專題07 二次函數(shù)中相似三角形存在性（2）——非直角三角形 2020-2021學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)重點(diǎn)題型通關(guān)訓(xùn)練解析版

1、專題07 二次函數(shù)中相似三角形存在性（2）非直角三角形 【專題導(dǎo)入】1.如圖，已知點(diǎn)A,B在x軸上，C在y軸上. 其中點(diǎn)A（3,0），B（-1,0），C（3,0）.（1）A=_°；（2）tan B=_；（3）求sinACB的值.【解析】（1）45°（OAC是等腰直角三角形）；（2）3（RtBOC中，CO=3,BO=1）；（3）根據(jù)題中條件，可得AB=4，CA=OA2+CO2=32，CB=BO2+CO2=10.過點(diǎn)B作BDAC，垂足為D.根據(jù)等面積法可得12AB·CO=12CA·BD，解得BD=22.sinACB=BDBC=2210=255.【方法技巧】要

2、找兩個(gè)三角形相似，基本都需要用到“角相等”，遇到非直角三角形時(shí)，我們需要根據(jù)給出的三角形的角度特征進(jìn)行解題.60°，30°，45°等角度，可以通過觀察點(diǎn)的位置簡單得出；（第1題（1）問）遇到不能直接得出特殊角的度數(shù)，若一邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，可以通過過這邊外的一點(diǎn)作垂線，得到直角三角形，從而得出相應(yīng)的三角函數(shù)值；（第1題（2）問）遇到2個(gè)邊不在坐標(biāo)軸上，又明顯不是特殊角，可嘗試使用等面積法得出相應(yīng)的高，從而得出三角函數(shù)值.（第一題（3）問）【例1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=x2-4x-5，與x軸交于A（-1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C若點(diǎn)D是y

3、軸上的一點(diǎn)，且以B，C，D為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo).【解析】如圖1，令x=0，則y=-5，C（0，-5），OC=OB，OBC=OCB=45°，AB=6，BC=52，AC=26要使以B，C，D為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，ACBBCD，則有ABCDBCBC或ABBCBCCD當(dāng)ABCDBCBC時(shí)，CD=AB=6，D（0，1），當(dāng)ABCBBCCD時(shí)，65252CD.CD=253，D（0，103）即：D的坐標(biāo)為（0，1）或（0，103）【例2】如圖，拋物線與x軸相交于點(diǎn)A（-3，0）、點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)D是第二象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn) （1）求這條拋物線的

4、解析式；并寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）連接OD交線段AC于點(diǎn)E當(dāng)AOE與ABC相似時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo).【解析】（1）設(shè)拋物線解析式為：y=ax2+bx+c，將點(diǎn)A（-3，0），B（1，0），C（0，3）分別代入得：9a3b+c=0，a+b+c=0，c=3.解得：a=1，b=2，c=3，故拋物線解析式為：y=-x2-2x+3由于y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，所以該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-1，4）.（2）如圖，過點(diǎn)D作DKx軸于點(diǎn)K，設(shè)D（x，-x2-2x+3），則K（x，0）并由題意知點(diǎn)D位于第二象限D(zhuǎn)K=-x2-2x+3，OK=-xBAC是公共角，當(dāng)AOE與ABC相似時(shí)，有2種情況：AOD=A

5、BCtanAOD=tanABC=3x22x+3x=3，解得x1=1132，x2=1+132（舍去），D（1132，31332）AOD=ACB過點(diǎn)A作AFBC，垂足為F.在RtAFB中，根據(jù)tanABC=3和AB=4，可得BF=2105，AF=6105.AB=10，CF=AB-BF=3105.tanAOD=tanACB=2x22x+3x=2，解得x1=-3，x2=3（舍去）D（-3，23）綜上所述，當(dāng)AOE與ABC相似時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1132，31332）或（-3，23）【專題過關(guān)】1. 如圖，已知拋物線y=-x2-2x+3經(jīng)過點(diǎn)A（-3，0），C（0，3），交x軸于另一點(diǎn)B，其頂點(diǎn)為D點(diǎn)P為

6、拋物線上一點(diǎn)，直線CP交x軸于點(diǎn)E，若CAE與OCD相似，求P點(diǎn)坐標(biāo). 【解析】y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，頂點(diǎn)D（-1，4）A（-3，0），C（0，3），D（-1，4），AC=32，OA=OC=3，CD=2，OCD=CAE=135°，點(diǎn)E只能在A點(diǎn)左邊若CAEDCO，則CAAEDCCO23，AE=9，OE=12，E（-12，0）C（0，3），yCE14x+3聯(lián)立yx22x+3，yCE=14x+3，解得x1=94，y1=3916，x2=0，y2=3（舍去），P(94，3916)；若CAEOCD，則CAAEOCCD32，AE=2，OE=5，E（-5，0）C（0，3），yC

7、E35x+3聯(lián)立yx22x+3，yCE=35x+3，解得x1=135，y1=3925，x2=0，y2=3（舍去），P(135，3625)因此，P(94，3916)或(135，3625).2. 如圖，設(shè)拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A（-1，0），B（m，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，-2），且ACB=90°（1）求m的值和拋物線的解析式；（2）已知點(diǎn)D（1，n）在拋物線上，過點(diǎn)A的直線y=x+1交拋物線于另一點(diǎn)E，求點(diǎn)D和點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P，B，D為頂點(diǎn)的三角形與三角形AEB相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由【解析】（1）

8、在直角ABC中，COABOC2=OAOB22=1×m即m=4B（4，0）把A（-1，0）B（4，0）分別代入y=ax2+bx-2，并解方程組得a=12，b=-32，y=12x2-32x-2；（2）把D（1，n）代入y=12x2-32x-2得n=-3，D（1，-3）解方程組y=x+1，12x232x2得x1=6，y1=7，x2=1，y2=0.，E（6，7）（3）作EHx軸于點(diǎn)H，則EH=AH=7，EAB=45°由勾股定理得：BE=53，AE=72，作DMx軸于點(diǎn)M，則DM=BM=3，DBM=45°由勾股定理得BD=32假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)P滿足條件，EAB=DBP=4

9、5°，EADBABPB或EAPBABDB，即7232=5PB或72PB=532，PB=157或PB=425，OP=4-157=137或OP=4-425=-225在x軸上存在點(diǎn)P（137，0），（-225，0）滿足條件【專題提升】3. 已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸分別交于A（-3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn) C（1）求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)F是線段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)如圖1，設(shè)k=AFAD，當(dāng)k為何值時(shí)，CF=12AD？如圖2，以A，F(xiàn)，O為頂點(diǎn)的三角形是否與ABC相似？若相似，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不相似，請(qǐng)說明理由【解析】（1）拋物線y=ax2+b

10、x+3過點(diǎn)A（-3，0），B（1，0），9a3b+3=0，a+b+3=0解得：a=1，b=2，拋物線解析式為y=-x2-2x+3；y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，4）；（2）在RtAOC中，OA=3，OC=3，AC2=OA2+OC2=18，D（-1，4），C（0，3），A（-3，0），CD2=12+12=2AD2=22+42=20AC2+CD2=AD2ACD為直角三角形，且ACD=90°CF12AD，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，AFAD12，k12在RtACD中，tanCAD=DCAC23213，在RtOBC中，tanOCBOBOC13，CAD=OCB，OA=OC，

11、OAC=OCA=45°，F(xiàn)AO=ACB，若以A，F(xiàn)，O為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，則可分兩種情況考慮：當(dāng)AOF=ABC時(shí)，AOFCBA，OFBC，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，k+b=0，b=3，解得：k=3，b=3，直線BC的解析式為y=-3x+3，直線OF的解析式為y=-3x，設(shè)直線AD的解析式為y=mx+n，k+b4，3k+b0，解得：k2，b=6直線AD的解析式為y=2x+6，y2x+6，y3x，解得：x=65，y=185，F(xiàn)（-65，185）當(dāng)AOF=CAB=45°時(shí)，AOFCAB，CAB=45°，OFAC，直線OF的解析式為y=-x，yx，y2x+

12、6，解得：x=2，y=2F（-2，2）綜合以上可得F點(diǎn)的坐標(biāo)為（-65，185）或（-2，2）4.如圖，拋物線y=3+36x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別位于原點(diǎn)的左、右兩側(cè)，BO=3AO=3，過點(diǎn)B的直線與y軸正半軸和拋物線的交點(diǎn)分別為C，D，BC=3CD（1）求b，c的值；（2）求直線BD的函數(shù)解析式；（3）點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上且在x軸下方，點(diǎn)Q在射線BA上當(dāng)ABD與BPQ相似時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)【解析】（1）BO=3AO=3，點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)A（-1，0），拋物線解析式為：y=3+36（x+1）（x-3）=3+36x2-3+33x-3+32，b=-3

13、+33，c=-3+32.（2）如圖1，過點(diǎn)D作DEAB于E，CODE，BCCDBOOE，BC=3CD，BO=3，3=3OE，OE=3，點(diǎn)D橫坐標(biāo)為-3，點(diǎn)D坐標(biāo)為（-3，3+1），設(shè)直線BD的函數(shù)解析式為：y=kx+b，由題意可得：3+1=3k+b，0=3k+b解得：k=33，b=3，直線BD的函數(shù)解析式為y=-33x+3.（3）點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)D（-3，3+1），AB=4，AD=22，BD=23+2，對(duì)稱軸為直線x=1，直線BD：y=-33x+3與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)C（0，3），OC=3，tanCBO=COBO=33，CBO=30°，如圖2，過點(diǎn)A作AKBD于K，AK=12AB=2，DK=AD2AK2=84=2，DK=AK，ADB=45°，如圖，設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為N，即點(diǎn)N（1，0），若CBO=PBO=30°，BN=3PN=2，BP=2PN，PN=233，BP=433，當(dāng)BADBPQ，BPBABQBD，BQ=433×（23+2）4=2+233，點(diǎn)Q（1-233，0）；當(dāng)BADBQP，BPBDBQAB，BQ=433