時(shí)域有限差分法發(fā)展綜述7頁(yè)

1、時(shí)域有限差分法發(fā)展綜述潘忠摘要:時(shí)域有限差分法(FDTD)是解決復(fù)雜電磁問(wèn)題的有效方法之一，目前FDTD法的許多重要問(wèn)題得到了很好的解決，已經(jīng)發(fā)展成為一種成熟的數(shù)值計(jì)算方法。隨著計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)處理性能的快速提高和計(jì)算機(jī)價(jià)格的下降，使得FDTD法的應(yīng)用范圍越來(lái)越廣，而FDTD法本身在應(yīng)用中又有新的發(fā)展.本文介紹并分析了時(shí)域有限差分法，對(duì)各種條件的應(yīng)用進(jìn)行了比較和分析，給出了具有一定參考價(jià)值的結(jié)論。關(guān)鍵詞:時(shí)域有限差分法;研究與發(fā)展;比較;分析A Summary of FDTD and Development at Home and Abroad Zhong PanAbstract: The fini

2、te difference time-domain (FDTD) method is one of the most effective methods to solve electromagnetic problems. Many important questions of FDTD method have been solved well through many scientists effort. Now, FDTD method is a mature numerical method. Especially in few years, the range of using FDT

3、D method is becoming wider and wider because of the faster data processing and processing and cheaper price of computer. FDTD method has also been developed during using. FDTD method is introduced and discussed in this paper. The applications of various conditions are compared and analyzed. Finally,

4、 some valuable conclusions are drawn.Key words: FDTD; Research and Development; Comparison; Analysis 1966年，K.S.Yee首次提出電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算的新方法時(shí)域有限差分法(Finite Difference- Time Domain，簡(jiǎn)稱(chēng)FDTD)。經(jīng)歷了二十年的發(fā)展FDTD法才逐漸走向成熟。上世紀(jì)80年代后期以來(lái)FDTD法進(jìn)入了一個(gè)新的發(fā)展階段，即由成熟轉(zhuǎn)為被廣泛接受和應(yīng)用的階段。FDTD法是解決復(fù)雜問(wèn)題的有效方法之一，是一種直接基于時(shí)域電磁場(chǎng)微分方程的數(shù)值算法，它直接在時(shí)域?qū)axwell

5、旋度方程用二階精度的中心差分近似，從而將時(shí)域微分方程的求解轉(zhuǎn)換為差分方程的迭代求解。是電磁場(chǎng)和電磁波運(yùn)動(dòng)規(guī)律和運(yùn)動(dòng)過(guò)程的計(jì)算機(jī)模擬。原則上可以求解任意形式的電磁場(chǎng)和電磁波的技術(shù)和工程問(wèn)題，并且對(duì)計(jì)算機(jī)內(nèi)存容量要求較低、計(jì)算速度較快、尤其適用于并行算法?，F(xiàn)在FDTD法己被廣泛應(yīng)用于天線的分析與設(shè)計(jì)、目標(biāo)電磁散射、電磁兼容、微波電路和光路時(shí)域分析、生物電磁劑量學(xué)、瞬態(tài)電磁場(chǎng)研究等多個(gè)領(lǐng)域。經(jīng)過(guò)了近四十年的發(fā)展，F(xiàn)DTD法在計(jì)算方法和應(yīng)用上取得了大量成果。近幾年來(lái)，討論FDTD法的深入發(fā)展和實(shí)際應(yīng)用的文章幾乎按指數(shù)增長(zhǎng)?，F(xiàn)就幾個(gè)主要方面綜述如下:1 FDTD法在計(jì)算方法上的發(fā)展?fàn)顩r1.1吸收邊界條件

6、用FDTD分析電磁散射、輻射等開(kāi)放或者半開(kāi)放性質(zhì)問(wèn)題時(shí),受計(jì)算機(jī)內(nèi)存容量限制,不可能直接對(duì)無(wú)限的空間進(jìn)行計(jì)算,因此必須在截?cái)嗵幵O(shè)置適當(dāng)?shù)奈者吔鐥l件,以便用有限網(wǎng)格空間模擬開(kāi)放的無(wú)限空間.目前對(duì)吸收邊界條件的比較系統(tǒng)和深入的研究,主要是沿著兩個(gè)方向進(jìn)行的,一是在邊界上引入吸收材料,電磁波在無(wú)反射地進(jìn)入吸收材料后被衰減掉,如PML。二是通過(guò)波動(dòng)方程的因子分解獲得單行波方程并取近似來(lái)建立吸收邊界條件。Mur吸收邊界條件以實(shí)施方便簡(jiǎn)單、吸收效果較好而獲得廣泛應(yīng)用。然而,在使用中注意到,一階近似的Mur吸收邊界條件雖簡(jiǎn)單易行,但直角坐標(biāo)系下采用Yee網(wǎng)格劃分,在角區(qū)域稱(chēng)作較大誤差,且不易向三維推廣,而

7、二階近似盡管精度較高,但編程復(fù)雜,且對(duì)三維情況還可能出現(xiàn)結(jié)果發(fā)散的現(xiàn)象。完全匹配層(PML)首先由Berenger提出1。通過(guò)在FDTD區(qū)域截?cái)噙吔缣幵O(shè)置一種特殊介質(zhì)層,該層介質(zhì)的波阻抗與相鄰介質(zhì)的波阻抗完全匹配,因而入射波將無(wú)反射地穿過(guò)分界面而進(jìn)入PML層。并且,由于PML層為有耗介質(zhì),進(jìn)入PML層的投射波將迅速衰減,即使PML為有限厚度,它對(duì)于入射波仍有很好的吸收效果。廖氏吸收邊界條件可以看作利用Newton后向差分多項(xiàng)式在時(shí)空對(duì)波函數(shù)進(jìn)行外插的結(jié)果,是將邊界上的場(chǎng)值用垂直于邊界上采樣點(diǎn)的場(chǎng)值來(lái)表達(dá)。其在網(wǎng)格外邊界引起的反射比Mur二階吸收邊界條件要小一個(gè)數(shù)量級(jí)。Tan于2001年提出的駐

8、波-行波邊界條件是在FDTD計(jì)算空間的邊界設(shè)置理想導(dǎo)體,波到達(dá)邊界將發(fā)生全發(fā)射,若邊界是理想導(dǎo)電(磁)壁,則切向電(磁)場(chǎng)為零,切向磁(電)場(chǎng)是入射場(chǎng)的兩倍,同時(shí)反射場(chǎng)將向回傳播,在區(qū)域內(nèi)部形成駐波,隨著時(shí)間的推移駐波向內(nèi)擴(kuò)展,而在反射波未到過(guò)的區(qū)域場(chǎng)仍呈外行波狀態(tài).要將反射波濾除,只需在每個(gè)時(shí)間步迭代時(shí)將算出的邊界磁場(chǎng)(對(duì)理想導(dǎo)電壁而言)或邊界電場(chǎng)對(duì)理想導(dǎo)磁壁而言除以二即可2。1.2激勵(lì)源設(shè)置FDTD法建模中,除了需要在足夠的網(wǎng)格空間中模擬被研究的媒質(zhì)外,合理進(jìn)行激勵(lì)源的建模也十分重要。因此,需要盡可能將源的特性與實(shí)際物理模型性質(zhì)一致。根據(jù)激勵(lì)源的能量來(lái)源不同,可以將激勵(lì)源分為外激勵(lì)源和內(nèi)激

9、勵(lì)源。如果源的能量在計(jì)算區(qū)域外部,采用特定極化、給定方向的平面波形式作為激勵(lì)源。而對(duì)于內(nèi)激勵(lì)源,這方面的研究較少。它主要由電壓源或電流源產(chǎn)生。這些內(nèi)部源一般采用理想源模擬,如普遍采用電流密度J,它是麥克斯韋方程中產(chǎn)生電磁場(chǎng)的主要激勵(lì)源。由于電流源是個(gè)理想源,所以不一定是激勵(lì)源的最合理模擬。同樣,采用理想電流源還是采用有限內(nèi)阻的電壓源都會(huì)影響被研究物體的近、遠(yuǎn)場(chǎng)特性。而且在大多數(shù)EMI/EMC問(wèn)題中,被研究的激勵(lì)源要比偶極子復(fù)雜得多,且輻射源的內(nèi)部構(gòu)造也將影響整個(gè)輻射特性。因此FDTD法中合理進(jìn)行激勵(lì)源建模很重要。需要根據(jù)具體的物理現(xiàn)象對(duì)激勵(lì)源建模,從而根據(jù)FDTD方程得到最符合實(shí)際的電磁特性預(yù)

10、測(cè)3。1.3網(wǎng)格剖分技術(shù)傳統(tǒng)的FDTD法都是采用直角坐標(biāo)系中均勻的巨型網(wǎng)格，差分格式所能模擬的最小尺度為一個(gè)網(wǎng)格，對(duì)于小于一個(gè)網(wǎng)格的尺寸，需要近似為一個(gè)網(wǎng)格，這樣會(huì)給計(jì)算帶來(lái)誤差。當(dāng)用它模擬不規(guī)則的邊界時(shí)，就只好用階梯折線來(lái)近似代替曲邊.而這種近似只有在計(jì)算網(wǎng)格足夠小的情況下才能獲得高精度解，但是這又必然增加計(jì)算網(wǎng)格，這將大大增加計(jì)算機(jī)內(nèi)存和計(jì)算時(shí)間。另外，對(duì)于電大尺寸散射體上的某些電小尺寸的局部(如小孔、窄縫、細(xì)線等)，經(jīng)典的FDTD法很難處理。一種改進(jìn)的方法就是網(wǎng)格剖分技術(shù)4。這些技術(shù)能在整個(gè)計(jì)算區(qū)域網(wǎng)格保持較大尺寸的同時(shí)，通過(guò)修正局部網(wǎng)格的差分格式來(lái)減小誤差。這些網(wǎng)格剖分技術(shù)包括:(l)

11、亞網(wǎng)格技術(shù):Kasher和Yee提出亞網(wǎng)格技術(shù)。亞網(wǎng)格技術(shù)涉及細(xì)導(dǎo)線和窄縫的模擬，在不同的計(jì)算區(qū)域使用非均勻網(wǎng)格等。Holand和Simpson提出的細(xì)導(dǎo)線的模擬方法;Gillert和Hofand提出的窄縫的模擬技術(shù);王秉中提出的增強(qiáng)細(xì)槽縫公式以及他對(duì)小孔禍合問(wèn)題的數(shù)值模擬:Monorehio和Mittra提出的基于FDTD法和TDFEM相結(jié)合的亞網(wǎng)格技術(shù)非常引人注目。(2)共形網(wǎng)格技術(shù):Mei等提出共形網(wǎng)格技術(shù)。共形網(wǎng)格技術(shù)是在一些與被模擬物體表面共形的網(wǎng)格中使用環(huán)路積分來(lái)得到場(chǎng)分量方程的差分形式。Taflove從積分形式的Maxwell方程出發(fā)，提出了環(huán)路積分(CP)法，為任意形狀的散射體

12、、輻射體的模擬帶來(lái)方便。(3)在計(jì)算區(qū)域使用非均勻網(wǎng)格算法:Kunz和Simpson首先提出了局部網(wǎng)格細(xì)化技術(shù)，采用這種方法只需在需要細(xì)致模擬的部分使用細(xì)分網(wǎng)格，而其余部分則可用粗網(wǎng)格。Gao.B.Q等人發(fā)展了擴(kuò)展網(wǎng)格技術(shù)。王加瑩等人提出了處理復(fù)合導(dǎo)體邊界的規(guī)則連接面的子域連接法，以時(shí)間的增加來(lái)?yè)Q取計(jì)算空間。另外，還出現(xiàn)了三角形網(wǎng)格、六邊形網(wǎng)格以及平面型廣義網(wǎng)格。(4)在提高計(jì)算效率方面還有PSTD方法，MRTD方法。2 FDTD法在實(shí)際應(yīng)用上的發(fā)展?fàn)顩r2.1曲線坐標(biāo)系中的FDTD經(jīng)典的時(shí)域有限差分法都是采用矩形網(wǎng)格，在直角坐標(biāo)系中把麥克斯韋旋度方程轉(zhuǎn)化為差分形式。在矩形網(wǎng)格構(gòu)成的網(wǎng)格空間中模

13、擬任何彎曲的邊界，只能采用階梯形近似的方法或環(huán)路積分法。若采用階梯近似來(lái)擬合表面，則會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)問(wèn)題:(l)階梯表面可能激勵(lì)表面波傳播，引起附加數(shù)值色散。(2)為了擬合曲率半徑小的表面，則要減小網(wǎng)格尺寸，這就會(huì)增加計(jì)算內(nèi)存和時(shí)間。使用環(huán)路積分法時(shí)，可能會(huì)因?yàn)樵谝恍┑胤狡茐牧擞?jì)算穩(wěn)定性條件而導(dǎo)致計(jì)算失敗。這兩種方法都存在誤差和穩(wěn)定性方面的缺陷。一般來(lái)講，只有在所選坐標(biāo)系的坐標(biāo)面與所模擬的電磁系統(tǒng)的表面相一致時(shí)，所選擇的網(wǎng)格空間才能簡(jiǎn)便而精確的模擬其幾何形體。由于麥克斯韋方程是矢量方程，它在任意坐標(biāo)系中均成立，因此在任意坐標(biāo)系中均可建立FDTD算法。圓柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系、拋物線坐標(biāo)系以及橢圓坐標(biāo)系都

14、屬于正交坐標(biāo)系，F(xiàn)DTD法在其中都有應(yīng)用。為此，Holland(1983年)，Madsen(1988年)，F(xiàn)useo(1990年)等人對(duì)非正交曲線坐標(biāo)系中的FDTD法進(jìn)行了討論。柱坐標(biāo)系屬于正交曲線坐標(biāo)系，F(xiàn)DTD法在其中的應(yīng)用較為常見(jiàn)。隨著曲線坐標(biāo)系中FDTD法應(yīng)用的增多，人們提出了各種相應(yīng)的吸收邊界條件。2.2表面阻抗邊界條件(SIBC)在FDTD法中，為了保證一定的計(jì)算精度和必要的相位信息，所有網(wǎng)格空間的步長(zhǎng)與波長(zhǎng)之比有一定的限度。在一般情況下要求空間步長(zhǎng)不大于波長(zhǎng)的十分之一。如果計(jì)算空間中包含高介電常數(shù)的媒質(zhì)，由于波長(zhǎng)比自由空間中短，使得網(wǎng)格空間步長(zhǎng)也要相應(yīng)變小，如果采用均勻網(wǎng)格空間，

15、則計(jì)算時(shí)對(duì)內(nèi)存的需求大大提高。如果介質(zhì)所占空間內(nèi)的場(chǎng)不必知道，則可用SIBC避免介質(zhì)區(qū)域內(nèi)場(chǎng)分布的計(jì)算。從而仍可采用自由空間的網(wǎng)格空間步長(zhǎng)，這樣可以大大節(jié)省存儲(chǔ)空間和計(jì)算時(shí)間。自Maloney和Smith(1992年)以及Beggs等人在FDTD法中引入時(shí)域SIBC以來(lái)，SIBC在FDTD法分析實(shí)際電磁問(wèn)題時(shí)得到了很多應(yīng)用。2.3適用于色散媒質(zhì)和各向異性媒質(zhì)的FDTD法FDTD法最初主要應(yīng)用于各向同性的非色散媒質(zhì)。但在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常遇到色散媒質(zhì)和各向異性媒質(zhì)，因而研究適用于色散媒質(zhì)和各向異性媒質(zhì)的FDTD法具有極大的實(shí)用價(jià)值。要得到媒質(zhì)色散特性的時(shí)域算法，關(guān)鍵是如何將媒質(zhì)的頻域參量連同相應(yīng)的

16、頻域場(chǎng)分量變換為時(shí)域參量和場(chǎng)分量，以建立起FDTD迭代方程式。Luebbers等(l990年)提出一種卷積的遞歸算法，導(dǎo)出了適用于Debye色散模型的時(shí)域有限差分格式，在1992年又把這一方法發(fā)展為適用于N階色散媒質(zhì)的形式。由于媒質(zhì)色散模型的建立與使用較為困難，所以適用于色散媒質(zhì)的FDTD法還有待進(jìn)一步發(fā)展。肖飛等從頻率空間或者波數(shù)空間中實(shí)現(xiàn)對(duì)理想偏微分算子的逼近，構(gòu)造一種新的具有低數(shù)值色散關(guān)系的最優(yōu)時(shí)域有限差分方法。各向異性媒質(zhì)在微波原件、微波電路及電磁波吸收材料等方面有廣泛應(yīng)用，因而較好的推動(dòng)了各向異性媒質(zhì)中FDTD法的研究。隨著FOTD法研究的深入，適合各向異性媒質(zhì)的吸收邊界條件也在不斷

17、發(fā)展，如陳彬等人(l996年)將PML和MPML概念推廣到各向異性媒質(zhì)，楊利霞，葛德彪導(dǎo)出磁化色散介質(zhì)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度B和磁場(chǎng)強(qiáng)度H在離散時(shí)域的色散關(guān)系，并將其具體應(yīng)用于旋磁介質(zhì)，得到了這種磁化色散介質(zhì)的Pade時(shí)域有限差分方法的遞推表達(dá)幻間，大大提高了FDTD法分析時(shí)吸收邊界條件的性能5。2.4交替隱式差分格式算法(ADI)Peaceman和Rachford提出了著名的交變隱式差分方向方法(簡(jiǎn)稱(chēng)ADI法)，這種方法的特點(diǎn)是所求得的解是無(wú)條件穩(wěn)定的。為了擺脫FDTD法計(jì)算過(guò)程中Courant穩(wěn)定性條件的限制，節(jié)約計(jì)算時(shí)間，日本的NAMIKI(1999年)將此方法應(yīng)用于FDTD，提出了交替方向隱式

18、FDTD(ADI-FDTD)。該方法采用求解微分方程的交替方向隱格式對(duì)FDTD法進(jìn)行改造，使其能無(wú)條件穩(wěn)定，從而極大地節(jié)約計(jì)算時(shí)間。ADI-FDTD提出后，F(xiàn).zheng針對(duì)三維問(wèn)題報(bào)道了一些數(shù)值結(jié)果，并研究了解的穩(wěn)定性和數(shù)值色散。Liu和Gedney(2000年)很快提出了適合ADI-FDTD的完全匹配層吸收邊界條件6。C.P.chen報(bào)道了ADI-FDTD法在VLSI互聯(lián)線電磁特性模擬方面的應(yīng)用。2.5并行計(jì)算技術(shù)由前面的分析可知，F(xiàn)DTD法對(duì)計(jì)算條件的要求較高，因而在處理電大尺寸空間中的電磁場(chǎng)問(wèn)題時(shí)常常受到限制。采用并行FDTD算法是解決這一問(wèn)題的有效途徑之一。由于目前大規(guī)模并行計(jì)算機(jī)價(jià)

19、格昂貴，用FDTD法計(jì)算時(shí)希望利用較為經(jīng)濟(jì)的高性能PC機(jī)，但PC機(jī)在CPU計(jì)算能力及內(nèi)存容量方面有很大局限。利用網(wǎng)絡(luò)并行計(jì)算技術(shù)將多臺(tái)PC機(jī)聯(lián)網(wǎng)工作，可實(shí)現(xiàn)使用現(xiàn)有的高性能PC機(jī)解決大內(nèi)存的要求，且可大大縮短計(jì)算時(shí)間。目前，并行FDTD計(jì)算涉及MPP、陣列機(jī)、工作站集群系統(tǒng)。并行計(jì)算技術(shù)在網(wǎng)絡(luò)并行計(jì)算及區(qū)域分割并行FDTD算法等方面己取得不少進(jìn)展7。在目前高性能計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中，最廣泛使用的一種標(biāo)準(zhǔn)是MPI，它己成為一種并行程序的標(biāo)準(zhǔn)。MPI的理念是需要將問(wèn)題的并行求解算法轉(zhuǎn)化為特定的適合并行計(jì)算模型的并行算法。2.6減少場(chǎng)量存儲(chǔ)的FDTD算法(R-FDTD)FDTD法對(duì)計(jì)算機(jī)內(nèi)存的要求較高，因而

20、在處理大尺寸空間中的電磁場(chǎng)問(wèn)題時(shí)常常受限。采用并行FDTD算法是解決這一問(wèn)題的有效途徑之一，但由于目前大規(guī)模并行計(jì)算機(jī)價(jià)格昂貴。為盡量減少FDTD法計(jì)算過(guò)程中對(duì)電磁場(chǎng)量的存儲(chǔ)，從而降低對(duì)計(jì)算機(jī)內(nèi)存的要求，Kondylis等人于2001年發(fā)表的文章中提出了R-FDTD算法8。這種算法只需在每個(gè)時(shí)間部計(jì)算磁場(chǎng)(或電場(chǎng))分量的過(guò)程中，某個(gè)電場(chǎng)(或磁場(chǎng))分量只要在很小的局部區(qū)域進(jìn)行計(jì)算并存儲(chǔ)，而該分量在其他區(qū)域的值是通過(guò)分量間的空間關(guān)系式導(dǎo)出的，無(wú)需存儲(chǔ)，該算法可將計(jì)算區(qū)域內(nèi)電磁場(chǎng)量的存儲(chǔ)減少約三分之一。但其應(yīng)用僅限于在無(wú)耗媒質(zhì)中和直角坐標(biāo)系的情形。余同彬等人于2003年從FDTD形式的麥克斯韋旋度方

21、程出發(fā)，得出了適用于直角坐標(biāo)系中有耗媒質(zhì)中的R-FDTD算法，并提出了柱坐標(biāo)系中的R-FDTD算法，拓展了R-FDTD算法的使用范圍。2.7旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)時(shí)域有限差分法(BOR-FDTD)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)時(shí)域有限差分法(BOR-FDTD)是專(zhuān)門(mén)用于分析旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)問(wèn)題的時(shí)域有限差分法。該方法將電磁場(chǎng)展開(kāi)成方位角的傅立葉級(jí)數(shù)(角譜)，然后對(duì)級(jí)數(shù)中的每一項(xiàng)采用時(shí)域有限差分法進(jìn)行計(jì)算，從而將三維問(wèn)題轉(zhuǎn)換成二維問(wèn)題進(jìn)行處理。與傳統(tǒng)的頻域方法相比BOR-FDTD具有的優(yōu)勢(shì)主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面:(l)提高運(yùn)算速度。將三維問(wèn)題轉(zhuǎn)換成二維問(wèn)題進(jìn)行，大大減小了對(duì)計(jì)算機(jī)內(nèi)存的要求，使原本無(wú)法在PC機(jī)上計(jì)算的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可在PC

22、機(jī)上計(jì)算的問(wèn)題。若用于計(jì)算封閉的導(dǎo)體問(wèn)題，由于導(dǎo)體內(nèi)部電磁場(chǎng)為零，可采用分區(qū)算法，進(jìn)一步減小內(nèi)存和計(jì)算量。(2)通過(guò)一次時(shí)域計(jì)算，就可以獲得目標(biāo)的寬頻帶信息。(3)可以方便的處理復(fù)雜邊界和電磁介質(zhì)。由于在達(dá)到同樣的計(jì)算精度的情況下，該方法的計(jì)算量較少，因此同樣的計(jì)算量，可以處理更復(fù)雜、更精細(xì)的問(wèn)題。而且該方法，可以處理大尺寸問(wèn)題和薄介質(zhì)涂層問(wèn)題;如果將時(shí)域有限差分法中減少計(jì)算成本，提高計(jì)算效率的諸多方法應(yīng)用其中，則可進(jìn)一步提高計(jì)算效率，便于處理更加復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題。如:T.G.Jurgens把BOR-FDTD方法應(yīng)用到粒子加速器的設(shè)計(jì)中;D.W.Prather等人對(duì)平面波以對(duì)稱(chēng)軸方向入射情況下，

23、采用二維PML吸收邊界條件，應(yīng)用BOR-FDTD分析光學(xué)器件的衍射問(wèn)題BOR-FDTD在輻射天線、微帶天線和導(dǎo)波、諧振腔、電纜、電線的分析計(jì)算中均得到應(yīng)用9。3 FDTD法和其他算法的混合運(yùn)用為了提高FDTD解決復(fù)雜問(wèn)題的能力，充分利用其他數(shù)值算法的長(zhǎng)處，發(fā)展了多種混合算法。解決電磁場(chǎng)問(wèn)題有許多種方法，如:經(jīng)典的解析法、有限元法、FDTD法、矩量法等。每一種算法均有自己的優(yōu)點(diǎn)，因此，我們可以充分利用其他算法的優(yōu)點(diǎn)，克服本身算法的不足。如:將頻域的矩量法和FDTD法結(jié)合構(gòu)成的一種算法，這種算法的優(yōu)點(diǎn)是:計(jì)算內(nèi)部場(chǎng)時(shí)不需引入Green函數(shù)，并且該方法可以處理結(jié)構(gòu)尺寸比波長(zhǎng)大而耦合口徑可與波長(zhǎng)比擬的

24、問(wèn)題.近幾年發(fā)展迅速的半解析數(shù)值方法也是一個(gè)典型10，它研究解析與數(shù)值結(jié)合方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和基本原理，研究所應(yīng)用的解析解與解析函數(shù)如何與離散化過(guò)程相結(jié)合，建立適合上機(jī)計(jì)算的運(yùn)算格式，它可達(dá)到分析簡(jiǎn)便、節(jié)約資源、計(jì)算迅速、結(jié)果準(zhǔn)確的效果。4 FDTD法的進(jìn)一步發(fā)展總之，時(shí)域有限差分法經(jīng)過(guò)了四十年的發(fā)展，現(xiàn)在己日趨成熟并被廣泛應(yīng)用。目前FDTD法的主要發(fā)展方向是提高計(jì)算精度，增加模擬復(fù)雜結(jié)構(gòu)的能力，減少計(jì)算機(jī)內(nèi)存和計(jì)算時(shí)間，并不斷擴(kuò)大其應(yīng)用范圍。參考文獻(xiàn)1 J.P Berenger. A perfectly matched layer for the absorption of electromag

25、netic wave J.Comput.Phys.1994,114:185-2002 邵振海，洪偉.幾種新的吸收邊界條件在電磁散射中的應(yīng)用J.電波科學(xué)學(xué)報(bào).1994.14(3):287-2943李蓉，張林昌.FDTD法建模中激勵(lì)源的選擇與設(shè)置J.鐵道學(xué)報(bào)。2001.23(4):44-474Aramais R. Zakharian,Jerome V. Moloney,Colm Dineen. Application so the finite-difference time-domain(FDTD)method with local grid refinement to nanostructure design. Integrated Optics:Materials,and Technologies IX,2005,3785肖飛，唐小宏，馬海虹. 三維最優(yōu)時(shí)域有限差分方法J.微波學(xué)報(bào),2006,56Gang Liu and Stephen D. Gedney. Perf