系統(tǒng)辨識(shí)與自適應(yīng)控制-最終版-2012424更新

1、系統(tǒng)辨識(shí)與自適應(yīng)控制System Identification and Adaptive Control夏琳琳程目的o掌握“系統(tǒng)辨識(shí)與自適應(yīng)控制”的概念；o了解“系統(tǒng)辨識(shí)與自適應(yīng)控制”應(yīng)用場(chǎng)合、最新技術(shù)發(fā)展與實(shí)例；o進(jìn)行系統(tǒng)仿真與設(shè)計(jì)；課程講述分為“緒論篇”、“系統(tǒng)辨識(shí)篇”和“自適應(yīng)控制篇”教材 teaching materialso系統(tǒng)辨識(shí)與自適應(yīng)控制 楊承志 重慶大學(xué)出版社o系統(tǒng)辨識(shí)與建模 潘立登 化學(xué)工業(yè)出版社o自適應(yīng)控制 吳士昌 機(jī)械工業(yè)出版社o自動(dòng)控制原理 鄒伯敏 機(jī)械工業(yè)出版社o線性系統(tǒng)理論 鄭大鐘 清華大學(xué)出版社o智能控制 劉金琨 電子工業(yè)出版社緒論篇I

2、ntroduction1 緒論o關(guān)于“系統(tǒng)辨識(shí)”；o系統(tǒng)辨識(shí)的應(yīng)用與發(fā)展；o關(guān)于“自適應(yīng)控制”；o自適應(yīng)控制系統(tǒng)的應(yīng)用與發(fā)展；關(guān)于系統(tǒng)辨識(shí) 什么是SI( System Identification)?人們?cè)谏a(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，對(duì)所研究的復(fù)雜對(duì)象通常要求通過觀測(cè)和計(jì)算來定量地判斷其內(nèi)在規(guī)律，那么就必須建立所研究對(duì)象的數(shù)學(xué)模型（Mathematical Model），從而進(jìn)行分析、設(shè)計(jì)、預(yù)測(cè)、控制的決策。 建立數(shù)學(xué)模型的方法有分析法和實(shí)驗(yàn)法。實(shí)驗(yàn)法是人為地給系統(tǒng)施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近，稱為SI。 不論是現(xiàn)代控制理論還是最優(yōu)控制，都假設(shè)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型已知，顯然，對(duì)

3、于自動(dòng)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)研究者來說，建立對(duì)象的數(shù)學(xué)模型是不可少的。 關(guān)于系統(tǒng)辨識(shí) 例如：我們需要利用民航旅客數(shù)年份月的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型，來預(yù)測(cè)未來行為；利用股市行情近期走勢(shì)預(yù)測(cè)未來走勢(shì)；在故障診斷方面，在生產(chǎn)過程中，例如反應(yīng)堆、大型化工和動(dòng)力裝置等，希望經(jīng)常監(jiān)視和檢測(cè)可能出現(xiàn)的故障，以便及時(shí)排除故障，這就意味著必須不斷地從過程中搜集信息，推斷過程動(dòng)態(tài)特性的變化情況，進(jìn)而根據(jù)特性的變化情況判斷故障是否發(fā)生、何時(shí)發(fā)生、故障大小、故障位置等。 有的系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可用理論分析方法（解析法）推導(dǎo)出來，例如飛行器運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，一般可根據(jù)力學(xué)原理較準(zhǔn)確地推導(dǎo)出來。但是，當(dāng)考慮飛行器運(yùn)動(dòng)模型的參數(shù)隨飛行高

4、度和飛行速度變化時(shí)，為了實(shí)現(xiàn)對(duì)飛行器運(yùn)動(dòng)的自適應(yīng)控制，就要不斷估計(jì)飛行器在飛行過程中的模型參數(shù)。 關(guān)于系統(tǒng)辨識(shí) 有些控制對(duì)象，如化學(xué)生產(chǎn)過程，由于其復(fù)雜性，很難用理論分析方法推導(dǎo)數(shù)學(xué)模型。只能知道數(shù)學(xué)模型的一般形式及其部分參數(shù)，有時(shí)甚至連數(shù)學(xué)模型的形式也不知道。因此提出怎樣確定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及其參數(shù)的問題，即所謂的系統(tǒng)辨識(shí)問題。既然有的系統(tǒng)很難用理論分析方法推導(dǎo)出數(shù)學(xué)模型，只有求助于試驗(yàn)方法。關(guān)于系統(tǒng)辨識(shí) 在經(jīng)典的控制理論中，為了確定閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定，我們就需要數(shù)學(xué)模型?？梢栽谝阎到y(tǒng)微分方程的情況下，求取閉環(huán)傳遞函數(shù)，求解閉環(huán)特征方程，判斷根是否都具有負(fù)實(shí)部，或利用勞斯判據(jù)（霍爾維茨判據(jù)），

5、確定是否所有極點(diǎn)位于S平面的左半平面；獲得開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)，繪制根軌跡，確定系統(tǒng)特征方程的根在S平面的分布情況；在沒有獲得系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的情況下，實(shí)驗(yàn)室的方法變得切實(shí)可行，利用開環(huán)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線（Bode圖）或者奈奎斯特曲線（奈氏圖），判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。關(guān)于系統(tǒng)辨識(shí) 寫出最小相位系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的過程就是一個(gè)辨識(shí)過程（是對(duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線繪制的逆問題）。關(guān)于系統(tǒng)辨識(shí)5111jjjkjG dBjG61lg202k求得開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性dBk6lg201lg20lg201 實(shí)際上，這個(gè)頻率響應(yīng)實(shí)驗(yàn)原理為： 首先，選擇信號(hào)源輸出的正弦信號(hào)的幅值，以使系統(tǒng)處于非飽和狀態(tài)。在一定頻率范圍內(nèi)，改

6、變輸入正弦信號(hào)的頻率，記錄各頻率點(diǎn)處系統(tǒng)輸出信號(hào)的波形。由穩(wěn)態(tài)段的輸入輸出的幅值比和相位差繪制對(duì)數(shù)頻率特性曲線。關(guān)于系統(tǒng)辨識(shí)幅頻響應(yīng)實(shí)驗(yàn)原理系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型 引入自動(dòng)控制原理中，大家熟悉的內(nèi)容： 二階系統(tǒng)欠阻尼時(shí)的單位階躍響應(yīng)系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型 引入自動(dòng)控制原理中，大家熟悉的內(nèi)容： 三階I型系統(tǒng)的奈氏圖系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型 引入自動(dòng)控制原理中，大家熟悉的內(nèi)容： 二階I型系統(tǒng)的波特圖11 . 010jjjG關(guān)于系統(tǒng)辨識(shí) 那么，關(guān)于系統(tǒng)辨識(shí)的定義，有這樣兩種普遍認(rèn)同的說法：o1962年，美國學(xué)者Zadeh提出：SI就是在輸入和輸出數(shù)據(jù)觀測(cè)的基礎(chǔ)上，在指定的一組模型中，確定一個(gè)與所測(cè)系統(tǒng)等價(jià)的模型1

7、；o1978年，瑞典著名學(xué)者L.Ljung提出：SI有三個(gè)要素：數(shù)據(jù)、模型類和準(zhǔn)則，辨識(shí)就是按規(guī)定準(zhǔn)則在一類模型中選擇與數(shù)據(jù)擬合得最好的模型2；關(guān)于系統(tǒng)辨識(shí) Zadeh簡(jiǎn)介： Lotfi A. Zadeh，美國自動(dòng)控制專家，美國工程科學(xué)院院士，被譽(yù)為模糊系統(tǒng)理論的創(chuàng)始人、模糊數(shù)學(xué)之父。1921年2月生于蘇聯(lián)巴庫，1949年獲哥倫比亞大學(xué)電機(jī)工程博士，現(xiàn)任美國伯克利加利福尼亞大學(xué)電機(jī)工程與計(jì)算機(jī)科學(xué)系教授。因發(fā)展模糊集理論的先驅(qū)性工作而獲電氣與電子工程師學(xué)會(huì)(IEEE)的教育勛章。 Lotfi Zadeh in his office at Berkeley. Sep.1994關(guān)于系統(tǒng)辨識(shí) L.L

8、jung簡(jiǎn)介： L.Ljung教授現(xiàn)任瑞典皇家工程科學(xué)院院士、瑞典皇家科學(xué)院院士、IFAC顧問、IEEE Fellow及多家國際刊物編委等職，在國際上擁有很高的學(xué)術(shù)地位。L.Ljung教授在系統(tǒng)辨識(shí)領(lǐng)域的貢獻(xiàn)是世界公認(rèn)的，可以說他及他所領(lǐng)導(dǎo)的“控制小組(the Control Group)“在辨識(shí)方面所做的工作代表著系統(tǒng)辨識(shí)學(xué)科的前沿，尤其在辨識(shí)模型和辨識(shí)方法的一般性框架、快速辨識(shí)算法、辨識(shí)收斂性分析、可辨識(shí)性理論及閉環(huán)系統(tǒng)辨識(shí)等方面所作的貢獻(xiàn)都是具有前瞻性和開創(chuàng)性的。 L.Ljung訪問中國科學(xué)院訪問中國科學(xué)院關(guān)于系統(tǒng)辨識(shí) 上述兩個(gè)定義，Zadeh的定義較為嚴(yán)格，但要找出與一個(gè)實(shí)際的系統(tǒng)完全

9、等價(jià)的模型是比較困難的。 而按L.Ljung 的觀點(diǎn)，辨識(shí)的實(shí)質(zhì)可理解為數(shù)據(jù)擬合的優(yōu)化，比較切合實(shí)用。 我們用一幅圖來說明建模辨識(shí)的思想：關(guān)于系統(tǒng)辨識(shí) 規(guī)定代價(jià)函數(shù)（或稱等價(jià)準(zhǔn)則）為 ，其為誤差e的函數(shù)，系統(tǒng)原型G0和系統(tǒng)模型Gg在同一激勵(lì)信號(hào)u的作用下，產(chǎn)生系統(tǒng)原型輸出信號(hào)y和系統(tǒng)模型輸出信號(hào)yg，二者誤差為e。系統(tǒng)辨識(shí)的原理gyyJ,關(guān)于系統(tǒng)辨識(shí) 經(jīng)等價(jià)準(zhǔn)則（Equivalent Criterion）計(jì)算后，去修正模型參數(shù)，然后再反復(fù)進(jìn)行，直到誤差滿足代價(jià)函數(shù)（Criterion Function）最小為止，其數(shù)學(xué)表述為： 其中， 為準(zhǔn)則函數(shù)表達(dá)式，而辨識(shí)的目的為：找出一個(gè)模型 ，而 為給

10、定模型類，使之 ，則有Gg=G0。 此時(shí)，稱系統(tǒng)被辨識(shí)。 efyyJg, efgGmin,gyyJ關(guān)于系統(tǒng)辨識(shí)o什么是數(shù)學(xué)模型；o系統(tǒng)辨識(shí)的基本方法；o系統(tǒng)辨識(shí)的基本內(nèi)容；什么是數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)模型是對(duì)這個(gè)對(duì)象的特征和變化規(guī)律的一種表示或抽象，它不是對(duì)象本身，而是把對(duì)象本質(zhì)的部分信息表達(dá)成有用的描述形式。 常用的數(shù)學(xué)模型有代數(shù)方程、微分方程、差分方程、偏微分方程和狀態(tài)方程等。在系統(tǒng)辨識(shí)中，常用的有： a. 微分方程；b. 差分方程；c. 狀態(tài)方程什么是數(shù)學(xué)模型 根據(jù)模型不同的基本特征，數(shù)學(xué)模型劃分為：（1）靜態(tài)模型與動(dòng)態(tài)模型；（2）線性模型與非線性模型；（3）參數(shù)模型與非參數(shù)模型；（4）確定性模

11、型與隨機(jī)性模型；（5）連續(xù)時(shí)間模型與離散時(shí)間模型；（6）時(shí)不變模型與時(shí)變模型；（7）時(shí)間域模型與頻域模型；（8）集中參數(shù)模型與分布參數(shù)模型；SI的基本方法o機(jī)理建模 利用各個(gè)專業(yè)學(xué)科提出的物質(zhì)和能量守恒定律或連續(xù)性原理等，建立描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系，這種建模方法稱為“白箱問題（White-box）”。o系統(tǒng)辨識(shí)（實(shí)驗(yàn)建模） 這是一種在沒有任何可利用的驗(yàn)前信息（即相關(guān)學(xué)科專業(yè)知識(shí)與相關(guān)數(shù)據(jù)）的情況下，應(yīng)用所采集系統(tǒng)的輸入和輸出數(shù)據(jù)提取信息進(jìn)行建模的方法。這是一種實(shí)驗(yàn)建模（Experiment Testing Method）的方法，稱為“黑箱問題（Black-box）”。SI的基本方法o機(jī)理分析與系統(tǒng)

12、辨識(shí)相結(jié)合 這種方法適用于系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)機(jī)理不是完全未知的情況。首先，利用系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)機(jī)理和運(yùn)行經(jīng)驗(yàn)確定出模型的結(jié)構(gòu)（如狀態(tài)方程的維數(shù)或差分方程的階次），或分析出部分參數(shù)的大小或可能的取值范圍，再根據(jù)采集到的系統(tǒng)In-Out數(shù)據(jù)，由辨識(shí)的方法估計(jì)或修正模型中的參數(shù)，使其精確化。稱之為“灰箱問題（Grey-box）”。 由于一般的“黑箱問題”無法解決，通常所指的SI就是“灰箱問題”。SI的基本內(nèi)容和步驟o實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)；o模型結(jié)構(gòu)辨識(shí)；o模型參數(shù)辨識(shí)；o模型驗(yàn)證； 系統(tǒng)辨識(shí)的應(yīng)用與發(fā)展 SI已經(jīng)在系統(tǒng)建模與仿真（Simulation）、預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)（Prediction）、故障診斷（Fault Diagnosi

13、s）、自適應(yīng)控制、質(zhì)量監(jiān)控等方面得到成功地應(yīng)用。 當(dāng)今，SI已經(jīng)成為系統(tǒng)理論中的一個(gè)重要分支。這其中，對(duì)于單變量線性的SI相關(guān)理論及方法取得了令人滿意的效果，而對(duì)于多變量的系統(tǒng)辨識(shí)，尤其是結(jié)構(gòu)辨識(shí)，還不很理想。 一方面，要借助其他理論加深對(duì)系統(tǒng)內(nèi)在性質(zhì)的理解，并提供新的估算方法；一方面，要根據(jù)實(shí)際觀測(cè)提出新問題（如實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、準(zhǔn)則函數(shù)選取、模型驗(yàn)證）。關(guān)于自適應(yīng)控制 什么是自適應(yīng)? 最初來源于生物系統(tǒng)，指生物變更自己的習(xí)性以適應(yīng)新的環(huán)境的一種特征。人體的體溫、血壓等系統(tǒng)都是典型的自適應(yīng)系統(tǒng)。 前蘇聯(lián)學(xué)者Tsypkin（茨普金 ）在學(xué)習(xí)系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)一書中引用了馬克.吐溫的一段話來說明自適應(yīng)：“一

14、只貓?jiān)跓裏岬脑钌蠣C了一次，這只貓?jiān)僖膊桓以谠钌献?，即使這只灶是冷的。”說明了自適應(yīng)過程的機(jī)械性。關(guān)于自適應(yīng)控制 什么是自適應(yīng)控制 ( AC，Adaptive Control)?它與一般的反饋控制有什么不同？ 在控制系統(tǒng)的運(yùn)行過程中，系統(tǒng)本身不斷地識(shí)別實(shí)踐被控系統(tǒng)的狀態(tài)、性能或參數(shù)，而從“認(rèn)識(shí)”或“掌握”系統(tǒng)當(dāng)前的運(yùn)行指標(biāo)并與期望的指標(biāo)相比較，進(jìn)而做出決策，來改變控制器的結(jié)構(gòu)、參數(shù)或根據(jù)適應(yīng)性的規(guī)律來改變控制作用，以保證系統(tǒng)運(yùn)行在某種意義下的最優(yōu)或次優(yōu)狀態(tài)下，稱之為“自適應(yīng)控制”。關(guān)于自適應(yīng)控制整個(gè)控制科學(xué)的發(fā)展過程經(jīng)典控制經(jīng)典控制現(xiàn)代控制現(xiàn)代控制智能控制智能控制關(guān)于自適應(yīng)控制o最優(yōu)控制；-“

15、沒有最好，只有更好”o隨機(jī)控制；o自適應(yīng)控制；-“以變制變”o魯棒控制；-“以靜制動(dòng)”o自學(xué)習(xí)控制；o智能控制；關(guān)于自適應(yīng)控制 古典控制理論是將微分方程通過拉氏變換，變換到復(fù)頻域進(jìn)行分析，得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根均位于S平面的左半平面時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。特征方程的根取決于ai、bi。 而現(xiàn)代控制理論狀態(tài)空間法是在時(shí)域進(jìn)行分析。將微分方程轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程，求解狀態(tài)方程的時(shí)域解-狀態(tài)x(t)(n維)。當(dāng)時(shí)間 時(shí)，狀態(tài)x(t)是收斂的，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。 x(t)的性能仍取決于ai、bi。t關(guān)于自適應(yīng)控制 討論參數(shù)ai、bi是未知定?；蚵龝r(shí)變情況，上述分析方法就不再適用了。必

16、須采取其他的控制方法，如魯棒控制、自適應(yīng)控制等。 目前的自適應(yīng)方法主要是參數(shù)自適應(yīng)，即用調(diào)整上述微分方程參數(shù)ai、bi的方法，使控制系統(tǒng)的性能達(dá)到預(yù)期的性能。但在調(diào)整時(shí)，系統(tǒng)不再是線性的了。 可以用各種方法調(diào)整參數(shù)，當(dāng)時(shí)間 時(shí)，調(diào)整ai、bi的方法不收斂，則系統(tǒng)一定是不穩(wěn)定的（除混沌外）。當(dāng)ai、bi收斂于某一常數(shù)值 、 時(shí)，則系統(tǒng)不一定是穩(wěn)定，因?yàn)檫@些參數(shù)決定了系統(tǒng)的最終性能。tiaib關(guān)于自適應(yīng)控制 如同上述分析定常系統(tǒng)模型的方法一樣，在復(fù)域看它的特征根，當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根均位于S平面的左半平面時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。 在時(shí)域，看當(dāng)時(shí)間 時(shí)，狀態(tài)x(t)是收斂的，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 可見，自適應(yīng)系

17、統(tǒng)的性能仍取決于參數(shù)。t關(guān)于自適應(yīng)控制 自適應(yīng)系統(tǒng)主要由控制器、被控對(duì)象、自適應(yīng)器及反饋控制回路和自適應(yīng)回路組成。自適應(yīng)系統(tǒng)原理圖關(guān)于自適應(yīng)控制 自適應(yīng)控制的劃分形式多樣，按照設(shè)計(jì)原理與結(jié)構(gòu)不同，分為兩種：o模型參考自適應(yīng)控制（MRAC）； 這類自適應(yīng)系統(tǒng)的突出特點(diǎn)就是本身附加一個(gè)參考模型，其體現(xiàn)人們對(duì)被控對(duì)象的要求，也就是說，參考模型的特性就是被控對(duì)象的理想特性，根據(jù)兩者狀態(tài)（或輸出）之間的偏差，實(shí)時(shí)進(jìn)行調(diào)整，使得在某種指標(biāo)下，被控對(duì)性的動(dòng)態(tài)特性與參考特性盡量接近。關(guān)于自適應(yīng)控制 o自校正控制系統(tǒng)（STC, Self-Tuning Controller ）； 這是在實(shí)際應(yīng)用較廣的、與系統(tǒng)辨識(shí)

18、技術(shù)聯(lián)系最為緊密的一類自適應(yīng)控制系統(tǒng)，它將在線辨識(shí)技術(shù)與最優(yōu)設(shè)計(jì)方法相結(jié)合。整個(gè)控制系統(tǒng)由兩個(gè)環(huán)構(gòu)成，內(nèi)環(huán)是由被控對(duì)象和通常的反饋控制器組成，控制器的參數(shù)通過外環(huán)來調(diào)整。調(diào)整方法是通過在線遞推估計(jì) （即系統(tǒng)辨識(shí)）和控制器在線設(shè)計(jì)來實(shí)現(xiàn)。自適應(yīng)控制系統(tǒng)的應(yīng)用與發(fā)展 飛行器控制是最早應(yīng)用自適應(yīng)控制的領(lǐng)域。 例如，在工業(yè)方面，加熱反應(yīng)爐的升溫自適應(yīng)控制，可使升溫圖曲線盡量接近試驗(yàn)所確定的理想曲線。 現(xiàn)有的自適應(yīng)控制系統(tǒng)主要遵循兩個(gè)原則： 1、一般只假定系統(tǒng)是線性定常的； 2、設(shè)計(jì)從系統(tǒng)的穩(wěn)定性出發(fā)；按照Lyapunov分析穩(wěn)定性的觀點(diǎn)，穩(wěn)定性是保證如果系統(tǒng)的初始偏差在一定范圍內(nèi)，隨著系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)間的加

19、大，偏差逐漸趨于零。 自適應(yīng)控制系統(tǒng)的應(yīng)用與發(fā)展 但是一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)，只具備穩(wěn)定性是不夠的，還要具備一定的穩(wěn)定速度，太慢了是沒有意義的。 自適應(yīng)控制所著力追求的是具有真正適應(yīng)能力的系統(tǒng)，自適應(yīng)是生命系統(tǒng)的一種基本能力，體現(xiàn)為系統(tǒng)的學(xué)習(xí)能力和智能水平。因此，自適應(yīng)控制的進(jìn)一步發(fā)展將借鑒人工智能（AI）的推動(dòng)。系統(tǒng)辨識(shí)篇System Identification講述內(nèi)容oChapter1系統(tǒng)辨識(shí)理論、方法及應(yīng)用；oChapter2系統(tǒng)辨識(shí)的經(jīng)典方法；oChapter3系統(tǒng)辨識(shí)的脈沖響應(yīng)法oChapter4智能技術(shù)在系統(tǒng)辨識(shí)中的應(yīng)用；Chapter1 SI是研究如何利用系統(tǒng)試驗(yàn)或運(yùn)行的、含有噪聲的輸入

20、輸出數(shù)據(jù)來建立被研究對(duì)象數(shù)學(xué)模型的一種理論和方法3。 SI就是一種利用數(shù)學(xué)方法從輸入輸出數(shù)據(jù)序列中提取對(duì)象數(shù)學(xué)模型的方法4。Chapter1o系統(tǒng)辨識(shí)的基本原理；o系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型；o隨機(jī)信號(hào)的描述與分析；o白噪聲與偽隨機(jī)碼；系統(tǒng)辨識(shí)的基本原理 再來回顧一下兩位著名學(xué)者對(duì)SI的定義，對(duì)于L.Ljung的理論，明確了系統(tǒng)辨識(shí)中的三大要素： 輸入、輸出數(shù)據(jù)（u，y，yg）； 模型類（Gg）； 等價(jià)準(zhǔn)則（ ）； 數(shù)據(jù)是辨識(shí)的基礎(chǔ)，準(zhǔn)則是辨識(shí)的優(yōu)化目標(biāo)，模型類是尋找模型的范圍。 SI的實(shí)質(zhì)就是從一組模型類中選擇一個(gè)模型，按照某種準(zhǔn)則，使之能最好地?cái)M合所研究的實(shí)際過程的動(dòng)態(tài)特性5 。 gyyJ,系統(tǒng)辨

21、識(shí)的基本原理 例如，一個(gè)工業(yè)爐加熱過程中，若忽略其他因素，控制的主要目標(biāo)是燃料流量Q（輸入）和爐膛溫度T（輸出）之間的關(guān)系： 系統(tǒng)辨識(shí)的基本原理 燃料流量Q（輸入）和爐膛溫度T（輸出）之間的關(guān)系： 欲建立T/Q模型，經(jīng)觀測(cè)得到一組輸入-輸出數(shù)據(jù)，記為 和 ，其中 為數(shù)據(jù)長度，同時(shí)，選定一組模型： lkkQ, 2 , 1, lkkT, 2 , 1, kenkQbkQbkQbnkTakTakTnn211211（A）l系統(tǒng)辨識(shí)的基本原理 （A）式相當(dāng)于表達(dá)了 的關(guān)系，在這個(gè)關(guān)系式中，T表示量測(cè)溫度，可表示為 表示了估計(jì)（計(jì)算）溫度 ，可表示為 表示干擾噪聲（量測(cè)誤差），表達(dá)了量測(cè)溫度等于估計(jì)溫度和量

22、測(cè)誤差之和。 keTT nkTakTakTTn11TnkQbkQbkQbTn2121 ke系統(tǒng)辨識(shí)的基本原理 再選定一個(gè)等價(jià)準(zhǔn)則 而Q與T之間的數(shù)學(xué)描述就是T/Q的數(shù)學(xué)模型的辨識(shí)問題，即根據(jù)所觀測(cè)的In-Out數(shù)據(jù) 和從模型類（A）式中尋找一個(gè)模型，也就是確定（A）式中的模型階次n及未知參數(shù) ，使準(zhǔn)則J=min。 由于觀測(cè)到的數(shù)據(jù)一般都含有噪聲，辨識(shí)建模實(shí)際上是一種實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)的方法，所獲得的模型只不過是與實(shí)際過程外特性等價(jià)的一種近似描述6 。 lknnlklknkQbkQbkQbnkTakTakTTTkeJ122111212211 lkkT, 2 , 1, lkkQ, 2 , 1,nibaii,

23、 2 , 1,系統(tǒng)辨識(shí)的基本原理等價(jià)準(zhǔn)則 在SI中，有一個(gè)很重要的概念，就是等價(jià)準(zhǔn)則，它是用來衡量模型接近實(shí)際過程的標(biāo)準(zhǔn)。而通常被辨識(shí)對(duì)象和模型的等價(jià)性是通過引入評(píng)價(jià)函數(shù)來定義的，這個(gè)評(píng)價(jià)函數(shù)稱為等價(jià)準(zhǔn)則函數(shù)。 對(duì)于相同的輸入u，若實(shí)際系統(tǒng)的輸出為y，模型Gg的輸出為yg，而被辨識(shí)對(duì)象和模型輸出這兩個(gè)輸出量之間的偏離值（誤差）e=y-yg ，采用的準(zhǔn)則函數(shù)如下： 連續(xù)信號(hào)下，準(zhǔn)則函數(shù)為 tTttTtggdttedttytyyyJ22,系統(tǒng)辨識(shí)的基本原理等價(jià)準(zhǔn)則 離散信號(hào)下，準(zhǔn)則函數(shù)為 在給定的模型類中，當(dāng)Gg使準(zhǔn)則函數(shù)最小時(shí)，定義Gg與對(duì)象等價(jià)。因此，辨識(shí)就是求使準(zhǔn)則函數(shù)最小的模型Gg的優(yōu)化問

24、題7。 我們發(fā)現(xiàn)，準(zhǔn)則函數(shù)通常表示成誤差e的函數(shù)，寫作 ，而在具體表達(dá)中，平方誤差準(zhǔn)則用得最多，而根據(jù)誤差的定義形式，又可分為輸出誤差、輸入誤差和廣義誤差形式。22,eyyyyJNkgg efyyJg, 2eef系統(tǒng)辨識(shí)的基本原理等價(jià)準(zhǔn)則 我們回憶一下自控原理中，對(duì)誤差的理解： 從輸出端定義：系統(tǒng)輸出量的希望值與實(shí)際值之差，但在實(shí)際中此差值信號(hào)常常無法測(cè)量，一般只有數(shù)學(xué)意義； 從輸入端定義：系統(tǒng)的輸入信號(hào)與主反饋信號(hào)之差。此信號(hào)在實(shí)際中可測(cè)量，所以具有一定的物理意義。閉環(huán)系統(tǒng)框圖系統(tǒng)辨識(shí)的基本原理等價(jià)準(zhǔn)則 輸出誤差：令輸出誤差為 輸出誤差通常是參數(shù)的非線性函數(shù)，這種參數(shù)辨識(shí)是一種復(fù)雜的非線性最

25、優(yōu)化問題，當(dāng)誤差和參數(shù)的關(guān)系是一次函數(shù)時(shí)，稱模型是關(guān)于參數(shù)線性的。 參數(shù)線性模型按照最小均方誤差準(zhǔn)則，采用最小二乘（LS，Least Square），可實(shí)現(xiàn)對(duì)參數(shù)辨識(shí)。 辨識(shí)技術(shù)為非參數(shù)模型轉(zhuǎn)化為參數(shù)模型提供了手段。 這里，系統(tǒng)線性和參數(shù)線性是不同的概念。gyye系統(tǒng)辨識(shí)的基本原理等價(jià)準(zhǔn)則 輸入誤差：令輸出誤差為 其中， 為模型Gg的逆系統(tǒng)，其關(guān)系如圖： tyGtutututeg11gG輸入誤差示意圖1gG系統(tǒng)辨識(shí)的基本原理等價(jià)準(zhǔn)則 廣義誤差：將輸入、輸出誤差組合而成，定義為 其中， 和 稱為廣義模型。 廣義誤差示意圖 tuGtyGteg111G12G系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型 前面我們已對(duì)數(shù)學(xué)模型做

26、過分析，對(duì)于SI過程，弄清各類模型的表達(dá)形式、相互轉(zhuǎn)換及應(yīng)用場(chǎng)合十分必要。 按施加信息的特征，分為連續(xù)型和離散型； 按系統(tǒng)分析定義，分為時(shí)間域和頻率域； 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)按描述模型方式，劃分為參數(shù)型和非參數(shù)型，參數(shù)型用模型的系數(shù)來描述系統(tǒng)，如微分方程和傳遞函數(shù)中的ai、bi系數(shù)，狀態(tài)空間方程中的系數(shù)矩陣A，B。 非參數(shù)指模型用響應(yīng)曲線來描述，如時(shí)域中的脈沖響應(yīng)模型、頻域中的頻率響應(yīng)模型。系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型 引入自動(dòng)控制原理中，大家熟悉的內(nèi)容： 二階系統(tǒng)欠阻尼時(shí)的單位階躍響應(yīng)系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型 引入自動(dòng)控制原理中，大家熟悉的內(nèi)容： 三階I型系統(tǒng)的奈氏圖系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型 引入自動(dòng)控制原理中，大家熟悉的內(nèi)

27、容： 二階I型系統(tǒng)的波特圖11 . 010jjjG系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型 從發(fā)展上看，以往動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和控制分析中，非參數(shù)模型曾得到了廣泛的應(yīng)用，目前也有很多應(yīng)用。隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，參數(shù)模型已成為應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)描述方法。 辨識(shí)技術(shù)為非參數(shù)模型轉(zhuǎn)化為參數(shù)模型提供了手段。 非參數(shù)模型可通過實(shí)驗(yàn)獲得，而參數(shù)模型又可從非參數(shù)模型得到。例如，可從脈沖響應(yīng)或頻率特性，用最小二乘法擬合的方法，得到傳遞函數(shù)。系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-參數(shù)模型類 （一）連續(xù)系統(tǒng)的參數(shù)模型 一個(gè)線性連續(xù)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)可以分別用時(shí)域的微分方程和頻域的傳遞函數(shù)來表示。連續(xù)時(shí)間、線性、定常系統(tǒng)，其動(dòng)態(tài)特性可以用n階微分方程來表示： SISO系統(tǒng)示意

28、圖c(t)adtdc(t)adtc(t)dadtc(t)da011 -n1 -n1 -nnnnr(t)bdtdr(t)bdtr(t)ddtr(t)db011 -m1 -m1 -mmmmb（B）系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-參數(shù)模型類 （一）連續(xù)系統(tǒng)的參數(shù)模型 微分系數(shù) 和 與系統(tǒng)階次n和m，決定了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，是系統(tǒng)需要辨識(shí)的參數(shù)。 對(duì)（B）式進(jìn)行Laplace（拉式）變換，在假定初始條件為零的條件下，寫成復(fù)數(shù)域形式： niai, 2 , 1mjbj, 2 , 1R(s)bsR(s)bR(s)sbR(s)sb) s (Ca) s (sCaC(s)saC(s)sa011m-1mmm011n-1nnn 系

29、統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-參數(shù)模型類 Laplace變換: 設(shè)函數(shù)f(t)當(dāng) 時(shí)有定義，積分 （s為復(fù)參量）在s平面的某一域內(nèi)收斂，稱 為函數(shù)f(t)的Laplace變換，記為 。F(s)稱為f(t)的象函數(shù)。 將微分方程的 用復(fù)變量s替換，c(t)和r(t)就轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的象函數(shù)C(s)和R(s)。 0t dtetfst0 dtetfsFst0 tfLsFdtd系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-參數(shù)模型類 Laplace變換的重要性質(zhì): 時(shí)域微分 若 ，則 初值定理 若 ，且 存在，則 終值定理 若 ，且 所有極點(diǎn)均在s平面左半平面（穩(wěn)定），則 sFtfL 0fssFtfL sFtfL ssFslim ssFfs

30、lim0 sFtfL ssF ssFfs0lim系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-參數(shù)模型類 Laplace變換的重要性質(zhì): 卷積定理 在Fourier變換中，卷積定義為： 在Laplace變換中，當(dāng)t0時(shí)，f1(t)=f2(t)=0，此時(shí)，卷積為 則卷積定理為 dtfftftf2121 dtfftftft02121 sFsFtftfL2121系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-參數(shù)模型類 下面引入R-C電路，說明卷積的應(yīng)用 由基爾霍夫電壓定律，有 其中， ，即獲得該電路的微分方程?，F(xiàn)要求在已知ur (t)的條件下，求uc (t) ？ （1）直接解微分方程，求出兩者的關(guān)系式； （2）將微分方程做拉式變換，得到 將ur(t)

31、轉(zhuǎn)換為Ur(s)，代入，求得Uc(s)，再拉式反變換。RC電路dtduCicrccuudtduRC sUsURCsrc1系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-參數(shù)模型類 （3）利用卷積定理 求得 進(jìn)行反變換，得到 由于 ，根據(jù)卷積定理，則 故 若已知ur=1(t)，則 11RCssUsUsGrc tRCeRCsGLtg111 sRsGsC trtgtc trrcdutgtutgtu0 tRCtRCtRCttRCtrcedeeRCdeRCdutgtu101010111系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-參數(shù)模型類 （一）連續(xù)系統(tǒng)的參數(shù)模型 定義傳遞函數(shù)為輸出的拉式變換與輸入的拉式變換之比： s為拉式變換算子。 011n1nnn0

32、11m1mmmasasasabsbsbsbR(s)C(s) sG微分方程（時(shí)域）系統(tǒng)系統(tǒng)傳遞函數(shù)（復(fù)域）頻率特性（頻域）LFts1F1Lsjsj線性系統(tǒng)描述方式之間的關(guān)系系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-參數(shù)模型類 （一）連續(xù)系統(tǒng)的參數(shù)模型 對(duì)于MIMO系統(tǒng)，考察一個(gè)m個(gè)輸入和r個(gè)輸出的MIMO， 記 ，則傳遞函數(shù)為 MIMO系統(tǒng)示意圖 TmsUsUsUsU,21 TrsYsYsYsY,21 sUsYsG系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-參數(shù)模型類 （一）連續(xù)系統(tǒng)的參數(shù)模型 展開,形式為： MIMO系統(tǒng)還可以用狀態(tài)空間來描述，表示為 X(t)為n維狀態(tài)向量； U(t)為m維輸入向量； Y(t)為r維輸出向量； A(t)為

33、nn階系數(shù)矩陣； B(t)為nm階控制矩陣； C(t)為rn階輸出矩陣； D(t)為rm階前饋矩陣； sUsUsUsGsGsGsGsGsGsGsGsGsYsYsYmrmrrmmr2121222211121121 tUtDtXtCtYtUtBtXtAtX系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-參數(shù)模型類 （二）離散系統(tǒng)的參數(shù)模型 若系統(tǒng)描述為一個(gè)或者多個(gè)變量?jī)H在離散的瞬間改變它們的值，稱之為離散時(shí)間系統(tǒng)。與連續(xù)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)，一個(gè)線性離散的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)可以用時(shí)域的差分方程和頻域的Z變換傳遞函數(shù)來表示。 在單變量及不考慮系統(tǒng)干擾的情況下，其離散輸入量u(k)及輸出量y(k)之間的關(guān)系表示為如下差分方程形式： babnannnn

34、kuakubkubnkyakyakyba11101（C）系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-參數(shù)模型類 （二）離散系統(tǒng)的參數(shù)模型 若引入后移算子 ，并定義 再用多項(xiàng)式表示 故（C）式可表示為 1q 11kykyqbbaannnnqaqbqbbqBqaqaqaqA221101221111 kuqBkyqA11系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-參數(shù)模型類 （二）離散系統(tǒng)的參數(shù)模型 對(duì)（C）式進(jìn)行Z變換，設(shè)初始條件為零（y(k)=u(k)=0,k0），則表示為 其中，z為傅里葉變換算子，則z傳遞函數(shù)定義為 即在離散系統(tǒng)中，差分方程可通過Z變換得到Z傳遞函數(shù)。 bannnnnnzUqaqbbzYzazazabbaa11022111

35、 aabbnnnnzazazaqaqbbzUzYzH22111101系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-非參數(shù)模型類 非參數(shù)模型是指從系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)過程，直接或間接獲得的響應(yīng)，它不能表示為對(duì)象的有限參數(shù)模型。例如：所記錄到的一個(gè)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)、脈沖響應(yīng)、頻率響應(yīng)都屬于非參數(shù)模型，采用相關(guān)分析、頻譜分析所得到的結(jié)果也屬于非參數(shù)模型。對(duì)于這類模型，不需要選擇其模型結(jié)構(gòu)，也不必要估計(jì)模型參數(shù)，因此，適用于描述任意復(fù)雜的系統(tǒng)。 系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-非參數(shù)模型類 脈沖信號(hào)-表示為一個(gè)持續(xù)時(shí)間極短的信號(hào)； 階躍信號(hào)-表示為參考輸入量的一個(gè)瞬間突變過程； 斜坡信號(hào)-表示信號(hào)由零值開始隨時(shí)間t作線性增 長； 等加速度信號(hào)-是一種

36、拋物線函數(shù)，表示函數(shù)值隨 時(shí)間以等加速度增長；o正弦信號(hào)-模擬海浪運(yùn)動(dòng)模型，船舶的消擺運(yùn)動(dòng)； 典型測(cè)試信號(hào)應(yīng)具備三個(gè)條件：一是數(shù)學(xué)表達(dá)式簡(jiǎn)單，便于理論計(jì)算，二是易于在現(xiàn)場(chǎng)或?qū)嶒?yàn)室獲得；三是控制系統(tǒng)在這種函數(shù)作用下的性能代表在實(shí)際工作條件下的性能；系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-非參數(shù)模型類 回到我們學(xué)過的自動(dòng)控制原理相關(guān)理論來分析。我們發(fā)現(xiàn)，任何輸入激勵(lì)信號(hào)u(t)可以分解為脈沖信號(hào)之和（或階躍信號(hào)之和），而根據(jù)疊加原理，在所有起始條件均為零時(shí)，線性定常（時(shí)不變）系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)可以用輸入激勵(lì)信號(hào)u(t)和系統(tǒng)的輸出脈沖響應(yīng)（或稱脈沖過渡）函數(shù)g(t)的卷積的積分來求解。 ttdtugdutgtutgty0

37、0 sUsGsY系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-非參數(shù)模型類 如果輸入u(t)等于 ，即當(dāng)輸入激勵(lì)信號(hào)為單位脈沖函數(shù)時(shí)，則 那么，系統(tǒng)脈沖響應(yīng)g(t)完全描述了系統(tǒng)的特性，因此，能辨識(shí)出系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)就是實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的辨識(shí)。 我們?cè)诜治鲎钥卦碇械囊浑A系統(tǒng)時(shí)，得到過一個(gè)很重要的結(jié)論：一個(gè)輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)的時(shí)域響應(yīng)等于該輸入信號(hào)時(shí)域響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)；一個(gè)輸入信號(hào)積分的時(shí)域響應(yīng)，等于該輸入信號(hào)時(shí)域響應(yīng)的積分。 t tgdutgtyt0系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-非參數(shù)模型類 對(duì)于一階系統(tǒng)（1）單位脈沖響應(yīng)：（2）單位階躍響應(yīng)：（3）單位斜坡響應(yīng)： TssG11 tTeTtgtc11 tTetc11 tTeTttc11系統(tǒng)描述的數(shù)

38、學(xué)模型-非參數(shù)模型類 上述性質(zhì)，對(duì)二階和高階系統(tǒng)仍然適用，因此，在以后的討論中，都主要研究系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。 只要討論了一種典型信號(hào)，就可以推知其他。也就是說，當(dāng)我們獲得了系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型后，如果想進(jìn)一步探討系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性時(shí)，經(jīng)常采用階躍激勵(lì)。 而在系統(tǒng)辨識(shí)中，求出系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)就是實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的辨識(shí)。 （后續(xù)，我們?cè)賮硖接懭绾螒?yīng)用脈沖響應(yīng)求取數(shù)學(xué)模型-傳遞函數(shù)-進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為微分方程。）系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-非參數(shù)模型類 （二）離散系統(tǒng)的非參數(shù)模型 對(duì)于離散系統(tǒng)，受到一個(gè)單位脈沖（Delta）函數(shù)激勵(lì)后的系統(tǒng)響應(yīng)。這種形式表示為加權(quán)序列K(nT)（即脈沖響應(yīng)的離散化）?；貞浺幌逻B續(xù)系統(tǒng)：微分方程

39、脈沖響應(yīng)g(t)（脈沖過渡函數(shù)） G(s) 若輸入 ttr sGLsRsGLsCLtg111系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)模型-非參數(shù)模型類 對(duì)于離散系統(tǒng)：差分方程 加權(quán)序列K(nT) G(z)（脈沖傳遞函數(shù)） 輸入脈沖值分別為 、 、 即 （表明差分方程中的系數(shù) ai、bi與權(quán)序列之間的關(guān)系） nTr0 TnTr1 nnznTKzG0 mkkkmkkkzazbzRzCzG101 TnTr22隨機(jī)信號(hào)的描述與分析 為了達(dá)到辨識(shí)的目的，待測(cè)系統(tǒng)必須產(chǎn)生一個(gè)滿足辨識(shí)條件的動(dòng)態(tài)過程?？梢岳孟到y(tǒng)本身存在或人為干預(yù)進(jìn)行動(dòng)態(tài)激勵(lì)。 通常采用外加激勵(lì)信號(hào)使系統(tǒng)產(chǎn)生擾動(dòng)而形成動(dòng)態(tài)激勵(lì)，而所施加信號(hào)按性質(zhì)可分為脈沖信號(hào)、階躍

40、信號(hào)、斜坡信號(hào)及白噪聲信號(hào)（工業(yè)測(cè)試用偽隨機(jī)信號(hào)）。 一般認(rèn)為具有可調(diào)頻帶且能量均勻分布在頻帶上的準(zhǔn)白噪聲信號(hào)-偽隨機(jī)信號(hào)是較理想的辨識(shí)擾動(dòng)信號(hào)，其已廣泛應(yīng)用為經(jīng)典辨識(shí)方法和現(xiàn)代辨識(shí)方法中的擾動(dòng)信號(hào)。隨機(jī)信號(hào)的描述與分析 擾動(dòng)信號(hào)分類隨機(jī)信號(hào)的描述與分析 由于實(shí)際系統(tǒng)中總存在一些不確定的因素（或隨機(jī)因素），即在實(shí)際問題中，常要涉及在實(shí)驗(yàn)過程中隨時(shí)間不斷變化的隨機(jī)變量，其不能用已知時(shí)間函數(shù)描述。但這些隨機(jī)變量會(huì)影響狀態(tài)變量及輸出變量，因而無法使結(jié)果確切地被計(jì)算出來，而只能計(jì)算出“該過程或過程在一組可能的情況下出現(xiàn)某一種情況”的概率（只能獲得一些統(tǒng)計(jì)特性，如均值、方差、功率譜密度）。此時(shí)，就要用一

41、個(gè)隨機(jī)模型來描述這樣的系統(tǒng)隨機(jī)過程(Stochastic Process)或隨機(jī)函數(shù)。隨機(jī)信號(hào)的描述與分析隨機(jī)過程的概念及數(shù)學(xué)描述；平穩(wěn)隨機(jī)過程與各態(tài)歷經(jīng)性；隨機(jī)過程的譜分解與譜密度函數(shù)；隨機(jī)過程的概念 在一給定（特定）的時(shí)間，一個(gè)城市的電力負(fù)荷是一個(gè)隨機(jī)變量，而在一段時(shí)間內(nèi)，負(fù)荷（隨機(jī)變量）就為時(shí)間的函數(shù)。某電話交換臺(tái)第n天的電話呼喚xn是一個(gè)隨機(jī)變量，而長期的記錄x1,x2,就為一簇?zé)o窮多個(gè)隨機(jī)變量構(gòu)成的時(shí)間常數(shù)。 一般像測(cè)量系統(tǒng)、控制系統(tǒng)等一些連續(xù)工作的系統(tǒng)，當(dāng)分析系統(tǒng)的品質(zhì)時(shí)，就必須考慮各種隨機(jī)干擾的影響，這些隨機(jī)干擾本身所引起的系統(tǒng)的響應(yīng)都是隨時(shí)間變化的隨機(jī)變量。隨機(jī)過程的概念 通常

42、，把依賴于參數(shù) 的隨機(jī)變量族 稱為隨機(jī)過程，參數(shù)集T通常是指時(shí)間常數(shù)。Tt Tttx,隨機(jī)過程的概念例如，在滌綸抽絲的生產(chǎn)過程中，滌綸絲的直徑總是隨時(shí)間變化的，但并不確切地知道它如何變化，當(dāng)然也就不能用一個(gè)確切的時(shí)間函數(shù)來描述。它的變化是隨機(jī)性質(zhì)的。如右圖。隨機(jī)過程的概念 表示一條滌綸絲直徑隨時(shí)間隨機(jī)變化的曲線，是一個(gè)隨機(jī)信號(hào)1 。 同理，有n條同時(shí)抽出的滌綸絲，其直徑隨時(shí)間隨機(jī)變化的曲線 也都是隨機(jī)信號(hào)。它們的集合就稱為隨機(jī)信號(hào)的總體2。 隨機(jī)信號(hào)在每一時(shí)刻的數(shù)值都是一個(gè)隨機(jī)變量3 ,而隨機(jī)變量又是時(shí)間的函數(shù)，可稱為隨機(jī)過程4 。 把依賴于參數(shù) 的隨機(jī)變量族 稱為隨機(jī)過程5 。參數(shù)集T通常是

43、指時(shí)間參數(shù)。 tx1 txtxtxn,32Tt Tttx,隨機(jī)過程的概念 對(duì)于隨機(jī)過程的研究，可以在完全相同的條件下進(jìn)行多次測(cè)試，這樣就能得到很多的樣本，但它們的變化過程互不相同。樣本具有偶然性，但它們總體卻往往具有統(tǒng)計(jì)意義上的規(guī)律性。 按照嚴(yán)格的定義，所謂“隨機(jī)過程”就是大量x1(t) ，x2(t) ，所構(gòu)成的總體6 。即隨機(jī)函數(shù)是一簇?zé)o窮多個(gè)隨機(jī)變量，這無窮多個(gè)互相有關(guān)的隨機(jī)變量的集合記為 ，其中，T是一個(gè)無窮集合。 Tttx,隨機(jī)過程的概念 一個(gè)隨機(jī)過程 ，實(shí)際上是兩個(gè)變量的二元函數(shù)，其中一個(gè)變量為樣本空間 中的 （基本事件），另一個(gè)是參數(shù)集T中的t。 當(dāng)t固定為ti時(shí)， 為隨機(jī)變量；

44、當(dāng) 固定為 時(shí)， 為時(shí)間t的函數(shù)（非隨機(jī)）； 由于固定 ，表示某一次實(shí)驗(yàn)，故稱為隨機(jī)過程的一個(gè)樣本函數(shù)（一個(gè)現(xiàn)實(shí)）。 因此，隨機(jī)過程兼有隨機(jī)變量和函數(shù)的雙重特點(diǎn)。 Tttx,itxiitx,itx,隨機(jī)過程的概念 例如，考察一個(gè)最簡(jiǎn)單的標(biāo)量線性系統(tǒng)其中 為正態(tài)隨機(jī)變量，且 。容易解此微分方程，得 。對(duì)于每一個(gè)t值（ ），x(t)是零均值和方差為t2的正態(tài)隨機(jī)變量。因此， x(t)表示具有參數(shù)t的隨機(jī)變量族，因此它是隨機(jī)過程。 有四種解釋： 為確定數(shù)值； 為隨機(jī)變量； 為時(shí)間函數(shù)； 為隨機(jī)過程；iittx,ttxii,ttx, 00 xtx且1 , 0N ttx0tiiiittx,隨機(jī)過程的概念

45、 關(guān)于T的解釋：（1）（2） （3） 這里，T一般表示時(shí)間，當(dāng)T為（3）時(shí)，為隨機(jī)過程（參數(shù)集取某個(gè)區(qū)間），記為 ；而T為（1）和（2）兩種情況時(shí)，稱之為隨機(jī)序列7 （參數(shù)集取離散值），記為 ； 在實(shí)際應(yīng)用中，無法獲得隨機(jī)過程的全部樣本，引入既能刻畫隨機(jī)過程的基本特性，又能便于實(shí)際測(cè)量的數(shù)字特性-均值、均方值、方差、自相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)、互相關(guān)函數(shù)、互協(xié)方差函數(shù)。 , 2 , 1 , 0T, 2, 1, 0TbabaT, Tttx, Tkkx,隨機(jī)過程的數(shù)字特征 均值 當(dāng)分析一個(gè)動(dòng)態(tài)信號(hào)時(shí)，常使用的方法是將信號(hào)視為靜態(tài)信號(hào)（即不隨時(shí)間變化的分量）和動(dòng)態(tài)信號(hào)（即波動(dòng)分量）的和。其中，靜態(tài)分量可

46、用均值表示。 回憶自動(dòng)控制原理中，也有對(duì)誤差信號(hào)的探討。動(dòng)態(tài)響應(yīng)也包含有瞬態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量。如果所研究的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么當(dāng)時(shí)間t趨于無窮時(shí)，誤差信號(hào)中的瞬態(tài)分量必趨近于零，剩下的只有穩(wěn)態(tài)分量，稱控制系統(tǒng)誤差信號(hào)的穩(wěn)態(tài)分量為穩(wěn)態(tài)誤差。隨機(jī)過程的數(shù)字特征 補(bǔ)充內(nèi)容： 若給定隨機(jī)過程 ，對(duì)于每一個(gè) ，則 為隨機(jī)變量，其分布函數(shù)定義為： 相應(yīng)的密度函數(shù) 稱 F(x,t)為隨機(jī)過程 的一維分布。 一維分布不足以描述隨機(jī)過程，它不能回答隨機(jī)過程 在不同t時(shí)的相關(guān)性問題。當(dāng)參數(shù)t取t1，t2時(shí)，就有兩個(gè)隨機(jī)變量x(t1)和x(t2)，需考慮它們的聯(lián)合分布： Tttx,Tt tx Tttx, TtxtxPt

47、xF,xtxFtxf, TttxtxxtxPttxxF2122112121, Tttx,隨機(jī)過程的數(shù)字特征 均值 若給定隨機(jī)過程 ，固定 ，則是一隨機(jī)變量，均值一般與t有關(guān)，記為 其中， 是隨機(jī)過程 的均值函數(shù)； 為隨機(jī)過程的一維密度函數(shù)； 對(duì)于隨機(jī)序列有 稱m為隨機(jī)序列 的均值函數(shù)。 Tttx,Tt tx dxtxptxtxEtx,1 tx Tttx,txp,1 kkkxpkxkxEm, Tkkx,隨機(jī)過程的數(shù)字特征 均方值 均方值是為隨機(jī)信號(hào)提供有關(guān)強(qiáng)度，它是時(shí)間歷程平方值的簡(jiǎn)單平均值，又稱為隨機(jī)變量的二階原點(diǎn)矩，記為 對(duì)于隨機(jī)序列有 、 分別稱為隨機(jī)過程和隨機(jī)序列的均方值函數(shù)。 dxtx

48、ptxtxEtx,1222 kkxpkxkxEkkx,222 tx2 kx2隨機(jī)過程的數(shù)字特征 方差 方差在表達(dá)方式上等于均方值減去均值的平方，它表示隨機(jī)過程在該時(shí)刻對(duì)于均值的平均偏離程度，又稱之為隨機(jī)變量的二階中心矩。記為 方差 有時(shí)也記作- 對(duì)于隨機(jī)序列，則 和 分別稱作隨機(jī)過程和隨機(jī)序列的方差函數(shù)。 tdxtxptxttxEtxxx212222, t2 txVar kx2 kx2 212222,mkkxpkxmkxEkkx隨機(jī)過程的數(shù)字特征 自相關(guān)函數(shù) 隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)是描述兩個(gè)信號(hào)數(shù)值間的依存關(guān)系的?？疾靸蓚€(gè)信號(hào)x(t)和y(t)，他們都是時(shí)間的函數(shù)，若其中一個(gè)信號(hào)的數(shù)值總是以某種方

49、式依存于另一個(gè)信號(hào)的數(shù)值，則稱這兩個(gè)信號(hào)是相關(guān)的。 自相關(guān)函數(shù)是描述信號(hào)x(t1) 的某一時(shí)刻值與另一時(shí)刻值 x(t2) 間的依存程度，這樣就有兩個(gè)隨機(jī)變量了，若設(shè)它們的二維密度函數(shù)為 ，則自相關(guān)函數(shù)記為21212,ttxxp 2121212212121,dxdxttxxpxxtxtxEttRx隨機(jī)過程的數(shù)字特征 自相關(guān)函數(shù) 1t2t隨機(jī)過程的數(shù)字特征 練習(xí)1： 設(shè) 為隨機(jī)過程，其中， 和 為隨機(jī)變量， ， ， ，求 x(t)的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。 Tttx, ttx 0EE 212E 222EE隨機(jī)過程的數(shù)字特征 練習(xí)1： 設(shè) 為隨機(jī)過程，其中， 和 為隨機(jī)變量， ， ， ，求 x(t)的

50、均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。 Tttx, ttx 0EE 212E 222EE 0tEEtEtxEtx 21222121212212212212212121,t tttt tEttEEt tttEttEtxtxEttRx隨機(jī)過程的數(shù)字特征 協(xié)方差函數(shù) 隨機(jī)過程 對(duì)任意兩個(gè)時(shí)刻t1、t2的協(xié)方差函數(shù)記為其中， 。描述過程在任意兩個(gè)不同時(shí)刻t1、t2所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)隨機(jī)變量x(t1)和x(t2)的相關(guān)性。當(dāng)t1=t2=t時(shí)， 協(xié)方差就轉(zhuǎn)化為方差。所以方差是特例，不作為隨機(jī)過程的基本特征量。 21212122211221121,dxdxttxxpttxttxttxttxEttCxxxxx txEtx 22,x

51、xxttxEttC Tttx,隨機(jī)過程的數(shù)字特征 練習(xí)2： 證明均值函數(shù)、相關(guān)函數(shù)與協(xié)方差函數(shù)具有如下關(guān)系： ttRtxx,2 tttRtttxxxxx2222, 212121,ttttRttCxxxx隨機(jī)過程的數(shù)字特征 練習(xí)3： 設(shè) 為隨機(jī)過程， 和 為隨機(jī)變量，其一、二階矩存在 ，試求 和 的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。這里，一階矩和二階矩分別指代均值和均方值； BAttxAB ttx, dxttYt01 dttdxtZ隨機(jī)過程的數(shù)字特征 練習(xí)3： 設(shè) 為隨機(jī)過程， 和 為隨機(jī)變量，其一、二階矩存在 ，試求 和 的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。 BAttxAB ttx, dxttYt01 dttdxtZ

52、 BEAEttBEttAEtdBEtdAEtdBAEtdxEtdxtEtYEtttttty212111111200000隨機(jī)過程的數(shù)字特征 練習(xí)3： 設(shè) 為隨機(jī)過程， 和 為隨機(jī)變量，其一、二階矩存在 ，試求 和 的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。 BAttxAB ttx, dxttYt01 dttdxtZ 241,221212221002121212001212210021212121121212BEttABEt tAEEBddt tABEddt tAEddBABAEt ttYtYEttRtttttty 隨機(jī)過程的數(shù)字特征 練習(xí)3： 設(shè) 為隨機(jī)過程， 和 為隨機(jī)變量，其一、二階矩存在 ，試求 和 的均

53、值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。 BAttxAB ttx, dxttYt01 dttdxtZ AtxdttdxtZ AEtZEtZ ,22121AEtZEtZEttRZ隨機(jī)過程的數(shù)字特征 練習(xí)4： 設(shè) 為隨機(jī)過程，a為常數(shù)，設(shè) ，試以x(t)的自相關(guān)函數(shù)表示y(t)的自相關(guān)函數(shù)。 )()(txatxty ttx,隨機(jī)過程的數(shù)字特征 練習(xí)4： 設(shè) 為隨機(jī)過程，a為常數(shù)，設(shè) ，試以x(t)的自相關(guān)函數(shù)表示y(t)的自相關(guān)函數(shù)。y(t)的自相關(guān)函數(shù)為 )()(txatxty ttx, 212121212121212122112121,ttRattRtatRatatRtxtxEatxtxEtxatxEatxatx

54、EtxatxtxatxEtytyEttRxxxxy隨機(jī)過程的數(shù)字特征 練習(xí)5： 設(shè) 為隨機(jī)過程，且其中，x是在(0,1)上服從均勻分布的隨機(jī)變量，求y(t)的均值函數(shù)，自相關(guān)函數(shù)。 tty, xtety隨機(jī)過程的數(shù)字特征 練習(xí)5： 設(shè) 為隨機(jī)過程，且其中，x是在(0,1)上服從均勻分布的隨機(jī)變量，求y(t)的均值函數(shù)，自相關(guān)函數(shù)。 由題設(shè)條件，知x的概率密度為y(t)的均值函數(shù)為 tty, xtety 其他0101xxf tedxedxxfeeEtyEttxtxtxty110隨機(jī)過程的數(shù)字特征 練習(xí)5： 設(shè) 為隨機(jī)過程，且其中，x是在(0,1)上服從均勻分布的隨機(jī)變量，求y(t)的均值函數(shù)，自

55、相關(guān)函數(shù)。 y(t)的自相關(guān)函數(shù)為 tty, xtety 10212121212121211,ttedxedxxfeeeEtytyEttRttxttxttxtxty隨機(jī)過程的數(shù)字特征 互相關(guān)函數(shù) 若有兩個(gè)隨機(jī)過程x(t)和y(t)需同時(shí)考慮時(shí)，有 互協(xié)方差函數(shù) 定義為變量x(t1)和y(t2)的相關(guān)矩，記作 兩者也有如下關(guān)系： 2121,tytxEttRxyTtt21, 212122112121,ttttRttyttxEtytxCovttCyxxyyxxy 212121,ttttRttCyxxyyx平穩(wěn)隨機(jī)過程與各態(tài)歷經(jīng)性 平穩(wěn)隨機(jī)過程與寬平穩(wěn)隨機(jī)過程：如果一個(gè)隨機(jī)過程 的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)不隨時(shí)間而改

56、變，則稱之為平穩(wěn)隨機(jī)過程。 若對(duì)于任意n和任意選定t1t2tn, tk T，k=1, 2, , n，及為任意值，且x1, x2, ,xnR，有 fn(x1, x2, , xn; t1, t2, , tn)=fn(x1, x2, , xn; t1+, t2+ , , tn+) 則稱x(t) ,tT為平穩(wěn)隨機(jī)過程。 Tttx,式（1）平穩(wěn)隨機(jī)過程與各態(tài)歷經(jīng)性 該定義說明，當(dāng)取樣點(diǎn)在時(shí)間軸上作任意平移時(shí)，隨機(jī)過程的所有有限維分布函數(shù)是不變的，具體到它的一維分布, 則與時(shí)間t無關(guān)，而二維分布只與時(shí)間間隔有關(guān)，即有 f1(x1, t1)=f1(x1) （一維分布）和 f2(x1, x2; t1, t2)

57、=f2(x1, x2;) （二維分布） 以上兩式可由式（1）分別令n=1和n=2, 并取=-t1得證。于是平穩(wěn)隨機(jī)過程 的均值為 常數(shù) Tttx,adxxfxdxtxfxtxEtx11111111111)(),()()(adxxfxdxtxfxtxEtx11111211122)(),()()(平穩(wěn)隨機(jī)過程與各態(tài)歷經(jīng)性 這說明，平穩(wěn)隨機(jī)過程的各樣本函數(shù)圍繞著一水平線起伏。同樣，可以證明平穩(wěn)隨機(jī)過程的方差2(t)=2=常數(shù)，表示它的起伏偏離數(shù)學(xué)期望的程度也是常數(shù)。 121112112111121122112)()(),()()()(tdxxftxtdxtxftxttxEtxxxx 22111222

58、2121122222222)()(),()()()(tdxxftxtdxtxftxttxEtxxxx平穩(wěn)隨機(jī)過程與各態(tài)歷經(jīng)性 而平穩(wěn)隨機(jī)過程x(t) ,tT的自相關(guān)函數(shù): 表明僅是時(shí)間間隔=t2-t1的函數(shù)，而不再是t1和t2的二維函數(shù)。以上表明，隨機(jī)過程x(t) ,tT具有“平穩(wěn)”的數(shù)字特征：它的均值與時(shí)間無關(guān)（均值不變）；它的自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)，即 )();,(,21212211121xxRdxdxxxfxxtxtxEttR xxxxRttRttRttR124321,平穩(wěn)隨機(jī)過程與各態(tài)歷經(jīng)性 僅僅由一個(gè)隨機(jī)過程的均值是常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)是的函數(shù)還不能充分說明它符合平穩(wěn)條件，為此引入另

59、一種平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義： 當(dāng)均值不隨時(shí)間改變，即 ，自相關(guān)函數(shù) ，則稱這個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程稱為寬（廣義）平穩(wěn)隨機(jī)過程。 我們所談的平穩(wěn)隨機(jī)過程就是指寬平穩(wěn)隨機(jī)過程（）。 xxxtt21 xxxxRttRttRttR124321,平穩(wěn)隨機(jī)過程與各態(tài)歷經(jīng)性 設(shè) 為平穩(wěn)隨機(jī)過程 的相關(guān)函數(shù)，則 Tttx, xR txtxERx隨機(jī)過程的數(shù)字特征 練習(xí)6： 設(shè) 為隨機(jī)過程，且其中，x是在0,2上服從均勻分布的隨機(jī)變量，證明： 不是平穩(wěn)隨機(jī)過程。 tty, xttysin tty,隨機(jī)過程的數(shù)字特征 練習(xí)6： 設(shè) 為隨機(jī)過程，且其中，x是在0,2上服從均勻分布的隨機(jī)變量，證明： 不是平穩(wěn)隨機(jī)過程。 不是常數(shù)

60、，故 不是平穩(wěn)隨機(jī)過程。 tty, xttysin tty, ttdxtxtxEtyE22cos121sinsin tty,隨機(jī)過程的數(shù)字特征 練習(xí)7： 隨機(jī)振幅正弦波 其中，X和Y都是隨機(jī)變量，且EX=EY=0，DX=DY=1(方差)，EXY=0.證明Z(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程。 tYtXtZ2sin2cos隨機(jī)過程的數(shù)字特征 練習(xí)7： 隨機(jī)振幅正弦波 其中，X和Y都是隨機(jī)變量，且EX=EY=0，DX=DY=1(方差)，EXY=0.證明Z(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程。 由已知條件，知?jiǎng)t tYtXtZ2sin2cos122YEXE 02sin2cos2sin2cosYEtXEttYtXEtZE隨機(jī)過程的數(shù)