二次函數(shù)鉛垂高演練(答案、解析、總結(jié))

1、學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考二次函數(shù)鉛垂高如圖 12-1 ，過 ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫 ABC 的“水平寬” ( a) ，中間的這條直線在 ABC內(nèi)部線段的長(zhǎng)度叫 ABC 的“鉛垂高 ( h) ”. 我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：S ABC1 ah ，2即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.解答下列問題：如圖 12- 2，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C( 1, 4), 交 x 軸于點(diǎn) A( 3, 0) ，交 y 軸于點(diǎn) B.(1)求拋物線和直線 AB 的解析式；(2)點(diǎn) P 是拋物線 (在第一象限內(nèi) )上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA，PB，當(dāng) P

2、點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)C 時(shí)，求 CAB 的鉛垂高 CD 及 S CAB ；9P 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)(3) 是否存在一點(diǎn) P，使 S PAB= SCAB ，若存在，求出8y說明理由 .CBD1xO1A圖12-2例 1 解： (1) 設(shè)拋物線的解析式為：y1a(x 1) 24 ························1分把 A（ 3,0）代入解析式求得a1所

3、以 y1( x1)24x 22x3························3分設(shè)直線 AB 的解析式為： y2kxb由 y1x 22 x3 求得 B 點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,3) ···············

4、···4分把 A(3,0)， B(0,3)代入 y2kx b 中解得： k1, b 3所以 y2x3 ······································6分(2)

5、因?yàn)?C 點(diǎn)坐標(biāo)為 ( ,4)所以當(dāng) x時(shí)， y1 4，y2 2所以 CD 4- 2 2 ···································8 分學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考S CAB13 2 3 (平方單位 ) 

6、3;·····················10 分2(3) 假設(shè)存在符合條件的點(diǎn) P，設(shè) P 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 x， PAB 的鉛垂高為 h，則 hy1y2(x 22 x3) ( x 3)x 23x ·········12 分9S CAB由 S PAB=8得： 193(x23x)328化簡(jiǎn)得： 4x

7、 212 x 90解得， x32將 x3 代入 y1x22 x 3 中，2解得 P 點(diǎn)坐標(biāo)為 (3 , 15)·································14 分24總結(jié)： 求不規(guī)則三角形面積時(shí)不妨利用鉛垂高。鉛垂高的表示方法是解決問題的關(guān)鍵，要學(xué)

8、會(huì)用坐標(biāo)表示線段。例 2（ 2010 廣東省中考擬） 如圖 10，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)yax 2bxc(a0)的圖象的頂點(diǎn)為D 點(diǎn)，與 y 軸交于C 點(diǎn)，與 x 軸交于 A、 B 兩點(diǎn)， A 點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B1點(diǎn)的坐標(biāo)為（3， 0）， OB OC ，tan ACO（ 1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式（ 2）經(jīng)過C、 D 兩點(diǎn)的直線，與x 軸交于點(diǎn)E，在該拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)F，使以點(diǎn)A、 C、 E、 F 為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由（ 3）若平行于 x 軸的直線與該拋物線交于 M、N 兩點(diǎn)，且以 MN為直徑的圓與 x 軸相切，求該圓半徑的

9、長(zhǎng)度（ 4）如圖 11，若點(diǎn) G（ 2， y）是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn) P 是直線 AG下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)， APG的面積最大？求出此時(shí) P 點(diǎn)的坐標(biāo)和 APG的最大面積 .yyEAOBxAOBx學(xué)習(xí)資料C圖 10CG圖11D學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考1）方法一：由已知得：C（ 0， 3），A（ 1， 0）abc09a3bc0將 A、 B、C 三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得c3a1b2解得：c3所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：yx22x3方法二：由已知得：C（ 0， 3）， A（ 1， 0）設(shè)該表達(dá)式為：ya( x1)( x3)將 C 點(diǎn)的坐標(biāo)代入得： a1所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為

10、：yx22x3（注：表達(dá)式的最終結(jié)果用三種形式中的任一種都不扣分）（ 2）方法一：存在，F(xiàn) 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 2， 3）理由：易得D（ 1， 4），所以直線CD的解析式為：yx3 E 點(diǎn)的坐標(biāo)為（3， 0）由 A、 C、E、 F 四點(diǎn)的坐標(biāo)得：AE CF 2， AE CF以 A、 C、 E、 F 為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形存在點(diǎn)F，坐標(biāo)為（ 2， 3）方法二：易得D（ 1， 4），所以直線CD的解析式為：yx3 E 點(diǎn)的坐標(biāo)為（3， 0）以 A、 C、 E、 F 為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形F點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 2， 3）或（ 2， 3）或（ 4， 3）代入拋物線的表達(dá)式檢驗(yàn)，只有（ 2， 3）符合學(xué)習(xí)資

11、料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考存在點(diǎn)F，坐標(biāo)為（ 2， 3）（ 3）如圖，當(dāng)直線MN在 x 軸上方時(shí)，設(shè)圓的半徑為R（ R>0），則 N（ R+1， R），y117R代入拋物線的表達(dá)式，解得2當(dāng)直線MN在 x 軸下方時(shí)，設(shè)圓的半徑為r （r>0 ），則 N（ r+1 ， r ），r117代入拋物線的表達(dá)式，解得2117117圓的半徑為2 或2（ 4）過點(diǎn) P 作 y 軸的平行線與AG交于點(diǎn) Q，易得 G（ 2， 3），直線 AG為 yx1 1RMNRAOBxr1rMND設(shè) P（ x， x 22x3 ），則 Q（ x， x1）， PQx 2x2 S APGS APQ S GPQ1 (

12、 x2x 2) 321x當(dāng)2 時(shí)， APG的面積最大1 ,15S APG的最大值為 27此時(shí) P 點(diǎn)的坐標(biāo)為 24 ，8 隨堂練習(xí)1（ 2010 江蘇無(wú)錫）如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn) A、 B 的坐標(biāo)分別為（-4 ， 0）和（ 2， 0），BC=2 3 設(shè)直線 AC與直線 x=4 交于點(diǎn) E（ 1）求以直線 x=4 為對(duì)稱軸，且過 C與原點(diǎn) O的拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并說明此拋物線一定過點(diǎn) E；（ 2）設(shè)（ 1）中的拋物線與x 軸的另一個(gè)交點(diǎn)為N，M是該拋物線上位于C、N 之間的一動(dòng)點(diǎn)，求 CMN面積的最大值學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考yDCEAO Bxx= 4【答案】解： （ 1）點(diǎn) C

13、 的坐標(biāo) (2,23) 設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為2ya( x4) m ，16am0383a, m則 4a.m2 3，解得63y3(x 4) 283所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為634kb0343k設(shè)直線 AC的函數(shù)關(guān)系式為 yb, 則, bkx2kb23 ，解得33y343(4,83 )x直線 AC的函數(shù)關(guān)系式為33，點(diǎn) E 的坐標(biāo)為3y3 (4 4)2把 x=4 代入式，得6（ 2）（ 1）中拋物線與 x 軸的另一個(gè)交點(diǎn)為G，則 SCMN=S MNG+S梯形 MGBC S83833 3 ，此拋物線過 E 點(diǎn)N（ 8，0），設(shè) M（ x，y），過 M作 MGx 軸于1(8 x) y12 3)( x2)

14、1(8 2)2 3CBN=2( y223 y3x 8 3 3(3 x 24 3 x)3x 8 33 x25 3x 8 3=6323(x 5) 29 3,=2293當(dāng) x=5 時(shí)， S CMN有最大值2課下練習(xí)1 (本題滿分 12分 )已知：如圖一次函數(shù)y 12 x1 的圖象與 x 軸交于點(diǎn) A，與 y軸交于點(diǎn) B；二次函數(shù) y 1 x2 bxc 的圖象與一次函數(shù)y 1 x 1 的圖象交于 B、C 兩22學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考點(diǎn)，與 x 軸交于 D、 E 兩點(diǎn)且 D 點(diǎn)坐標(biāo)為 (1， 0)(1) 求二次函數(shù)的解析式；(2) 求四邊形 BDEC 的面積 S；(3) 在 x 軸上是否存

15、在點(diǎn) P，使得 PBC 是以 P 為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出所有的點(diǎn) P，若不存在，請(qǐng)說明理由二次函數(shù) yx2ax b 的圖象與 x 軸交于 A(1,0) , B(2,0) 兩32點(diǎn)，且與y 軸交于點(diǎn) C .第 24題圖（1）求該拋物線的解析式，并判斷ABC 的形狀；（ 2）在 x 軸上方的拋物線上有一點(diǎn)D ,且以 A、C、 D、 B 四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形，請(qǐng)直接寫出 D 點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在此拋物線上是否存在點(diǎn)P ,使得以 A、C、B、P 四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形？若存在，求出P 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.第26題圖1【答案】解：根據(jù)題意，將A（2 ,0） ,B （

16、2,0）代入 y=-x2+ax+b 中，11 ab0,4 2得 4 2a b 0.學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考3a ,2解這個(gè)方程，得b1.全品中考網(wǎng)3所以拋物線的解析式為y=-x2+2 x+1.當(dāng) x=0 時(shí)， y=1. 所以點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（0， 1）。OA2OC25所以在 AOC 中， AC= 2 .在 BOC 中， BC=OB2OC2 =5 .1 52AB=OA+OB= 22 .1225AB2因?yàn)?AC2+BC2= 44.所以 ABC 是直角三角形。3 ,1（ 2）點(diǎn) D 的坐標(biāo)是2.（ 3）存在。由（ 1）知， AC BC,若以 BC 為底邊，則BC AP,如圖（ 1）所示，

17、可求得直線 BC 的解析式為1x 1y2.直線 AP 可以看作是由直線AC 平移得到的，所以設(shè)y1 xb直線 AP 的解析式為2，112 ,0）代入直線 AP 的解析式求得 b=圖 1將 A （4 ,所y1 x1以直線 AP 的解析式為24 .31 x1因?yàn)辄c(diǎn) P 既在拋物線上， 又在直線 AP 上，所以點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)相等， 即 -x2+ 2 x+1=24 .學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考x15 x21解得22 （不合題意，舍去） .53當(dāng) x= 2 時(shí)， y=2 .53所以點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（2 ，2 ） .若以 AC 為底邊，則BP AC ，如圖（ 2）所示，可求得直線AC 的解析式

18、為y2x1.直線 BP 可以看作是由直線AC 平移得到的，所以設(shè)直線 BP 的解析式為 y 2xb ，將 B（ 2,0）代入直線 BP 的解析式求得 b=-4,所以直線BP 的解析式為 y=2x-4.圖 2因?yàn)辄c(diǎn) P 既在拋物線上，又在直線BP 上，所以點(diǎn) P3的縱坐標(biāo)相等，即-x2+ 2 x+1=2x-4x15 , x22解得2（不合題意，舍去） .5當(dāng) x=- 2 時(shí)， y=-9.5所以點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ -2 ，-9）.535綜上所述，滿足題目的點(diǎn)P 的坐標(biāo)為（2，2）或（ - 2 ，-9）1x23x 42( 本題 10 分 )如圖，已知二次函數(shù)y=42的圖象與 y 軸交于點(diǎn) A ，與 x 軸交于 B、 C 兩點(diǎn)，其對(duì)稱軸與x 軸交于點(diǎn)D ，連接 AC(1) 點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 _ ，點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 _ ；(2) 線段 AC 上是否存在點(diǎn) E，使得 EDC 為等腰三角形 ?若存在，求出所有符合條件的點(diǎn) E 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3) 點(diǎn) P 為 x 軸上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA、 PC，若所得 PAC 的面積為S，則 S 取何值時(shí)，