初中數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)思想

1、初中數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)思想天得一而清，地得一而寧，萬物得一而生，數(shù)學(xué)的美美在其統(tǒng)一性與簡(jiǎn)單性。化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、整體思想、函數(shù)思想、對(duì)應(yīng)思想等不都是數(shù)學(xué)統(tǒng)一美的表現(xiàn)嗎？方程、函數(shù)、不等式之間是統(tǒng)一的，加、減、乘、除之間是統(tǒng)一的，減就是加，除就是乘。數(shù)與式之間是統(tǒng)一的，數(shù)與形之間是統(tǒng)一的。在數(shù)學(xué)統(tǒng)一美的統(tǒng)領(lǐng)下，各種數(shù)學(xué)思想各善其能。本文簡(jiǎn)略探討了初中數(shù)學(xué)中的一些數(shù)學(xué)思想，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的目的所在，也是學(xué)生數(shù)學(xué)能力的體現(xiàn)。其實(shí)，每一種數(shù)學(xué)思想都可以寫厚厚的一本書，又豈是本文浮光掠影式的一帶而過。那么初中數(shù)學(xué)教材中滲透了那些數(shù)學(xué)思想呢？1、化歸思想 匈牙利著名數(shù)學(xué)家路莎·彼得在她的名著無

2、窮的玩藝一書中對(duì)“化歸方法”作過描述：“如上所述的推理過程，對(duì)于數(shù)學(xué)家的思維過程來說是很典型的，他們往往不對(duì)問題進(jìn)行正面的攻擊，而是不斷地將它變形，直至把它轉(zhuǎn)化為己經(jīng)能夠解決的問題。當(dāng)然，從陳舊的實(shí)用觀點(diǎn)來看，以下的一個(gè)比擬也許是十分可笑的，但這一比擬在數(shù)學(xué)家中卻是廣為流傳的：現(xiàn)有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴擺在你面前，當(dāng)你要燒水時(shí)，你應(yīng)當(dāng)怎么去做呢?往水壺里注滿水，點(diǎn)燃煤氣，然后把水壺放在煤氣灶上。你對(duì)問題的回答是正確的。現(xiàn)把所說的問題稍作修改，即假設(shè)水壺里己經(jīng)裝滿了水，而所說問題中的其他情況都不變，試問，此時(shí)你應(yīng)該怎樣去做?此時(shí)被問者一定會(huì)大聲而頗有把握地說：點(diǎn)燃煤氣，再把水壺放上去。他確信

3、這樣的回答是正確的，但是更完美的回答應(yīng)該是這樣的：只有物理學(xué)家才會(huì)按照剛才所說的辦法去做，而數(shù)學(xué)家卻會(huì)回答：只須把水壺中的水倒掉，問題就化歸為前面所說的問題了?！睆倪@段話可以看出，化歸方法已經(jīng)成為了數(shù)學(xué)家們最典型的思維模式了”。 所謂“化歸”，從字面上看，可理解為轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思。數(shù)學(xué)中把待解決的問題通過轉(zhuǎn)化，歸結(jié)到一類己經(jīng)能解決或者比較容易解決的問題中去，最終獲得原問題的解答的一種手段和方法?；瘹w方法用框圖可直觀表示為：待解決的問題A易解決的問題B問題A的解答問題B的解答轉(zhuǎn)化化還原其中，問題B常被稱作化歸目標(biāo)或方向，轉(zhuǎn)化的手段被稱為化歸途徑或化歸策略。所以化歸包括三個(gè)基本要素，即化歸對(duì)象、化

4、歸目標(biāo)和化歸策略?；瘹w的方向是：由未知到已知，由復(fù)雜到簡(jiǎn)單，由困難到容易。 初中數(shù)學(xué)處處都體現(xiàn)出轉(zhuǎn)化的思想，如化繁為簡(jiǎn)、化難為易，化未知為己知，化多元為一元，化高次為低次等，是解決問題的一種最基本的思想。在具體內(nèi)容上，有加減法的轉(zhuǎn)化，乘除法的轉(zhuǎn)化，乘方與開方的轉(zhuǎn)化，添輔助線，設(shè)輔助元等等都是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的具體手段。轉(zhuǎn)化思想是一種思維策略的表現(xiàn)，即我們常說的換個(gè)角度想問題。它是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想，它要求我們能把握住問題的本質(zhì)，能辨證地看待事物，能運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的問題解決，把隱含的條件轉(zhuǎn)化為明顯的條件，把生疏的問題轉(zhuǎn)化為較熟知的問題解決。嚴(yán)格說，初中的幾何證明只能是指出待證

5、問題可以歸入哪個(gè)問題的證明或由哪個(gè)已證的定理或結(jié)論來證明，實(shí)質(zhì)上是一種化歸過程。老老實(shí)實(shí)從公理、公設(shè)、定義出發(fā)去證明每一個(gè)命題，既費(fèi)時(shí)，又沒有必要，對(duì)初中學(xué)生來說有的甚至是不可能達(dá)到的。等價(jià)轉(zhuǎn)化本身是數(shù)學(xué)中的很重要的內(nèi)容，可以把較為深?yuàn)W的問題化為較淺顯的問題，較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的問題。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)頭腦的靈活也體現(xiàn)在這種等價(jià)轉(zhuǎn)化上，能把原題改為一個(gè)新的題目且使兩題的已知條件及結(jié)論本質(zhì)上相同，做到此很不簡(jiǎn)單。 例1：有雞、兔若干只同籠，已知共有頭12個(gè)，腿36條，問雞、兔各多少?此題解法較多，我們可以用化歸方法，若雞、兔同時(shí)抬起一半腿，則有腿18條，比頭數(shù)多6，問題很快解決。例2：如圖，正方形

6、的邊長(zhǎng)為a，求圖中陰影部分面積。 分析：圖形不規(guī)則，換一個(gè)角度看，知陰影部分是由4個(gè)以正方形的邊長(zhǎng)為直徑的半圓疊加再減去一個(gè)正方形而形成。有些問題如果直接解決難以入手，不妨換一個(gè)方向、角度或觀點(diǎn)來考慮，或許能使問題變得更清晰、更明朗，這就是轉(zhuǎn)化思想。2、符號(hào)化、方程與函數(shù)思想 符號(hào)化思想，方程思想和函數(shù)思想本來是三個(gè)不同的思想，它們各有側(cè)重點(diǎn)，符號(hào)化偏重于形式化、結(jié)構(gòu)化。方程思想相對(duì)于算術(shù)法，偏重于關(guān)注問題中的等量關(guān)系、構(gòu)造方程，由解方程而達(dá)到問題解決。函數(shù)思想則偏重于事物的運(yùn)動(dòng)變化，尋求變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。但是，一方面，由于初中數(shù)學(xué)知識(shí)量畢竟有限，這三種思想的形成還有待學(xué)生在后繼學(xué)習(xí)中完成，

7、另一方面，這三種思想存在著有機(jī)的聯(lián)系，符號(hào)化是方程思想實(shí)現(xiàn)的基礎(chǔ)，而方程又可以看作是函數(shù)的特殊情況，方程方法也是研究函數(shù)的有力工具。因此，這里把這三種思想方法放在一起。 a、符號(hào)化思想符號(hào)既可以表示數(shù)，又可以表示量；既可以表示未知數(shù)，又可以表示已知數(shù)； 既可表示常量，又可表示變量，還可以用符號(hào)表示運(yùn)算、表示關(guān)系、表示語句、表示圖形。如新教材第三章 字母表示數(shù)中的“ 擺火柴棒”的實(shí)驗(yàn)， 就蘊(yùn)涵著用字母表示數(shù)的思想， 如能先讓學(xué)生在具體實(shí)驗(yàn)中計(jì)算一些具體的數(shù)值， 啟發(fā)學(xué)生歸納出字母表示數(shù)的思想，認(rèn)識(shí)到字母表示數(shù)具有問題的一般性， 就便于問題的研究和解決，由此就可產(chǎn)生從算術(shù)到代數(shù)的認(rèn)識(shí)飛躍。學(xué)生領(lǐng)會(huì)

8、了用字母表示數(shù)的思想就可順利地進(jìn)行以下內(nèi)容的教學(xué)：（1） 用字母表示問題（ 代數(shù)式模仿、列代數(shù)式） ；（2） 用字母表示規(guī)律（ 運(yùn)算定律、計(jì)算公式、認(rèn)識(shí)數(shù)式通性的思想） ；（3） 用字母表示數(shù)來解題（ 適應(yīng)字母式問題的能力）。 b、 方程思想方程思想就是把問題轉(zhuǎn)化為利用方程或方程組求解。運(yùn)用方程思想解題在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中均有廣泛的應(yīng)用。方程、函數(shù)、不等式關(guān)系緊密，是初中階段數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容和考查熱點(diǎn)，尤其是二次函數(shù)與二次方程。不等式反映的是不等量的關(guān)系，往往也用等量關(guān)系(函數(shù)、方程)去解決問題。在中考中，用方程思想求解的題目隨處可見。同時(shí)，方程思想也是解幾何計(jì)算題的重要策略。 c、 函數(shù)

9、思想世界上一切事物都是處在運(yùn)動(dòng)、變化和發(fā)展的過程中，這就要求我們教學(xué)中重視函數(shù)的思想方法的教學(xué)。雖然函數(shù)知識(shí)安排在初三學(xué)習(xí)但函數(shù)思想已經(jīng)滲透到初一、二教材的各個(gè)內(nèi)容之中。因此，教學(xué)上要有意識(shí)、有計(jì)劃、有目的地培養(yǎng)函思想方法。讓學(xué)生逐漸形成以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)去觀察事物，并借助函數(shù)關(guān)系思考解決問題。 3、數(shù)形結(jié)合思想 “數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)教學(xué)中既有區(qū)別又有聯(lián)系的兩個(gè)對(duì)象。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，突出數(shù)形結(jié)合思想，有利于學(xué)生從不同的側(cè)面加深對(duì)問題的認(rèn)識(shí)和理解，提供解決問題的方法，也有利于培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力。例如初中代數(shù)中，正是借助于數(shù)形結(jié)合的載體-數(shù)軸，介紹數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，相反數(shù)，絕對(duì)值的定義

10、，有理數(shù)大小比較的法則等，大大減少了學(xué)生學(xué)習(xí)這些知識(shí)的難度，因此數(shù)形結(jié)合的思想教學(xué)應(yīng)貫穿于整個(gè)教學(xué)的始終。 “數(shù)”與“形”是同一個(gè)事物的兩個(gè)方面，以形判數(shù)，以數(shù)論形的思想方法就是數(shù)形結(jié)合法。數(shù)量問題有時(shí)借助于圖形可以很直觀地解決，反之，圖形問題有時(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)量問題可以很方便的解答。有些同學(xué)重視定理、公式的計(jì)算，可是不重視數(shù)形的結(jié)合，因此，學(xué)不好數(shù)學(xué)。曲線、圖象等是研究方程、函數(shù)的手段，給人以深刻的感性認(rèn)識(shí)，有些難于計(jì)算或計(jì)算繁雜的題目只要畫一下圖形就一目了然，完全可以避免計(jì)算或減少計(jì)算量，尤其對(duì)于那些不要求運(yùn)算過程的標(biāo)準(zhǔn)化題目更為適用。指導(dǎo)學(xué)生要想到數(shù)形結(jié)合的方法，更重要的是如何恰當(dāng)?shù)剡x用圖形解

11、決問題，不然就事倍功半。例 若x、y為正實(shí)數(shù)，且的最小值是多少?解析：若能考慮到是以x、l為直角邊的直角三角形斜邊的長(zhǎng)，是以y、2為直角邊的直角三角形斜邊的長(zhǎng)，那么上述問題就變成了求兩條線段和的最值問題。如圖，線段AB=4。P為AB上一動(dòng)點(diǎn)。設(shè)PA=x，PB=y。 A B為垂足，且CA= 1 ，BD=2，則PC+PD=+。易知當(dāng)點(diǎn)P，C，D在同一條直線上時(shí)，PC+PD最小。作CE垂直DB的延長(zhǎng)線于E。，易知EC =4 ED =2十1 =3，故PC十PD =DC = =5 故最小值為5。評(píng)析：此題難在對(duì)形如的式子的理解， 表示以正數(shù)a，b為直角邊的直角三角形的斜邊，看到這個(gè)式子應(yīng)立刻在頭腦中產(chǎn)生

12、這個(gè)直角三角形，這當(dāng)然需要經(jīng)驗(yàn)的積累。有了這個(gè)直角三角形，解決問題便有了思路。4、分類討論思想嚴(yán)格說，“分類討論思想”不是數(shù)學(xué)所特有的，是自然科學(xué)乃至社會(huì)科學(xué)研究中都用到的基本邏輯方法，由于它在數(shù)學(xué)中的重要性，這里把它作為數(shù)學(xué)思想方法提出來。初中數(shù)學(xué)中實(shí)數(shù)的分類、三角形的分類、方程的分類等等，都體現(xiàn)了這一思想。啟發(fā)學(xué)生按不同的情況去對(duì)同一對(duì)象進(jìn)行分類，幫助他們掌握好分類的方法原則，形成分類的思想。從具體的教法上看，如對(duì)初一有理數(shù)的加法教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、探究，將有理數(shù)的加法分為三類進(jìn)行研究，正確歸納出有理數(shù)加法法則，這樣學(xué)生不僅掌握了具體的“法則”，而且對(duì)“分類”有了深刻的認(rèn)識(shí)，那么在

13、較為復(fù)雜的情況下，利用掌握好的分類的思想方法，正確地確定標(biāo)準(zhǔn)，不重不漏地進(jìn)行分類，從而使看問題更加全面。當(dāng)數(shù)量大小不確定，或圖形的位置、形狀不確定時(shí)，常?？梢赃\(yùn)用分類討論的思想來分析解決。在進(jìn)行分類討論時(shí)，我們必須遵循以下原則：1、分類原則不重復(fù)、不遺漏。由于學(xué)生在思考問題時(shí)有時(shí)帶有片面性或缺乏條理性，所以在解決問題過程中，往往違背這個(gè)原則。實(shí)際上，在教材中定理證明、例題、習(xí)題中都采用了分類思想，只要同學(xué)們認(rèn)真鉆研教材，多思考，并注意解題后的回顧與總結(jié)，在分類時(shí)就會(huì)做到不重、不漏。2、對(duì)復(fù)雜問題采用多級(jí)分類的方法討論，對(duì)一個(gè)復(fù)雜的問題有時(shí)進(jìn)行一級(jí)分類，很難將問題討論清楚，這時(shí)需要對(duì)其中一類或幾

14、類再進(jìn)行分類，即多級(jí)分類。多級(jí)分類是一個(gè)難點(diǎn)，應(yīng)注意：(1)每一級(jí)分類一定要把握好分類標(biāo)準(zhǔn)。(2)每一級(jí)里,要始終如一地按一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)討論，同時(shí)每一級(jí)都要以“不重不漏”為原則。例：解關(guān)于x的方程：a-bx=4-3x分析：應(yīng)根據(jù)除數(shù)不能為零進(jìn)行分類討論，同時(shí)，涉及a、b兩個(gè)字母，需進(jìn)行兩級(jí)分類討論。解：a-bx=4-3x可整理為(b-3)x=a-4(1)當(dāng)b3時(shí)，方程有唯一解x=(2)當(dāng)b=3時(shí)，有兩種情況：a=4時(shí)，原方程的解是一切實(shí)數(shù),a4時(shí),原方程無解。5、整體思想所謂整體思想，就是把所考察的對(duì)象，作為一個(gè)整體來對(duì)待，而這個(gè)整體是各要素按一定的思路組合成的有機(jī)統(tǒng)一體。從整體上去認(rèn)識(shí)問題，思考問

15、題，是一種重要的思想方法，當(dāng)然，這并不排斥把事物分解的重要性。在初中數(shù)學(xué)中，這種整體思想的例子不少，是一種相當(dāng)重要的解題思想與策略。例 ： 在一條平直公路的甲乙兩端，分別有A，B兩輛車同時(shí)勻速相向開出，在離甲端80km處兩車相遇，相遇后各自繼續(xù)駛向前方，到終端后又立即返回，結(jié)果在離乙端60km處兩車又迎面相遇，求甲乙兩點(diǎn)間公路的長(zhǎng)。 分析：若用方程思想，所設(shè)的物理量較多，方程不好解。若將A，B兩車的運(yùn)動(dòng)過程視為一個(gè)整體 如圖1所示，第一次相遇時(shí)，A，B兩車行駛的路程之和為一個(gè)全程，其中A車行駛了80km。到第二次相遇時(shí)，A，B兩車行駛的路程之和為三個(gè)全程，因兩車都勻速行駛，不難推出，此時(shí)A車應(yīng)

16、行駛了3 × 80 = 240km。又由圖看出，A車實(shí)際行駛了一個(gè)全程加60km，故有 s+60=240km， s=180km。面對(duì)紛繁復(fù)雜的過程，有時(shí)不必考慮細(xì)節(jié)，而是將若干個(gè)過程視為整體，通盤考慮，定能化繁為簡(jiǎn)。6、此外還有空間思想、對(duì)應(yīng)思想、概率思想等，不勝枚舉。 空間思想：如初一教材第一章 豐富的圖形世界 就需要學(xué)生通過不斷的觀察，在展開與折疊、切截等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中， 認(rèn)識(shí)常見的基本幾何體及點(diǎn)、線、面等簡(jiǎn)單的平面圖形，形成一定的空間思想，提高學(xué)生空間思維能力。在實(shí)際教學(xué)中， 我充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，給予足夠的空間和時(shí)間， 通過每個(gè)學(xué)生自己的動(dòng)手操作去體會(huì)新教材所安排的內(nèi)容

17、，發(fā)現(xiàn)新的問題。如在“面動(dòng)成體”這一知識(shí)點(diǎn)上，我讓學(xué)生去觀察、思考“面動(dòng)成體”的實(shí)例，并在課堂上充分發(fā)言進(jìn)行討論，有的學(xué)生提到了“某些高檔賓館的旋轉(zhuǎn)大門，面動(dòng)起來就成為圓柱體”?？臻g思想不同于數(shù)形結(jié)合思想，數(shù)形結(jié)合強(qiáng)調(diào)的是代數(shù)與幾何之間的打通，而空間思想強(qiáng)調(diào)的是對(duì)空間點(diǎn)、線、面關(guān)系的直覺。初中幾何教材主要注重學(xué)生兩方面能力的培養(yǎng)：一是邏輯推理能力，二是空間想象能力。對(duì)應(yīng)思想：對(duì)應(yīng)本質(zhì)上反映了兩個(gè)集合的元素與元素之間某種關(guān)系，當(dāng)兩個(gè)集合建立了某種對(duì)應(yīng)時(shí)，這兩個(gè)集合的元素和元素之間就發(fā)生了某種關(guān)系，運(yùn)用兩個(gè)集合元素和元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系來處理數(shù)學(xué)問題的思想就是對(duì)應(yīng)思想。對(duì)應(yīng)思想在初一教材中最典型的例子就是實(shí)數(shù)集與數(shù)軸上的點(diǎn)集的對(duì)應(yīng)。函數(shù)和一元一次不等式（組）等章節(jié)中都存在著對(duì)應(yīng)思想， 如研究一元一次不等式解法可通過與一元一次方程解法對(duì)比