二次函數(shù)總結(jié)及相關(guān)典型題目

1、學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及相關(guān)典型題目第一部分基礎(chǔ)知識(shí)1. 定義： 一般地， 如果 yax 2bxc(a, b, c 是常數(shù)， a0) ，那么 y 叫做 x 的二次函數(shù) .2. 二次函數(shù)（1）拋物線y ax 2 的性質(zhì)yax 2 的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸是y 軸.（2）函數(shù) yax2 的圖像與 a 的符號關(guān)系 .當(dāng)當(dāng)a0時(shí)拋物線開口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；a0時(shí)拋物線開口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn) .（3）頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸是y2）.軸的拋物線的解析式形式為（yaxa03.二次函數(shù)yax 2bx c 的圖像是對稱軸平行于（包括重合）y 軸的拋物線 .4.二 次 函 數(shù) yax 2

2、bx c 用 配 方 法 可 化 成 ： y a xh 2k 的 形 式 ， 其 中b， k4acb2h.2a4a5.二 次 函 數(shù) 由 特 殊 到 一 般 ， 可 分 為 以 下 幾 種 形 式 ： yax 2 ； yax 2k ； y a x h 2 ； y a x h 2k ； y ax 2bx c .6.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點(diǎn). a 的符號決定拋物線的開口方向：當(dāng)a 0 時(shí)，開口向上；當(dāng)a0 時(shí)，開口向下；a 相等，拋物線的開口大小、形狀相同 .平行于 y 軸（或重合）的直線記作x h . 特別地， y 軸記作直線 x 0 .7.頂點(diǎn)決定拋物線的位置. 幾個(gè)不同的二次函

3、數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)a 相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.8. 求拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸的方法b22b4acb2（ 1）公式法：24ac by axbx c a x（，）4a，頂點(diǎn)是2a4a，2a對稱軸是直線 xb.2a（ 2）配方法： 運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為學(xué)習(xí)資料ya xh 2k 的形式， 得到頂學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考點(diǎn)為 ( h , k ) ，對稱軸是直線xh .（ 3）運(yùn)用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)

4、行驗(yàn)證，才能做到萬無一失.9. 拋物線 yax 2bx c 中， a,b,c 的作用（ 1） a 決定開口方向及開口大小，這與yax 2 中的 a 完全一樣 .（ 2） b 和 a 共同決定拋物線對稱軸的位置. 由于拋物線 yax 2bx c 的對稱軸是直線xb0 時(shí)，對稱軸為b0 （即 a 、 b 同號）時(shí)，對稱軸，故： by 軸；2aa在 y 軸左側(cè)； b0 （即 a 、 b 異號）時(shí)，對稱軸在y 軸右側(cè) .a（ 3） c 的大小決定拋物線y ax 2bxc 與 y 軸交點(diǎn)的位置 .當(dāng) x0時(shí)， y c ，拋物線 yax2bx c 與 y 軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（ 0， c ）： c0，拋物線

5、經(jīng)過原點(diǎn) ; c0 , 與 y 軸交于正半軸； c0 , 與 y 軸交于負(fù)半軸 .以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立. 如拋物線的對稱軸在y 軸右側(cè)，則b0 .a10. 幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)yax 2x0 （ y 軸）（0,0 ）yax 2kx0 （ y 軸）(0,k )ya xh2當(dāng) a 0時(shí)xh(h ,0)ya xh 2k開口向上xh(h ,k )y ax 2bx c當(dāng) a 0時(shí)xbb 4ac b 2開口向下2a(，)2a4a11. 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（ 1）一般式： y ax 2 bx c . 已知圖像上三點(diǎn)或三對 x 、 y

6、 的值，通常選擇一般式 .學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考（ 2）頂點(diǎn)式： y a xh 2k . 已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.（ 3）交點(diǎn)式：已知圖像與x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo) x1、x2 ，通常選用交點(diǎn)式： y a x x1 x x2 .12. 直線與拋物線的交點(diǎn)（ 1） y 軸與拋物線yax 2bxc 得交點(diǎn)為 (0,c ).（ 2 ） 與 y 軸 平 行 的 直 線 xh 與 拋 物 線 yax 2bxc 有 且 只 有 一 個(gè) 交 點(diǎn)( h , ah 2bhc ).（ 3）拋物線與x 軸的交點(diǎn)二次函數(shù)yax 2bxc 的圖像與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1 、 x2 ，是對應(yīng)

7、一元二次方程ax 2bxc0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 . 拋物線與 x 軸的交點(diǎn)情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個(gè)交點(diǎn)0拋物線與 x 軸相交；有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在x 軸上）0拋物線與x 軸相切；沒有交點(diǎn)0拋物線與 x 軸相離 .（ 4）平行于 x 軸的直線與拋物線的交點(diǎn)同（ 3）一樣可能有0 個(gè)交點(diǎn)、 1 個(gè)交點(diǎn)、 2 個(gè)交點(diǎn) . 當(dāng)有 2 個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為k ，則橫坐標(biāo)是 ax 2bxck 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 .（ 5）一次函數(shù) ykxn k0的圖像 l 與二次函數(shù)yax2bxc a0 的圖像 G的交點(diǎn)，由方程組ykxn的解的數(shù)目來確定：方程組有兩組不同的解時(shí)yax

8、2bxcl 與 G 有兩個(gè)交點(diǎn) ; 方程組只有一組解時(shí)l 與 G 只有一個(gè)交點(diǎn)； 方程組無解時(shí)l 與 G 沒有交點(diǎn) .（ 6 ）拋物線與x 軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線yax2bxc 與 x 軸兩交點(diǎn)為A x ， B x ， ，由于x1、 x2是方程 ax2bxc 0 的兩個(gè)根，故102 0x1x2b , x1 x2caab2b 24acAB x1x2x1x22x1 x224x1 x24caaaa學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考第二部分典型習(xí)題考點(diǎn) 1: 函數(shù)的三種形式. 拋物線 y x2 2x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. （ 2， 2）B.（ 1， 2）C.（ 1， 3）D.（ 1， 3）2.

9、 拋物線 y=2(x-3) 2 的頂點(diǎn)在 ()A. 第一象限B. 第二象限C. x 軸上D. y 軸上3拋物線 y （ x21的頂點(diǎn)坐標(biāo)是2）A（2，1）B （-2， -1）C（-2， 1）D （ 2， -1）4如圖，拋物線 yax2bx c 與 x 軸交于點(diǎn) (1,0) ，對稱軸為x 1 ，則下列結(jié)論中正確的是A a0B當(dāng) x1時(shí)， y 隨 x 的增大而增大C c0D x3是一元二次方程 ax2bx c0 的一個(gè)根5拋物線 y=x2+bx+c，經(jīng)過 A(-1 ，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，則這條拋物線的解析式為_.6.已知拋物線yx24x5.（ 1）直接寫出它與x 軸、 y 軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)；（

10、2）用配方法將yx24 x5 化成 ya( xh)2k 的形式7. 已知二次函數(shù)y=x2+bx+c 中，函數(shù)y 與自變量x 的部分對應(yīng)值如下表：x-101234y830-103(1) 求該二次函數(shù)的解析式；(2) 當(dāng) x 為何值時(shí)， y 有最小值，最小值是多少？(3)若 A（ m, y1）, B( m+2, y2) 兩點(diǎn)都在該函數(shù)的圖象上，計(jì)算當(dāng) m 取何值時(shí)， y1y2 ?學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考8. 拋物線 y=ax2+bx+c 上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo) y 的對應(yīng)值如下表：x 2 1012y0 4408（ 1）根據(jù)上表填空：拋物線與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是和；拋物線經(jīng)過點(diǎn)(-

11、3,)；在對稱軸右側(cè)，y 隨 x 增大而；（ 2）試確定拋物線 y=ax2 +bx+c 的解析式 .解 : （ 1）拋物線與x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是和； 拋物線經(jīng)過點(diǎn)(- 3,)； 在對稱軸右側(cè)，y 隨 x 增大而.（ 2）考點(diǎn) 2.a 、b、c 符號問題1、已知二次函數(shù) y ax 2 bxc 的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（） ab 0， c0 ab 0， c 0 ab 0， c 0 ab 0， c 0y1O1x第 1,2題圖第 3題圖2. 二次函數(shù) y ax 2 bx c 的圖象如上圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A a0， b 0， c 0Ba 0， b0， c 0C a0， b 0， c

12、0Da 0， b 0， c 03 已知二次函數(shù)y ax2 bx c 的圖象如上圖所示，則下列結(jié)論中正確的是()A a>0Bc 0C b 24ac 0D a b c>04. 已知拋物線 y=ax 2+bx+c 的圖象如右圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A a+b+c> 0B b> -2aC a-b+c> 0D c< 05. 拋物線 y=ax2+bx+c 中， b 4a，它的圖象如右圖，有以下結(jié)論： c>0； a+b+c> 0a-b+c> 0 b2-4ac<0 abc<0 ； 其 中 正 確 的 為（ ）ABCD學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于

13、網(wǎng)絡(luò)，僅供參考6. 已知二次函數(shù) y ax2 bx c，如果 a>b>c，且 a b c0，則它的圖象可能是圖所示的()yyyyO1xO 1xO1 xO1 xABCD7二次函數(shù) yax 2 bxc 的圖象如圖所示， 那么 abc，b2 4ac， 2a b，a b c四個(gè)代數(shù)式中，值為正數(shù)的有( )A.4 個(gè)B.3 個(gè)C.2 個(gè)D.1 個(gè)考點(diǎn) 3：二次函數(shù)的增減性1. 二次函數(shù)y=3x 2 6x+5 ，當(dāng) x>1 時(shí)， y 隨 x 的增大而；當(dāng) x<1 時(shí)， y 隨 x 的增大而；當(dāng) x=1 時(shí)，函數(shù)有最值是。2. 已知函數(shù) y=4x 2 mx+5 ，當(dāng) x> 2

14、時(shí) ,y 隨 x 的增大而增大； 當(dāng) x< 2 時(shí)，y 隨 x 的增大而減少；則當(dāng) x 1 時(shí) ,y 的值為。3. 已知二次函數(shù)y=x2 (m+1)x+1 ，當(dāng) x 1 時(shí)，y 隨 x 的增大而增大， 則 m的取值范圍是.4. 已知二次函數(shù)y=125的圖象上有三點(diǎn) A(x ,y ),B(x,y ),C(x,y) 且 3<x<x <x ，x +3x+23122112323則 y,y ,y3的大小關(guān)系為.12考點(diǎn) :4 ：圖象平移對稱問題1將拋物線 yx2 先向下平移1 個(gè)單位長度后，再向右平移1 個(gè)單位長度，所得拋物線的解析式是2.將拋物線 yx2向左平移2 個(gè)單位，再向

15、上平移1 個(gè)單位后，得到的拋物線的解析式為3.將拋物線 y=x2 平移得到拋物線 y=x2+3, 則下列平移過程正確的是()A. 向上平移3 個(gè)單位B. 向下平移 3個(gè)單位C. 向左平移3 個(gè)單位D. 向右平移 3個(gè)單位4.拋物線 y=2x 2 4x關(guān)于 y 軸對稱的拋物線的關(guān)系式為。5.拋物線 y=ax 2+bx+c 關(guān)于 x 軸對稱的拋物線為 y=2x 2 4x+3，則 a=b=c=學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考6(k 2) x2（其中k0）已知拋物線 y kx2（ 1）求該拋物線與x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo) (可以用含 k 的代數(shù)式表示 )；2P( m,n)，直接寫出 n 的最小值

16、；（ ）若記該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ 3）將該拋物線先向右平移1 個(gè)單位長度， 再向上平移1 個(gè)單位長度， 隨著 k 的變化，2k平移后的拋物線的頂點(diǎn)都在某個(gè)新函數(shù)的圖象上，求這個(gè)新函數(shù)的解析式（不要求寫自變量的取值范圍） 考點(diǎn) 5：三個(gè)二次問題：1. 已知二次函數(shù)y kx2(2k 1) x1 與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 x1 、 x2 （ x1 x2 ），則對于下列結(jié)論：當(dāng)x 2 時(shí)， y 1；當(dāng)x x2 時(shí)， y 0；方程kx2(2k x有1)1 0兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 x1 、 x2 ； x11， x21 ； x2 x11 4k 2，其中所有正k確的結(jié)論是（只需填寫序號） 2.已知二次函數(shù)y1

17、 x2x ，（ 1）它的最大值為；（ 2）若存在實(shí)數(shù) m，n 使得當(dāng)自變2量 x 的取值范圍是m x n 時(shí)，函數(shù)值 y 的取值范圍恰好是 3m y3n，則 m=，n=3. 已知二次函數(shù)y ax22 的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1， 1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并判斷該學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考函數(shù)圖象與x 軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)4已知函數(shù) y x2bxc （x ）0，滿足當(dāng) x =1 時(shí)， y1 ，且當(dāng) x = 0 與 x =4 時(shí)的函數(shù)值相等（ 1）求函數(shù) yx2bx c （ x ）0的解析式并畫出它的圖象（不要求列表） ；（ 2）若 f ( x) 表示自變量x 相對應(yīng)的函數(shù)值，且f ( x)x2bx

18、c (x 0),2 ( x又已知關(guān)于 x 的方程0),f ( x)xk 有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，請利用圖象直接寫出實(shí)數(shù)k 的取值范圍考點(diǎn) 6：二次函數(shù)的應(yīng)用1某商店銷售一種進(jìn)價(jià)為 20 元 /雙的手套，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該種手套每天的銷售量w(雙 )與銷售單價(jià) x(元 )滿足 w2x 80 (20 x 40),設(shè)銷售這種手套每天的利潤為y（元） .（ 1）求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式；（ 2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí) , 每天的利潤最大？最大利潤是多少？解 :2已知二次函數(shù)ym x2 +(3- m )x- 3 (m>0) 的圖象與 x 軸交于點(diǎn) (x1, 0)和(x2, 0), 且 x1<

19、;x2.學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考（ 1）求 x2 的值 ;22（ 2）求代數(shù)式 m x1m x1 (3 m ) x1 6 m x1 9 的值 .考點(diǎn) 7：二次函數(shù)與一次函數(shù)1. 若一次函數(shù)y=ax+b 的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則二次函數(shù)y=ax2+bx 的圖象只可能是 ()2. 當(dāng) b<0 是一次函數(shù)y=ax+b 與二次函數(shù)y=ax 2+bx+c 在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（）3. 已知直線 y2xb b 0 與 x 軸交于點(diǎn) A，與 y 軸交于點(diǎn) B；一拋物線的解析式為y x 2b 10 xc .（ 1）若該拋物線過點(diǎn)B，且它的頂點(diǎn)P 在直線 y2x b 上，試確定這條

20、拋物線的解析式；（ 2）過點(diǎn) B 作直線 BCAB 交 x 軸交于點(diǎn)C，若拋物線的對稱軸恰好過C 點(diǎn)，試確定直線y 2 x b 的解析式 .考點(diǎn) 8：代數(shù)幾何綜合問題學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考1. 如圖，已知ABC 中， BC=8， BC上的高 h4 ， D 為 BC上一點(diǎn)， EF / / BC ，交 AB于點(diǎn)E，交 AC于點(diǎn) F（ EF不過 A、B），設(shè) E 到 BC的距離為 x ，則DEF 的面積 y 關(guān)于 x 的函數(shù)的圖象大致為（）y4444O24xO24O24O24ABCD2. 拋物線 yx22x3 與 x 軸分別交于A、 B 兩點(diǎn)，則 AB的長為3. 如圖所示，已知二次函數(shù)

21、 y=ax2+bx+c(a 0)的圖象的頂點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)是 4，圖象交 x 軸于點(diǎn) A(m ，0)和點(diǎn) B，且 m>4，那么 AB 的長是()A. 4+mB. mC. 2m-8D. 8-2m4. 某大橋拱形可以近似看作拋物線的一部分在大橋截面1 11000 的比例圖上，跨度AB5 cm，拱高 OC 0. 9 cm，線段 DE表示大橋拱內(nèi)橋長，DE AB，如圖（ 1）在比例圖上，以直線 AB為 x 軸，拋物線的對稱軸為y 軸，以 1 cm 作為數(shù)軸的單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖（2）（ 1）求出圖（ 2）上以這一部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式，寫出函數(shù)定義域；（ 2）如果 DE與 A

22、B的距離 OM 0. 45 cm，求盧浦大橋拱內(nèi)實(shí)際橋長 （備用數(shù)據(jù)：2 1.4，計(jì)算結(jié)果精確到1 米）學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考5. 已知拋物線 yax 2( 43a) x 4 與 x 軸交于 A、 B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) C是否存在3實(shí)數(shù) a，使得 ABC為直角三角形若存在，請求出a 的值；若不存在，請說明理由6. 如圖 , 已知拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn) O 及 A( 2 3, 0) ，其頂點(diǎn)為 B( m, 3), C 是 AB 中點(diǎn)，點(diǎn) E 是直線 OC 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) (點(diǎn) E 與點(diǎn) O 不重合 )，點(diǎn) D 在 y 軸上 , 且 EO=ED .（ 1）求此拋物線及直線 OC 的解析式；（ 2）當(dāng)點(diǎn) E 運(yùn)動(dòng)到拋物線上時(shí) , 求 BD 的長；33（ 3）