專題8排列組合二項(xiàng)式定理

1、專題8 排列組合二項(xiàng)式定理 0417打印排列組合二項(xiàng)定理 知識要點(diǎn)一、兩個(gè)原理.1. 乘法原理、加法原理.2. 可以有重復(fù)元素的排列.從m個(gè)不同元素中，每次取出n個(gè)元素，元素可以重復(fù)出現(xiàn)，按照一定的順序排成一排，那么第一、第二第n位上選取元素的方法都是m個(gè)，所以從m個(gè)不同元素中，每次取出n個(gè)元素可重復(fù)排列數(shù)m·m· m = mn. 例如：n件物品放入m個(gè)抽屜中，不限放法，共有多少種不同放法？ （解：種）二、排列.1. 對排列定義的理解.定義：從n個(gè)不同的元素中任取m(mn)個(gè)元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.相同排列.如果；兩個(gè)排列相同

2、，不僅這兩個(gè)排列的元素必須完全相同，而且排列的順序也必須完全相同.排列數(shù).從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素排成一列，稱為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列. 從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列數(shù)，用符號表示.排列數(shù)公式： 注意： 規(guī)定0! = 1 規(guī)定2. 含有可重元素的排列問題.對含有相同元素求排列個(gè)數(shù)的方法是：設(shè)重集S有k個(gè)不同元素a1，a2,.an其中限重復(fù)數(shù)為n1、n2nk，且n = n1+n2+nk , 則S的排列個(gè)數(shù)等于. 例如：已知數(shù)字3、2、2，求其排列個(gè)數(shù)又例如：數(shù)字5、5、5、求其排列個(gè)數(shù)？其排列個(gè)數(shù). 三、組合.1. 組合：從n個(gè)不同的元素中任取m(mn)個(gè)元

3、素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.組合數(shù)公式：兩個(gè)公式： 從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素后就剩下n-m個(gè)元素，因此從n個(gè)不同元素中取出 n-m個(gè)元素的方法是一一對應(yīng)的，因此是一樣多的就是說從n個(gè)不同元素中取出n-m個(gè)元素的唯一的一個(gè)組合.（或者從n+1個(gè)編號不同的小球中，n個(gè)白球一個(gè)紅球，任取m個(gè)不同小球其不同選法，分二類，一類是含紅球選法有一類是不含紅球的選法有）根據(jù)組合定義與加法原理得；在確定n+1個(gè)不同元素中取m個(gè)元素方法時(shí)，對于某一元素，只存在取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的n個(gè)元素中再取m-1個(gè)元素，所以有C，如果不取這一元素，則需從剩余n個(gè)元素中取

4、出m個(gè)元素，所以共有C種，依分類原理有. 排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別.聯(lián)系：都是從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素.區(qū)別：前者是“排成一排”，后者是“并成一組”，前者有順序關(guān)系，后者無順序關(guān)系.幾個(gè)常用組合數(shù)公式Cm+n+1m+1=Cnm+Cm+1m常用的證明組合等式方法例.i. 裂項(xiàng)求和法. 如：（利用）ii. 導(dǎo)數(shù)法. iii. 數(shù)學(xué)歸納法. iv. 倒序求和法.v. 遞推法（即用遞推）如：.vi. 構(gòu)造二項(xiàng)式. 如： 證明：這里構(gòu)造二項(xiàng)式其中的系數(shù)，左邊為，而右邊四、排列、組合綜合.1. I. 排列、組合問題幾大解題方法及題型：直接法. 排除法.捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個(gè)相關(guān)元素當(dāng)作一個(gè)元

5、素來考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列.它主要用于解決“元素相鄰問題”，例如，一般地，n個(gè)不同元素排成一列，要求其中某個(gè)元素必相鄰的排列有個(gè).其中是一個(gè)“整體排列”，而則是“局部排列”.又例如有n個(gè)不同座位，A、B兩個(gè)不能相鄰，則有排列法種數(shù)為An-nAn-1n-1. A22 有n件不同商品，若其中A、B排在一起有.有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有.注：區(qū)別在于是確定的座位，有種；而的商品地位相同，是從n件不同商品任取的2個(gè)，有不確定性.插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元素不相鄰問題”.例如：n個(gè)元素全排列，其中m個(gè)元素互

6、不相鄰，不同的排法種數(shù)為多少？（插空法），當(dāng)n m+1m, 即m時(shí)有意義.占位法：從元素的特殊性上講，對問題中的特殊元素應(yīng)優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對問題中的特殊位置應(yīng)優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解題原則.調(diào)序法：當(dāng)某些元素次序一定時(shí)，可用此法.解題方法是：先將n個(gè)元素進(jìn)行全排列有種，個(gè)元素的全排列有種，由于要求m個(gè)元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到去調(diào)序的作用，即若n個(gè)元素排成一列，其中m個(gè)元素次序一定，共有種排列方法.例如：n個(gè)元素全排列，其中m個(gè)元素順序不變，共有多少種不同的排法？解法一：（逐步插空法）（m+1

7、）（m+2）n = n！/ m?。唤夥ǘ海ū壤峙浞ǎ?平均法：若把kn個(gè)不同元素平均分成k組，每組n個(gè)，共有.例如：從1，2，3，4中任取2個(gè)元素將其平均分成2組有幾種分法？有（平均分組就用不著管組與組之間的順序問題了）又例如將200名運(yùn)動(dòng)員平均分成兩組，其中兩名種子選手必在一組的概率是多少？（）注意：分組與插空綜合. 例如：n個(gè)元素全排列，其中某m個(gè)元素互不相鄰且順序不變，共有多少種排法？有，當(dāng)n m+1 m, 即m時(shí)有意義.隔板法：常用于解正整數(shù)解組數(shù)的問題.例如：的正整數(shù)解的組數(shù)就可建立組合模型將12個(gè)完全相同的球排成一列，在它們之間形成11個(gè)空隙中任選三個(gè)插入3塊摸板，把球分成4個(gè)

8、組.每一種方法所得球的數(shù)目依次為顯然，故（）是方程的一組解.反之，方程的任何一組解，對應(yīng)著惟一的一種在12個(gè)球之間插入隔板的方式（如圖 所示）故方程的解和插板的方法一一對應(yīng). 即方程的解的組數(shù)等于插隔板的方法數(shù).注意：若為非負(fù)數(shù)解的x個(gè)數(shù)，即用中等于，有，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求a的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為 .定位問題：從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列規(guī)定某r個(gè)元素都包含在內(nèi)，并且都排在某r個(gè)指定位置則有.例如：從n個(gè)不同元素中，每次取出m個(gè)元素的排列，其中某個(gè)元素必須固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少種排法？固定在某一位置上：；不在某一位置上：或（一類是不取出特殊元素a，有，一類是取特殊元素a，

9、有從m-1個(gè)位置取一個(gè)位置，然后再從n-1個(gè)元素中取m-1，這與用插空法解決是一樣的）指定元素排列組合問題. i. 從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同的元素作排列（或組合），規(guī)定某r個(gè)元素都包含在內(nèi) 。先C后A策略，排列；組合.ii. 從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列（或組合），規(guī)定某r個(gè)元素都不包含在內(nèi)。先C后A策略，排列；組合.iii 從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列（或組合），規(guī)定每個(gè)排列（或組合）都只包含某r個(gè)元素中的s個(gè)元素。先C后A策略，排列；組合. II. 排列組合常見解題策略：特殊元素優(yōu)先安排策略；合理分類與準(zhǔn)確分步策略；排列、組合混合問題先選后排的策略（處理

10、排列組合綜合性問題一般是先選元素，后排列）；正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化策略；相鄰問題插空處理策略；不相鄰問題插空處理策略；定序問題除法處理策略；分排問題直排處理的策略；“小集團(tuán)”排列問題中先整體后局部的策略；構(gòu)造模型的策略.2. 組合問題中分組問題和分配問題.均勻不編號分組：將n個(gè)不同元素分成不編號的m組，假定其中r組元素個(gè)數(shù)相等，不管是否分盡，其分法種數(shù)為（其中A為非均勻不編號分組中分法數(shù)）.如果再有K組均勻分組應(yīng)再除以.(我以列說明：6本書平均分給3個(gè)人，只需在6本書里任意分成3份后分給三人。而6本書分給甲乙丙三人，除從6本書取出后，還要排列就是均勻編號分組.6本書安3，2，1，本分給三人就是非均

11、勻不編號分組這三人是任意不排列的)例：10人分成三組，各組元素個(gè)數(shù)為2、4、4，其分法種數(shù)為.若分成六組，各組人數(shù)分別為1、1、2、2、2、2，其分法種數(shù)為非均勻編號分組: n個(gè)不同元素分組，各組元素?cái)?shù)目均不相等，且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為例：10人分成三組，各組人數(shù)分別為2、3、5，去參加不同的勞動(dòng)，其安排方法為：種.若從10人中選9人分成三組，人數(shù)分別為2、3、4，參加不同的勞動(dòng)，則安排方法有種均勻編號分組：n個(gè)不同元素分成m組，其中r組元素個(gè)數(shù)相同且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為.例：10人分成三組，人數(shù)分別為2、4、4，參加三種不同勞動(dòng)，分法種數(shù)為 非均勻不編號分組：將n個(gè)不同元

12、素分成不編號的m組，每組元素?cái)?shù)目均不相同，且不考慮各組間順序，不管是否分盡，其分法種數(shù)為例：10人分成三組，每組人數(shù)分別為2、3、5，其分法種數(shù)為若從10人中選出6人分成三組，各組人數(shù)分別為1、2、3，其分法種數(shù)為.五、二項(xiàng)式定理.1. 二項(xiàng)式定理：.展開式具有以下特點(diǎn)： 項(xiàng)數(shù)：共有項(xiàng)； 系數(shù)：依次為組合數(shù) 每一項(xiàng)的次數(shù)是一樣的，即為n次，展開式依a的降幕排列，b的升幕排列展開.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng).展開式中的第項(xiàng)為：.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).在二項(xiàng)展開式中與首未兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等；二項(xiàng)展開式的中間項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大.I. 當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間項(xiàng)是第項(xiàng)，它的二項(xiàng)式系數(shù)最大；II. 當(dāng)n是奇

13、數(shù)時(shí)，中間項(xiàng)為兩項(xiàng)，即第項(xiàng)和第項(xiàng)，它們的二項(xiàng)式系數(shù)最大.系數(shù)和： 附：一般來說為常數(shù)）在求系數(shù)最大的項(xiàng)或最小的項(xiàng)時(shí)均可直接根據(jù)性質(zhì)二求解. 當(dāng)時(shí)，一般采用解不等式組的系數(shù)或系數(shù)的絕對值）的辦法來求解.如何來求展開式中含的系數(shù)呢？其中且把視為二項(xiàng)式，先找出含有的項(xiàng)，另一方面在中含有的項(xiàng)為，故在中含的項(xiàng)為.其系數(shù)為.高考提高練習(xí)：在二項(xiàng)式的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是( ) A B C D 答案 B 解析 對于，對于，則的項(xiàng)的系數(shù)是若為有理數(shù)），則 （ ） A45 B55 C70 D80答案 C解析 本題主要考查二項(xiàng)式定理及其展開式. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算的考查. ， 由已知，得，.故選C.若,則的

14、值為 A. 2B.0 C. D. 答案 C 解析 由題意容易發(fā)現(xiàn),則, 同理可以得出,亦即前2008項(xiàng)和為0, 則原式= 故選C.的展開式的常數(shù)項(xiàng)是 （用數(shù)字作答） 答案 20解析 ，令，得 故展開式的常數(shù)項(xiàng)為在的展開式中，的系數(shù)為_7_(用數(shù)字作答)答案 7 解析 由條件易知展開式中項(xiàng)的系數(shù)分別是，即所求系數(shù)是）的展開式中的系數(shù)為 6 。解：，只需求展開式中的含項(xiàng)的系數(shù)： 高考解答題集錦第二期（1） 立體幾何（1）（本小題滿分14分） 如圖，在直三棱柱中，、分別是、的中 點(diǎn)，點(diǎn)在上，。 求證：（1）EF平面ABC； （2）平面平面.【解析】 本小題主要考查直線與平面、平面與平面得位置關(guān)系，考

15、查空間想象能力、推理論證能力。滿分14分。（2）（本小題滿分14分）如圖6，已知正方體的棱長為2，點(diǎn)是正方形的中心，點(diǎn)、分別是棱的中點(diǎn)設(shè)點(diǎn)分別是點(diǎn)，在平面內(nèi)的正投影（1）求以為頂點(diǎn)，以四邊形在平面內(nèi)的正投影為底面邊界的棱錐的體積；（2）證明：直線平面；（3）求異面直線所成角的正弦值.解：（1）依題作點(diǎn)、在平面內(nèi)的正投影、，則、分別為、的中點(diǎn)，連結(jié)、，則所求為四棱錐的體積，其底面面積為 ，又面，.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別作軸，軸，軸，得、，又，則，即，又，平面.（3），則，設(shè)異面直線所成角為，則.（本題滿分15分）如圖，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，分別為，的中點(diǎn)， （I）設(shè)是

16、的中點(diǎn)，證明：平面； （II）證明：在內(nèi)存在一點(diǎn)，使平面，并求點(diǎn)到，的距離證明：（I）如圖，連結(jié)OP，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B、OC、OP所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系O， 則，由題意得，因，因此平面BOE的法向量為，得，又直線不在平面內(nèi)，因此有平面（II）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則，因?yàn)槠矫鍮OE，所以有，因此有，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為，在平面直角坐標(biāo)系中，的內(nèi)部區(qū)域滿足不等式組，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足上述不等式組，所以在內(nèi)存在一點(diǎn)，使平面，由點(diǎn)M的坐標(biāo)得點(diǎn)到，的距離為 在數(shù)列中，（I）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式（II）求數(shù)列的前項(xiàng)和分析：（I）由已知有利用累差迭加即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式: ()（II）由（I）知,=而,又是一個(gè)典型的錯(cuò)位相減法模型，易得 =評析：本題考查構(gòu)造新數(shù)列和利用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和，一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和一線教師重視教材和