實(shí)驗(yàn)二離散時(shí)間傅里葉變換

1、實(shí)驗(yàn)二離散時(shí)間傅里葉變換一實(shí)驗(yàn)原理1、經(jīng)由正、逆離散時(shí)間傅里葉變換表達(dá)的信號傅里葉表示式是信號分析的一個(gè)關(guān)鍵部分。X( ej )=x nej n（3.9）n1 j)ejnd （ 3.10）x nX (e2 類似地， 當(dāng) LTI 系統(tǒng)用于濾波時(shí)， 作為沖擊響應(yīng)離散時(shí)間傅里葉變換的頻率響應(yīng)，提供了 LTI 系統(tǒng)簡介的描述。離散時(shí)間傅里葉變換X( ej )是 的周期復(fù)值函數(shù)，周期總是2 ，并且基周期通常選在區(qū)間- ， ）上。對離散時(shí)間傅里葉變換DTFT來說有兩個(gè)問題：（ 1） DTFT 的定義對無限長信號是有效的。（ 2） DTFT 是連續(xù)變量的函數(shù)。在 MA TLAB 中，任何信號（向量）必須是有

2、限長度的，僅此就是第一點(diǎn)成為問題。因此，不可能使用 MATLAB 計(jì)算無限長信號的 DTFT 。有一個(gè)值得注意的例外情形，當(dāng)能從變換定義式推導(dǎo)出解析式并只是計(jì)算它時(shí)，可以使用MA TLAB 計(jì)算無限長信號的DTFT 。2、對于頻率抽樣問題。MATLAB擅長在有限網(wǎng)格點(diǎn)上計(jì)算DTFT 。通常選擇足夠多的頻率以使繪出的圖平滑，逼近真實(shí)的DTFT 。對計(jì)算有利的最好選擇是在（- ， ）區(qū)間上一組均勻地隔開的頻率，或者對共軛對稱變換選擇0, 區(qū)間。采用上述抽樣辦法，L1DTFT 式變成 X( ej)= X (e j 2k / N )x ne j ( 2k / N )n , k0,1,2.N1n0DTF

3、T 的周期性意味著在 - <0 區(qū)間上的數(shù)值是那些對k>N/2 的數(shù)值。因?yàn)樯鲜惺窃谟邢迶?shù)量的頻率點(diǎn)k =2 k/N處計(jì)算，并在有限范圍內(nèi)求和，因此它是可計(jì)算的。由于信號長度必須是有限的（0 n<L ），這個(gè)求和式不適用于xn= an un 的情形。在對 DTFT 進(jìn)行抽樣時(shí)， 并不要求 N=L ，盡管通常經(jīng)由DFT 進(jìn)行計(jì)算。 在正確應(yīng)用 FFT計(jì)算 N 點(diǎn) DFT 前，需要對 xn 進(jìn)行時(shí)間混疊。3、計(jì)算 DTFT 需要兩個(gè)函數(shù)， MA TLAB的 freqz 函數(shù)計(jì)算無限長信號，dtft （h， H）函數(shù)計(jì)算有限長信號的DTFT 。二實(shí)驗(yàn)要求理解數(shù)值計(jì)算在離散時(shí)間傅里葉

4、變換中的作用。三實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1.脈沖信號的DTFT(1) 要求：設(shè)矩形脈沖rn=10 n<L0 其他sin(1L)a.證明 rn 的 DTFT 可由 R(ej)2ej ( L 1) / 2（ 3.13）得出，記asinc（，L ）sin( 1)2sin( 1L)2sin( 1)2 （3.14）b.使用 dtft 函數(shù)計(jì)算 12 點(diǎn)脈沖信號的 DTFT 。繪出在區(qū)間 - < 上對的 DTFT 。把實(shí)部和虛部分開繪出。另繪出DTFT 的幅度。選擇頻率樣本的數(shù)量是脈沖長度的5 到10 倍，以使繪出的圖看上去平滑。用不同數(shù)量的頻率樣本做試驗(yàn)。c.注意 asinc 函數(shù)零點(diǎn)的位置是規(guī)律分布的。

5、對奇數(shù)長脈沖， 比如 L=15 的脈沖重復(fù)進(jìn)行DTFT計(jì)算并繪出幅度，同樣再次檢驗(yàn)零點(diǎn)位置，注意峰值高度。d.對于 asinc 函數(shù)零點(diǎn)的間距與asinc 函數(shù)的直流值，確定出通用規(guī)則。（2）程序M 文件function H,W = dtft(h,N)N=fix(N);L=length(h);h=h(:);if(N<L)errorendW=(2*pi/N)*0:(N-1)'mid=ceil(N/2)+1;W(mid:N)=W(mid:N)-2*pi;W=fftshift(W);H=fftshift(fft(h,N);%bnn=0:11;u=ones(1,12);X,W=dtft(

6、u,72);subplot(221),plot(W,real(X);grid,title('REAL RESPONSE')xlabel('FREQUENCY W'),ylabel('REAL A')subplot(222),plot(W,imag(X);grid,title('IMAGE RESPONSE')xlabel('FREQUENCY W'),ylabel('IMAGE A')subplot(223),plot(W,abs(X);grid,title('MAGNITUDE RESPO

7、NSE')xlabel('FREQUENCY W'),ylabel('|H(w)|')subplot(224),plot(W,angle(X);grid,title('PHASE RESPONSE')xlabel('FREQUENCY W'),ylabel('DEGREES')運(yùn)行結(jié)果%cnn=0:14;u=ones(1,15);X,W=dtft(u,90);Y,W=dtft(X,90);subplot(111),plot(W,abs(Y);grid,title('MAGNITUDE RESPONS

8、E')xlabel('FREQUENCY W'),ylabel('|H(w)|')運(yùn)行結(jié)果%d如圖 L=12 時(shí)由 R(ejw)=0 得 sin(wL/2)=0即 wL/2=k*pi則 w=k*pi/36所以零點(diǎn)間距為pi/6直流值： 12零點(diǎn)間距 *直流值 =(pi/6)*12=2*pi（3）結(jié)果分析使用 dtft函數(shù)可以快速準(zhǔn)確的計(jì)算出脈沖信號的的圖形越平滑。DTFT，頻率樣本的數(shù)量越大時(shí)，繪出2.asinc 的 M 文件（1）內(nèi)容編寫一個(gè)MATLAB的函數(shù)如asinc（，L ） ，直接從（ 3.14）式計(jì)算在頻率格上的asinc(,L) 。該函數(shù)應(yīng)

9、有兩個(gè)輸入：長度 L 和頻率 的向量。 函數(shù)必須檢查被零清除的情形，如 =0 時(shí)。直接計(jì)算混疊sinc 函數(shù)（ 3.13）式得到的脈沖信號的DTFT 。繪出幅度。保存該圖以便將其與用 dtft 得到的結(jié)果進(jìn)行比較。(2) 程序%asinc 函數(shù)function y=asinc(w,L)N=length(w);for i=1:Nif w(i)=0y(i)=L;else y(i)=sin(1/2*w(i)*L)/sin(1/2*w(i);endendL=12;N=84;W=(2*pi/N)*0:(N-1)'W=W-pi;H=asinc(W,L);figure(3)plot(W,abs(H)

10、;grid,title('MAGNITUDE RESPONSE');xlabel('NORMALIZED FREQUENCY'),ylabel('|H(W)|')運(yùn)行結(jié)果3.無限長信號的DTFT通常不可能計(jì)算一個(gè)無限長信號的DTFT，但指數(shù)信號h nan u n 計(jì)算比較容易。當(dāng) |a|<1,有利用 freqz函數(shù)可以計(jì)算上式：與 dtft類似， freqz有兩個(gè)輸出：交換數(shù)值（HH）和頻率格點(diǎn)（WW），第四個(gè)輸入?yún)?shù)是可以選擇的， 但如將其設(shè)定為 whole , 則輸出向量2。如果省略第四個(gè)參數(shù)，頻率格點(diǎn)由WW指定頻率格點(diǎn)的范圍是從區(qū)間上

11、等間距的N 個(gè)點(diǎn)組成。0 到4.指數(shù)信號（1）內(nèi)容：對于信號xn=0.9nun, 使用freqz函數(shù)計(jì)算其DTFTX (ej)。A. 對在區(qū)間 - < 上繪出幅度與相位特性。這需要從freqz位。解釋為什么幅度特性是的偶函數(shù)，而相位特性是的奇函數(shù)。返回的 X,W向量的移B. 推算一階系統(tǒng)的幅度特性與相位特性的表示式。C.直接以這些表達(dá)式來計(jì)算幅度特性與相位特性，并與用 freqz 函數(shù)計(jì)算出得結(jié)果相對比。（2）程序%aN=1000;a=1,-0.9;b=1;X,W=freqz(b,a,N);W=-pi:0.1:pi;X=freqz(b,a,W);subplot(211),plot(W,a

12、bs(X);grid,title('MAGNITUDE RESPONSE')xlabel('FREQUENCY W'),ylabel('|X(w)|')subplot(212),plot(W,angle(X);grid,title('PHASE RESPONSE')xlabel('FREQUENCY W'),ylabel('DEGREES')運(yùn)行結(jié)果b假 設(shè) 一 階 差 分 方 程 ： yn=xn+ayn-1,其系統(tǒng)方程H( ej)=1j其 幅 度1- aeH (ej )1,相位 H (ej )arctana sin1a2 - 2acos1 a cos%cw=-pi:0.1:pi;x=1./(1-exp(-j.*w);subplot(211),plot(w,abs(x);grid,title('MAGNITUDE RESPONSE')xlabel('F