05第二章恒等式微麥程與本構(gòu).

1、上節(jié)內(nèi)容回顧散度和旋度問題1:已知A = r求VEL4 = ?VUA = - (r-Ar) = 0r orn 7 A =4兀6(廠)半徑為廠的球面JAdvA rK 2/r=J J 7& = 0 0 = 0r2sin &dOdcp= 4”上節(jié)內(nèi)容回顧散度和旋度問題2：已知久=丄石求7x = ?AAIJ(VxA) ds=f4 d/=也一e - evpd (pdl = 2兀s /i Pzz V x A =27U8(p)本節(jié)內(nèi)容：梯度.散度與旋度的混合運(yùn)算已學(xué)習(xí)的內(nèi)容問題運(yùn)算符 號對 象結(jié) 果可能的 混合運(yùn)算=9梯度Vu標(biāo) 量矢 量V V nV X V H散 度VA矢 量 標(biāo) 量V（V

2、.A）旋度Vx A矢 量 矢 量x AV x V x A半徑為Q 的圓1恒等式I：V X Vw = 0任何標(biāo)量場的梯度的旋度為零。條件：U.U處處存在。恒等式I的證明利用斯托克斯公式：jj u=（S利用梯度性質(zhì):1恒等式I恒等式I的證明任一s：Jvx(vw)力=0S結(jié)果:結(jié)論:1.恒等式I逆定理：如果：X E = 0貝 U: -E= -V(p梯無旋這里的負(fù)號不影響結(jié)論2.恒等式II恒等式H:V(V X A)= 0任何矢量場的旋度的散度為零。2恒等式U恒等式II的證明利用高斯散度定理：J也2滬工V$ JV(x Adr= (xdsS右手規(guī)則J27n 2j (xA-ds= J (x A )dE +

3、J (xds=A * dl+ JA dl= 0任一V:(xA)dz = O結(jié)果:結(jié)論:(xA)三0旋無散2恒等式II逆定理：如果:1標(biāo)性拉普拉辛由來：復(fù)合運(yùn)算“梯度的散度”。設(shè)是u(x9y,z)任意標(biāo)量函數(shù)，貝U：則: B = V x A拉普拉斯算子V2W1.標(biāo)性拉普拉辛中文表述數(shù)學(xué)表述哈密頓算符標(biāo)識符運(yùn)算符號運(yùn)算對象拉普拉辛(Jiv(gradti)三V”= V2?/V2標(biāo)量如下關(guān)系divgradu) = V - Vw = V2w1.標(biāo)性拉普拉辛一展開式直角坐標(biāo)下的拉普拉辛展開式:V2滬 護(hù)d2dx2* dy2* dz2拉普拉斯算子1.標(biāo)性拉普拉辛一展開式柱坐標(biāo)下:1.標(biāo)性拉普拉辛一展開式球坐

4、標(biāo)下_ Q _ Q _ der- + eA- + e & -drrdOr sin 0d(pV2(一a _B一I e -h ea-F edrrd 6r sin Od cp丿2a2a2+ -r + -rr d0 r sin Od p(de d訂+dO r sin Od p丿drr sin G )sin &(de d Oj、kdG dr d(p丿d (d d2- sin 0- + -d O JBO丿B (p-V2A =graddiv A一curlcurlA三（A）-VxVxA2.矢性拉普拉辛模仿三重矢積構(gòu)造出如下的矢量恒等式:AxBxC = B（AC） C（AB）o （ Back一C

5、ab法貝lj ）Vx Vx A = V（広）一広（）=（A）-V2A2.矢性拉普拉辛一展開式直角坐標(biāo)下的拉普拉辛展開式:矢性拉普拉辛 各分量V2A = ex( V2Av) + ev( V2Av) 4-( V2Ar)小結(jié):已學(xué)習(xí)的內(nèi)容運(yùn)算符 號 對 象結(jié) 果可能的 混合運(yùn)算答案梯度Vu標(biāo) 量矢 量1V V M標(biāo)量2V X V M梯無旋散 度VA矢 量標(biāo) 量3(2)矢量中旋度Vx A矢 量矢 量4V V x A旋無散5V X V X A矢量廠2中:各分量的X/三、場論亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理：空間有限區(qū)域。內(nèi)的任一矢量場，由 它的1散度2念3邊界樹唯一地確定，并可表示為：一個(gè)梯度 場和一個(gè)旋度場的

6、壷加。研究矢量場的基本工作：用于公理性的論述貫穿于整個(gè)電磁場的學(xué)習(xí)中。 2 一 +邊界條件V X A矢量場分布的不同情況：1.管形的（無散的）和無旋的。広=o- cx A = 0如在無電荷區(qū)域中的靜電場。矢量場分布的不同情況：2.管形的和但非無旋的。A = 0- cX A工0載流導(dǎo)體中的穩(wěn)定磁場。矢量場分布的不同情況:3.無旋的但非管形的。 q 工oI_x A = 0如在有電荷區(qū)域中的靜電場。矢量場分布的不同情況:既非管形又非無旋的。 q 工o- cX A工0最普通的形式； 如有電荷區(qū)域的時(shí)變場。源的種類與場的分解:1.通量源gA =As+ A.2 旋渦源6広s = xAs0f V - A = OIx & = A . =x B V x A = GI源的種類與場的分解:xA、 .二1.標(biāo)量函數(shù)的梯度；2.矢量函數(shù)的旋度。広=+ 忑=% + x 萬V - A = V - Vw + V x B)= -V2wV x A = X7x( -“ + x6) = x x B、格林恒等式（了解）V Adr=擊A dSVdv令：A = cpV(0V70 ) =切 + 0 0訶(0%) dSdV=j(0W)msdV=舟0比d