函數(shù)圖像及其變換解讀.

1、函數(shù)圖像及其變換上海師范大學(xué)附屬外國語中學(xué)李慶兵函數(shù)是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，高中階段對函數(shù)性質(zhì)的研究往往是通過研究函數(shù)圖像及其變換得到的，所以函數(shù)圖像及其變換也就成為高考的固定考點(diǎn)。歷年高考考試大綱中都明確要求，學(xué)生要“會運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì)”，并且與前幾年比較可以發(fā)現(xiàn)，近幾年高考對于函數(shù)圖像方面的考查已經(jīng)不再局限于對幾個(gè)常見函數(shù)本身的單一的考查，而是結(jié)合函數(shù)的運(yùn)算，更為深刻地考查函數(shù)與函數(shù)、函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式、函數(shù)與其他學(xué)科或現(xiàn)實(shí)生活等方面的聯(lián)系。這就要求我們不僅要熟練掌握一些基本函數(shù)的圖像特征及函數(shù)圖像變換的幾種常見方法，而且要會靈活運(yùn)用。下面筆者就結(jié)合近幾年的一些高

2、考試題，談一些函數(shù)圖像及其變換和應(yīng)用方面的問題，希望能引起正在忙于備考的高三教師和學(xué)子們的重視，并給他們帶來一些啟發(fā)。（一）平移變換及其應(yīng)用：函數(shù)yf ( xx0 )y0 的圖像可以看作是由函數(shù)yf ( x) 的圖像先向左(x0 0）或向右（ x0 0）平移 | x0 | 個(gè)單位，再向上( y0 0）或向下（ y0 0）平移 | y0| 個(gè)單位得到。如：例 1、（ 2008 上海理11）方程 x 22x10的解可視為函數(shù)y x2 的圖象與函數(shù) y1的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。若方程 x 4ax40 的各個(gè)實(shí)根 x1 , x2 , , xk ( xk4) 所x對應(yīng)的點(diǎn) ( xi , 4 )(i 1,2,

3、 k) 均在直線 yx 的同側(cè)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是。xiyyyx3yxPyxCBy4xx0ABA Q0x（圖一）（圖二）分析：由題意，方程 x4ax4 0 的解可視為函數(shù) y x3a 的圖象與函數(shù)y4的x圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。 這些交點(diǎn)可以看作是由函數(shù) yx3 的圖象經(jīng)過上下平移得到，由圖（ 1）可知，函數(shù) y x 3 與函數(shù) y4的圖象分別交于點(diǎn)P、Q，且點(diǎn) P 在直線上方，點(diǎn)Q 在直x線 下 方 ， 要 使 得 方 程 x 4ax4 0 的 各 個(gè) 實(shí) 根 x1, x2 , , xk ( xk4) 所對應(yīng)的點(diǎn)( xi ,4 )(i1,2, , k) 均在直線 yx 的同側(cè)， 只須將函數(shù)

4、yx3圖像上下平移， 將點(diǎn) Q 移xi至函數(shù) y4x 交點(diǎn) A ( 2, 2) 左側(cè)或?qū)Ⅻc(diǎn)P 移至函數(shù) y4圖像與直線 y圖像與直線xxyx 交點(diǎn) B ( 2,2) 右側(cè)即可。將點(diǎn)A 與點(diǎn) B 坐標(biāo)分別代入方程y x3a 解得 a 6 或a 6 。從而可得實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 a 6 或 a 6。（二）伸縮變換及其應(yīng)用：函數(shù) yaf (bx) 的圖像可以看作是由函數(shù) yf (x) 的圖像先將橫坐標(biāo)伸長 (| b | 1）或縮短 (| b | 1）到原來的1 倍，再把縱坐標(biāo)伸長(| a | 1）或縮短 (| a | 1）到原來的 | a | b |倍即可得到。如：例 2（、2008 上海文 1

5、1）在平面直角坐標(biāo)系中， 點(diǎn) A, B,C 的坐標(biāo)分別為 (0,1), (4,2),( 2,6)。如果 P( x, y) 是 ABC 圍成的區(qū)域（含邊界）上的點(diǎn)，那么當(dāng)xy 取得最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是。分析：由xy 變形可得 y，則問題可轉(zhuǎn)化為當(dāng)函數(shù) y的圖象與 ABC 圍xx成的區(qū)域 （含邊界） 有公共點(diǎn)時(shí)求的最大值的問題。 由函數(shù)圖像伸縮變換的規(guī)律可知，的值越大，則函數(shù)y圖象上點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)越大，即圖像整體越向上移動，由此可以判x定，當(dāng)取得最大值時(shí)，函數(shù) y的圖象與 ABC 的邊 BC 相切或過經(jīng)點(diǎn) C。下面求點(diǎn)xP 的坐標(biāo)。法一：由線段 BC 與函數(shù)的解析式聯(lián)立方程組可得y,消去 y 得x

6、y2x 10(2 x4).方程 2x210x0 ，由判別式 =0 解得25，此時(shí) x5，從而得點(diǎn) P( 5,5) 。即222所求點(diǎn) P 的坐標(biāo)是 P(5 ,5) 。2法二：線段 BC 的方程為： 2xy 10( 0x 4) ，則xy12x y1 ( 2xy) 2 25，當(dāng)且僅當(dāng) 2xy5 ，即 x5 , y 5. 所22222以所求點(diǎn) P 的坐標(biāo)是 P( 5 ,5) 。2（三）對稱變換：函數(shù)當(dāng)中， 圖像關(guān)于某點(diǎn)或某條直線對稱的情況較多， 除函數(shù)的奇偶性、 互為反函數(shù)的兩函數(shù)與對稱性有關(guān)之外，還經(jīng)常會出現(xiàn)其他一些情況，這就需要我們能夠掌握“以點(diǎn)代線”的數(shù)學(xué)方法對具體情況進(jìn)行分析。常見情況有以下幾

7、種。1、關(guān)于特殊直線的軸對稱變換：y f ( x)y軸yf（x）；yf (x)x軸yf（）；yf ( x)y xx（兩者互為反函數(shù)） ；xf（y）yf ( x)原點(diǎn)（ ，）yf（x）2、關(guān)于特殊點(diǎn)的對稱變換：0 0；3、局部對稱變換：yf (x)y f（ | x |）(偶函數(shù)），yf (x)y | f（ x）| ；注：以上為兩個(gè)函數(shù)圖像之間的關(guān)系。4、自身對稱變換：若函數(shù)y=f （x）滿足f ( x)f ( 2ax)或f（ ax）f（ax），則函數(shù)y=f （x）的圖像關(guān)于直線x=a對稱。特別地，當(dāng)a0 時(shí)，函數(shù)f (x) 為偶函數(shù)。若函數(shù)y=f （ x）滿足f (x)f (x) ，則函數(shù)y=f

8、 （ x）的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱。即函數(shù)f ( x) 為奇函數(shù)。例 3、（2005| lg | x1 |,x1上海理 16）設(shè)定義域?yàn)?R 的函數(shù) f ( x)1, 則關(guān)于 x 的方0, x程2xbfxc0 有 7 個(gè)不同實(shí)數(shù)解的充要條件是（f）( )( )A 、 b 0 且 c 0B、 b 0 且 c 0C、 b 0 且 c 0D 、 b0 且 c 0 。yx 1yy | lg | x1 |( x1)y | lg | x1| (x 1)2yb20cc2x02x2（圖三 ）（圖四）分析：函數(shù)位，得到函數(shù) yy| lg | x1 | (x1) 的圖像是由函數(shù)lg | x1 | ( x1) 的圖

9、像， 再將函數(shù)yylg | x |的圖像先向右平移一個(gè)單lg | x1| ( x1) 的圖像位于x 軸上方部分保持不變， 下方的部分關(guān)于x 軸通過局部對稱得到。又因?yàn)?f (1)0 ，所以由（圖三）可知，函數(shù)f ( x) 圖像與 x 軸有三個(gè)公共點(diǎn)。方 程2( )()0 中 ， 若 b 0 且 c2fbfc0，則由f ( x)bf ( x) 0可 得xxf ( x) 0 或 f (x)b 。結(jié)合函數(shù)f ( x) 圖像易知，方程f( x) 0 有三個(gè)不同的解，方程f ( x)b 有四個(gè)不同的解，即方程f 2 ( x) bf ( x)c0有 7 個(gè)不同實(shí)數(shù)解。所以選C。值得一提的是， 在高考當(dāng)中，

10、對函數(shù)圖像的考查，并不一定考查某一單一的變換，有時(shí)可能是幾種變換同時(shí)考查。如：例 4、（ 2003上海理16） f ( x) 是定義在區(qū)間 c, c 上的奇函數(shù)，其圖像如圖（四），令g( x) af (x)b ，則下列關(guān)于函數(shù)g( x) 的敘述正確的是（）（A ）若 a 0，則函數(shù) g ( x) 的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱；（B ）若a1， 0b 2，則方程g ( x)0 有大于2 的實(shí)根；（C）若a2， b=0，則函數(shù)g( x)的圖像關(guān)于y 軸對稱；（D ）若a0 ， b=2，則方程g( x)0 有3 個(gè)實(shí)根。分析：由圖（2）知f (00) ，若b 0，則g (0)b0，此時(shí)g( x) 的圖像不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以A 選擇支不符合題意。當(dāng)a1時(shí)，g ( x)的圖像可由f ( x) 的圖像關(guān)于x 軸對稱，再向下平移| b |個(gè)單位得到。此時(shí)g(2)f ( 2)bb 0，而g (c)f (c)b ，f (c)f (c) 2，而b 2，g (c)0。所以，方程g (x)0 在（ 2， c）內(nèi)必有實(shí)根，所以B 選擇支正確，故選B。當(dāng) | a | 1 且b=2 時(shí)，方程g (x)0 至多有一個(gè)實(shí)根，所以C 選擇支不符合題意。又當(dāng)b 2 時(shí)，方程g（x） =0 的實(shí)根少于三個(gè)，所以D 選擇支也不符合題意。（四）旋轉(zhuǎn)變換：圖像的旋轉(zhuǎn)變換可借助三角形的全等，