a ,其外接圓半徑為R ,內(nèi)切圓半徑為r ,則有:R3 a , r3 a,R2r36內(nèi)角和定理: 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°推論 1:直角三角形的兩個(gè)銳角互余推論 2:三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和推論 3:三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角全等三角形性質(zhì):如果兩三角形全等,那么其對(duì)應(yīng)邊,對(duì)應(yīng)角相等。其中對(duì)應(yīng)邊除了三角形的邊長外,還包括對(duì)應(yīng)高,對(duì)應(yīng)中線,對(duì)角平分線。全
5、等三角形判定定理:邊邊邊公理:有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。( SSS)邊角邊公理:有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。( SAS)角邊角公理:有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。(ASA )推論:有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。斜邊、直角邊公理:有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。相似三角形性質(zhì)定理性質(zhì)定理1:相似三角形對(duì)應(yīng)高的比,對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。性質(zhì)定理2:相似三角形周長的比等于相似比。性質(zhì)定理3:相似三角形面積的比等于相似比的平方。相似三角形判定定理判定定理1:兩角對(duì)應(yīng)相等,兩三角形相似(ASA )判定定理2:兩邊
6、對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等,兩三角形相似(SAS)判定定理3三邊對(duì)應(yīng)成比例,兩三角形相似(SSS)定理:如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)直角三角形相似。定理: 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。三角形中位線定理:三角形的中位線平行于第三邊,并且等于它的一半。梯形中位線定理:梯形的中位線平行于兩底,并且等于兩底和的一半。平行線等分線段定理:如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段也相等推論 1:經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線,必平分另一腰。推論 2:經(jīng)過三角形
7、一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線,必平分第三邊。定理: 如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊等腰三角形的性質(zhì)定理:等腰三角形的兩個(gè)底角相等。推論 1:等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊。推論 2:等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和高互相重合。(三線合一)推論 3:等邊三角形的各角都相等,并且每一個(gè)角都等于60°等腰三角形的判定定理: 如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(等角對(duì)等邊)推論 1:三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形推論 2:有一個(gè)角等于 60°的等腰三角形是等邊三角形直角三角
8、形1勾股定理 :直角三角形兩直角邊、的平方和、等于斜邊c的平方( a2b2c2)a b逆命題: 如果三角形的三邊長有關(guān)系a2b2c2 ,那么這個(gè)三角形是直角三角形。勾股定理的逆定理可以判斷一個(gè)三角形為銳角或鈍角的一個(gè)簡單的方法,其中c為最長邊:如果:a2b2c2 ,則 ABC 是直角三角形;如果 a2b2c2,則 ABC 是銳角三角形;如果 a2b2c2 ,則 ABC 是鈍角三角形。2直角三角形斜邊中線定理:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長的一半。逆命題 :如果一個(gè)三角形一條邊的中線等于這條邊的一半,那么這個(gè)三角形是直角三角形,且這條邊為直角三角形的斜邊。3. 在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于
9、30°那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半,由此性質(zhì)可推出:含30°的直角三角形三邊之比為1:3 : 2。4.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。5. 直角三角形的內(nèi)切圓半徑等于兩直角邊之和減去斜邊的差的一半,abc即 r2arc也等于raboabc6. 射影定理: 如果 ABC 是直角三角形, C=90 °, CD AB ,則AC 2AD .ABBC 2DB .ABAC 2ACD2AD .DBADBC 2DB如果 ABC ,CD AB, CD2AD .DB ,則 :ADC CDBbbCahcDBC 對(duì)一般三角形的拓展:如圖,如果ADC ACB,
10、則:AC2AD .AB7如果 ADE= B 或 AED= C,或 C+ DEB=180 ° ,或B+ CDE=180 °那么有: AD · AC=AE · ABAADBCDEBC8.如果 DEBC , 那么有:AD : ACAE : ABDE : BCDAEBAABBD9 在 ABC 中, AD 是 A 的平分線,那么:ACDCBDC10 內(nèi)、外角角平分線: DO 平分 AOB , EO 平分 COB ,BE可以推出: DOE=90 ° ,AOD+ COE=90 °平面幾何知識(shí)要點(diǎn)(三)D【四邊形及多邊形】面積公式:平行四邊形面積=底
11、×高矩形面積 =長×寬菱形面積 =對(duì)角線乘積的一半或 菱形面積 =底×高ACO(上底下底)高梯形面積 =中位線×高2對(duì)角線相互垂直四邊形面積=對(duì)角線乘積的一半。平行四邊形:性質(zhì)定理 1:平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行性質(zhì)定理 2:平行四邊形兩組對(duì)角分別相等。性質(zhì)定理 3:平行四邊形兩組對(duì)邊分別相等。推論: 夾在兩條平行線間的平行線段相等;平行線間的距離處處相等。性質(zhì)定理 4:平行四邊形的對(duì)角線互相平分。是中心對(duì)稱圖形判定定理 1:兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形判定定理 2:兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。判定定理 3:兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。判定定理 4:一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。判定定理 5:對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。矩形性質(zhì)定理 1:矩形對(duì)邊分別平行且相等;性質(zhì)定理 2:矩形的四個(gè)角都是直角。性質(zhì)定理 3:矩形對(duì)角線互相平分且相等性質(zhì)定理 4:矩形既是中心對(duì)稱圖形,也是軸對(duì)稱圖形。判定定理 1:有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形判定定理 2:有一個(gè)直角的平行四邊形;判定定理 3:對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形菱形性質(zhì)定理
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