從折紙活動到邏輯思維

1、 從折紙活動到邏輯思維 -我教角平分線的作法與性質(zhì)湖北華一寄宿學(xué)校 張愛英 點評：校研究室一 兩點說明1 要不要學(xué)一點尺規(guī)作角平分線的知識角平分線是生活中常見的圖形。公路兩旁的指路牌，馬路地面上指引車行的標(biāo)志等等，都少不了“”這樣的符號，要準(zhǔn)確而美觀的畫出這樣一個符號，就少不了要作角的平分線。今后學(xué)習(xí)幾何，物理等學(xué)科，碰到做角平分線的機(jī)會也是很多的。所以無論從生活角度或進(jìn)一步學(xué)習(xí)角度來說，作角的平分線都是義務(wù)教育階段學(xué)生必須掌握的一項技能。那么，任給一個角，怎樣正確的作出它的平分線呢？折紙、用量角器都是最簡易的操作法，4至6年級的學(xué)生都會。然而到了8年級，對已經(jīng)學(xué)過全等三角形知識的學(xué)生，我們應(yīng)

2、教給他們什么樣的作角平分線的方法呢？課標(biāo)對空間觀念有如下的要求：能根據(jù)條件做出立體模型或畫出圖形 。對7-9年級的教學(xué)目標(biāo)，更明確提出尺規(guī)作圖應(yīng)包括作角的平分線，并體會證明的重要性，發(fā)展初步的演繹推理能力。由此可見，課標(biāo)是要求學(xué)一點尺規(guī)作角平分線的知識的。2 怎樣教尺規(guī)作角平分線為好 北師大本在課本正文中基本上沒有正式交代如何作角的平分線，只是在“全等三角形”一章中有一個復(fù)習(xí)題出現(xiàn)工人師傅用角尺（實乃有刻度的相交的兩把尺）平分一個任意角，要學(xué)生說明為什么用它畫出的射線就是已知角的平分線。這是把用器械作角的平分線作為全等三角形的應(yīng)用來處理。雖然體現(xiàn)了一點“證明的必要性”，但遠(yuǎn)遠(yuǎn)不是“根據(jù)條件畫出

3、圖形”，更不是要求用“尺規(guī)作基本圖形”。 人教本對此有專門的一節(jié)“角平分線的性質(zhì)”，編在八年級課本上冊“全等三角形”之后。該節(jié)的前半部分實際上是講的角平分線的尺規(guī)作圖法，雖然仍用角平分線的儀器（比北師大版的角尺有改進(jìn)，即沒有刻度的四根尺組成的箏形教具）引進(jìn)作角平分線的情境，旋即要求學(xué)生拿掉該儀器用尺規(guī)來作，并有很正規(guī)的尺規(guī)作圖的書面敘述的要求（見該書P.107）。緊接著進(jìn)入該節(jié)的主題角平分線的性質(zhì)，仍用折紙法引進(jìn)“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”的重要概念。 我們備課組經(jīng)過仔細(xì)討論，認(rèn)為北師大本的處理方法在“數(shù)學(xué)化”方面難以達(dá)到課標(biāo)規(guī)定的“根據(jù)條件用尺規(guī)畫出圖形”的要求。人教本對“尺規(guī)作角

4、平分線”的敘述有準(zhǔn)確要求，但由于過早拿出來儀器來畫出角平分線，就沒有根據(jù)已知條件探求作法的過程（雖然書上有“由以上的探究”的字眼），學(xué)生會認(rèn)為角平分線已經(jīng)（用儀器）作出來了，還探究什么呢？ 我們設(shè)想，既然人教本在本節(jié)后半部分講角平分線的性質(zhì)時用折紙引進(jìn)（非常生活化），何不在作角平分線時就用折紙引進(jìn)而舍棄儀器畫角平分線法呢？（這個“儀器”是人為的教具，并非真正的儀器）至于角平分線的性質(zhì)，到是可以通過畫圖、觀察、猜測、推理來完成，不必再用折紙活動了。 注；數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)第4頁倒數(shù)第7行 同書第40頁第5行 同書第9頁數(shù)學(xué)思考第三學(xué)段最后兩行評：課標(biāo)倡導(dǎo)“經(jīng)歷（感受），體驗（體會），探索”，同時提出，

5、對7-9年級學(xué)生應(yīng)采用“問題情境建立模型解釋、應(yīng)用與拓展”的模式進(jìn)行教學(xué)。本課題的問題情境很明確，就是要作出已知角的平分線，而建模就是要探究怎樣將當(dāng)前要解決的問題歸入已學(xué)過的知識、技能系統(tǒng)，求得解決。八年級學(xué)生此前已學(xué)過用尺規(guī)作線段、射線、直線、根據(jù)條件作三角形，甚至作角等于已知角等知識和技能，完全可以在此基礎(chǔ)上，在折紙等活動的啟示下，自己探索用尺規(guī)作角平分線的方法。而所謂“角平分線的儀器”，其作用類似于折紙活動，但卻給人以“作圖已完成”的效果，并不利于啟發(fā)學(xué)生思維和探究。 二教學(xué)過程片段片斷一：角平分線的作法1問題的提出 1.1 師：校運動會上，八年級參賽運動員約占全校參賽 運動員的三分之一

6、，如何用圖形直觀地表現(xiàn)這樣的事實（學(xué)生說：用扇形圖，老師展示課件如右圖）1.2 師:又知八年級運動員男女各半,怎樣在圖上表現(xiàn)這樣的事實.1.3 生:作角平分線1.4 師肯定這種說法,并指出這就是今天要研究的課題(展示：作已知的角平分線)。評：剛開過運動會,剛學(xué)過統(tǒng)計圖,這樣引進(jìn)課題很自然很簡捷。2.探討作已知角平分線的方法2.1 學(xué)生中馬上有人說是用量角器作AOB的平分線(老師讓大家很快的操作)2.2 師:用量角器在紙上作AOB=120°的角平分線確實比較容易,如果AOB=117.5°呢?如果AOB等于任意大小呢?要用量角器畫得很準(zhǔn)就有點難.還有什么方法?2.3 生:用紙作

7、的角對折. 師:用紙片任意剪一個角,折出它的平分線試試.(大家動手剪,折) 師:大家動手折紙很快,很好。但同學(xué)們想過沒有？如果沒有紙,也沒有量角器,或者是在黑版面上、地面上、桌面上(這時小小的量角器也不好施展)，怎樣作出一個已知角的平分線呢?(大多數(shù)學(xué)生陷于沉思) 評:設(shè)置障礙就是問題情境。 師:其實像折紙那樣的作法,我們在小學(xué)甚至幼兒園都會做,現(xiàn)在我們是八年級的學(xué)生了,能不能找出更科學(xué)一點的方法呢? 生:用圓規(guī)和尺(教師補充:無刻度的直尺)評：這就是由經(jīng)歷動手操作,向理性思維過渡的激勵手段。 生2:(看看書以后)用平分角的儀器. 師:很好!說明有同學(xué)預(yù)習(xí)過課本,但老師想指出,這個儀器也是人造

8、的,我們完全可以憑我們已經(jīng)學(xué)過的知識用圓規(guī)和直尺比較準(zhǔn)確的作出已知角的平分線(同學(xué)們開始用尺規(guī)探討作法,多數(shù)人不知如何下手,少數(shù)人看書后照葫蘆畫瓢) 師:現(xiàn)在我們思考一下,確定一條射線需要幾個點? 生:兩個點. 師:我們現(xiàn)在要作的AOB的平分線(是一條射線)已知確定了哪個點? 生:頂點O 師:那么,要畫出AOB的平分線,關(guān)鍵就要確定角平分線上另一點,設(shè)為C. 評：有了問題情境,教師要引導(dǎo)學(xué)生搜索已有的知識庫存,找出解決當(dāng)前問題所需的舊知識,這就是建摸.這比直接用儀器畫出所求作的圖形更有啟發(fā)性.探究性一些。 師：用圓規(guī)怎樣確定C點的位置呢？就是畫兩條圓弧，取它們的交點（學(xué)生似有所悟，動手試） 師

9、：但畫圓弧的關(guān)鍵是確定圓心和半徑（很多學(xué)生以O(shè)為圓心，任意長為半徑，但畫不出兩個弧相交） 師：看來，我們先要在AOB的兩邊確定兩個恰當(dāng)?shù)狞c作圓心，才好畫弧找交點C。（學(xué)生若有所悟，有人已經(jīng)在動手以O(shè)為圓心畫弧交角的兩邊。為了讓學(xué)生真正觀察清楚，教師仍以折紙引導(dǎo)）A(B) 師：為了幫助我們找這樣的兩個恰當(dāng)?shù)狞c，請同學(xué)們把剛剛折過角平分線的紙型拿出來。如圖，不通過頂點，再折一下（如圖中MC）M然后打開折紙，你們看到了什么？COB生：相等的折痕。 師：對，相等的折痕就是相等的線段（結(jié)合課件展示）有哪些相等的線段？ 生：OM=ON MC=NC 師：折紙只是啟發(fā)我們?nèi)ヌ接懽鞣ǎF(xiàn)在脫離折紙和任何儀器，你

10、們知道怎么用圓規(guī)和直尺做出已知角的平分線了吧！（學(xué)生紛紛用圓規(guī)和直尺在紙上畫圖）評：折紙是感性活動，通過它啟示我們怎樣去尋找尺規(guī)作圖的思路（大多數(shù)學(xué)生都能以尺規(guī)完成作圖，如右圖） 師：現(xiàn)在，我們既沒有折紙，又沒有用儀器，怎么知道這樣作出來的射線一定是AOB的平分線呢？ 生：可以證明。 師：怎么證？ 生：用全等三角形（讓一個學(xué)生口述證明的過程）評；八年級的學(xué)生早就知道“證明”這個詞的含義了，不必“千呼萬喚始出來”。 師：這就是比較規(guī)范的尺規(guī)作角平分線法，它無論在何處都可以作，而且比較準(zhǔn)確，最重要的是合邏輯（即可以用以前學(xué)過的知識經(jīng)過推理而得到的）。大家看看，所謂“平分角的儀器”是不是就是根據(jù)這種

11、尺規(guī)作圖法造出來的工具？評：至此，教師稍加點明，學(xué)生就知道，原來所謂“平分角的儀器”就是這種尺規(guī)作圖方法的工具化。這樣做有啟示學(xué)生創(chuàng)新的意義，而避免人腦工具化） 師：現(xiàn)在，能不能用語言簡要的表示這個作用的過程呢？（肯定有些學(xué)生說不好，于是要大家看書本P。107的“作法”，看后復(fù)述） 師：注意，畫弧一定要寫明“以某某為圓心，某某為半徑” 還有，第二步中為什么要有“大于二分之一MN的長”這個定語。 生：如果小于MN的二分之一就不會相交了。 師：對！當(dāng)然所謂大于MN的二分之一也是目測或估計。以兩弧能相交為原則（因此等于MN的二分之一也就沒必要了）評：細(xì)節(jié)不忽視，這也是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的教育。 片斷二 角平

12、分線性質(zhì)的探究 師：學(xué)習(xí)幾何圖形的目的是為了一步步探索圖形的性質(zhì)，以便為解決更復(fù)雜的圖形問題打好基礎(chǔ)?，F(xiàn)在我們來觀察角的平分線這個圖形給我們帶來哪些重要性質(zhì)。 大家注意，假定AOB的平分線OC已做出，我們看到只要OM=ON，必有CM=CN，現(xiàn)在要問，如果沒有OM=ON這個條件，是不是也可以找到AOB兩邊上的點M，N，使CM=CN呢？任意取點M，N，行嗎？（學(xué)生操作） 生1：不行？（如上右圖）生2：從OC上一點向兩邊作垂線就行，師讓一個學(xué)生在黑板上作出圖（如右圖），并解釋為什么PD=PE（在OC上任取一點P） 師：這是用到直角三角形全等的判定，非常好！ 師：根據(jù)我們以前學(xué)過的知識，這里PD，PE

13、的長叫做什么？ 生：距離（師糾正；點到直線的距離。其他的連接P與兩邊上任一點的線段的長只可能是兩點之間的距離） 師：這就是角平分線的一個常用的性質(zhì)，大家念一遍，書P。108 “角平分線上的點到兩邊的距離相等”評：對八年級學(xué)生來說，“點到點的距離”“點到直線的距離”“直角三角形的全等的判定”都學(xué)過了，現(xiàn)在讓他們自己動手先畫若干條連結(jié)角平分線上的點與兩邊上的點的線段，觀察，判斷并證明“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”不但更能體現(xiàn)“建立在已有知識經(jīng)驗基礎(chǔ)上”，而且也是數(shù)學(xué)知識的“螺旋上升”，似乎沒有必要再從折紙開始了?？傇u 總起來說，幾何（或“空間與圖形”）教學(xué)有實用和邏輯思維訓(xùn)練兩重任務(wù)，兩者是有聯(lián)系的，不從實際出發(fā)，不會用于實際，很難產(chǎn)生學(xué)習(xí)積極性；而沒有一點理性思維支持，則實用的能力也不會真正具備。文革期間，我們教出來的最好的高中生到工廠學(xué)