初二數(shù)學(xué)解題技巧

1、全等三角形問(wèn)題中常見(jiàn)的輔助線(xiàn)的作法常見(jiàn)輔助線(xiàn)的作法有以下幾種：1) 遇到三角形的 中線(xiàn)，倍長(zhǎng)中線(xiàn)， 使延長(zhǎng)線(xiàn)段與原中線(xiàn)長(zhǎng)相等， 構(gòu)造全等三角形， 利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”2)截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線(xiàn)段上截取一條線(xiàn)段與特定線(xiàn)段相等，或是將某條線(xiàn)段延長(zhǎng)，是之與特定線(xiàn)段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明這種作法適合于證明線(xiàn)段的 和、差、倍、分 等類(lèi)的題目3) 遇到等腰三角形 ，可作 底邊上的高 ，利用“ 三線(xiàn)合一 ”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折” 4)遇到角平分線(xiàn)，可以自角平分線(xiàn)上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線(xiàn)， 利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)

2、點(diǎn)常常是角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理或逆定理5) 過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線(xiàn)， 構(gòu)造全等三角形， 利用的思維模式是 全等變換中的 “平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”特殊方法： 在求有關(guān)三角形的定值一類(lèi)的問(wèn)題時(shí)， 常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線(xiàn)段連接起來(lái)，利用三角形面積的知識(shí)解答一、倍長(zhǎng)中線(xiàn)（線(xiàn)段）造全等A例 1.已知：如圖 3 所示， AD 為 ABC 的中線(xiàn)，D求證： AB+AC>2AD。BC分析：要證 AB+AC>2AD ，由圖形想到： AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有： AB+AC+ BD+CD > AD +AD=2AD，E圖3但它的左邊比要證結(jié)論多BD+CD ，故不能

3、直接證出此題，而由2AD 想到要構(gòu)造 2AD ，即加倍中線(xiàn)，把所要證的線(xiàn)段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去。證明：延長(zhǎng) AD 至 E，使 DE=AD ，連接 BE， CE。ABDEC3圖例 3、如圖， ABC中， BD=DC=AC， E 是 DC的中點(diǎn)，求證： AD平分 BAE.因?yàn)?BD=DC=AC ，所以 AC=1/2BC因?yàn)?E 是 DC 中點(diǎn)，所以 EC=1/2DC=1/2AC ACE= BCA ，所以 BCA ACE所以 ABC= CAE因?yàn)?DC=AC ，所以 ADC= DAC ADC= ABC+ BAD所以 ABC+ BAD= DAE+ CAE所以 BAD= DAE即 AD 平分 BAE應(yīng)

4、用：二、截長(zhǎng)補(bǔ)短例 1.已知：如圖1 所示，AD 為 ABC 的中線(xiàn)，且 1= 2, 3= 4。求證： BE+CF>EF 。分析：要證BE+CF>EF，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE，CF ，EF 移到同一個(gè)三角形中，而由已知 1= 2， 3= 4，可在角的兩邊截取相等的線(xiàn)段，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，把 EN ， FN ，EF 移到同個(gè)三角形中。證明：在DN上截取DN=DB，連接NE，NF。ANEF12 34BDC延長(zhǎng) FD 到 G , 使 DG=FD,再連結(jié) EG,BG圖 11、如圖，ABC 中， AB=2AC， AD平分BAC ，且 AD=BD，求證： CD AC證

5、明：取 AB 中點(diǎn) E，連接 DE AD=BD DE AB ，即 AED=90o 【等腰三角形三線(xiàn)合一】 AB=2AC AE=AC又 EAD= CAD 【AD 平分 BAC 】AD=AD AED ACD （SAS ） C=AED=90oCD ACACBD2、如圖， AC BD， EA,EB 分別平分 CAB, DBA， CD過(guò)點(diǎn) E，求證 ;AB AC+BD在 AB 上取點(diǎn) N , 使得 AN=AC CAE= EAN ,AE 為公共邊 ,所以三角形 CAE 全等三角形 EAN所以 ANE= ACE又AC平行BDAD所以 ACE+ BDE=180而 ANE+ ENB=180所以 ENB= BDE

6、E NBE= EBNBE 為公共邊 ,所以三角形 EBN 全等三角形 EBD 所以 BD=BN所以 AB=AN+BN=AC+BDBCABC 內(nèi)， BAC040 03、如圖，已知在60， C，P，Q分別在 BC，CA上，并且 AP，BQ分別是BAC ， ABC 的角平分線(xiàn)。求證：ABQ+AQ=AB+BP證明：做輔助線(xiàn) PMBQ，與 QC 相交與 M。（首先算清各角的度數(shù)）BQ APB=180° BAP ABP=180° 30° 80°=70°P且 APM=180° APB MPC=180° 70°QBC （同 位角相

7、等） =180°70° 40°=70° APB= APM又 AP 是 BAC 的角平分線(xiàn)， C BAP= MAPAP 是公共邊 ABP AMP( 角邊角） AB=AM ，BP=MP在 MPC 中， MCP= MPC=40° MP=MC AB+BP=AM+MP=AM+MC=AC在 QBC 中 QBC=QCB=40° BQ=QC BQ+AQ=AQ+QC=AC BQ+AQ=AB+BPA4、角平分線(xiàn) 如圖，在四邊形ABCD中，BC BA,AD CD，BD平分ABC ，D求證：AC1800延長(zhǎng) BA, 作 DF BA 的延長(zhǎng)線(xiàn)，作 DE BCB

8、C 1=2 DE=DF （角分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等）在 Rt DFA 與 Rt DEC 中 AD=DC,DF=DE RtDFA Rt DEC （HL) 3=C因?yàn)?4+3=180° 4+ C=180°即 A+C=180°?5、如圖在 ABC中， AB AC， 1 2， P 為 AD上任意一點(diǎn)，求證;AB-AC PB-PCA延長(zhǎng) AC 至 E，使 AE=AB ，連結(jié) PE 。然后證明一下 ABP AEP 得到 PB=PE 備用（角邊角證很容易吧12） PCE 中， EC>PE-PC EC=AE-AC ， AE=AB EC=AB-AC又 PB=PE PE-

9、PC=PB-PC AB-AC>PB-PCPBCD應(yīng)用：三、平移變換例 1 AD 為 ABC的角平分線(xiàn)，直線(xiàn) MN AD于 A.E 為 MN上一點(diǎn)， ABC周長(zhǎng)記為 PA ，EBC周長(zhǎng)記為 PB . 求證 PB PA .例 2 如圖，在 ABC的邊上取兩點(diǎn) D、 E，且 BD=CE，求證： AB+AC>AD+AE.ABDEC四、借助角平分線(xiàn)造全等1、如圖，已知在ABC中， B=60°， ABC的角平分線(xiàn)AD,CE相交于點(diǎn)O，求證： OE=OD在 AC 上取點(diǎn) F，使 AF=AEA AD 是角 A 的平分線(xiàn)EO角 EAO 角 FAE/BCD AO=AO三角形 AEO 與 AF

10、O 全等（兩邊夾角相等） EO=FO ，角 AOE 角 AOF CE 是角 C 的平分線(xiàn)角 DCO 角 FCO角 B60°角 A+ 角 C18060120°角 COD= 角 CAO 角 OCA 角 A/2 角 C/2 60 度角 OCF 180 角 AOF- 角 COD 180 60 60 60°角 OCF 角 COD OC=OC三角形 OCD 與 CFO 全等 （兩邊夾角相等） CF=CD AC=AF+CF AE+CD即： AE+CD=AC2、如圖， ABC中， AD平分 BAC， DG BC且平分 BC， DE AB于 E， DF AC于 F.（1）說(shuō)明 BE

11、=CF的理由；（ 2）如果 AB=a ， AC=b ，求 AE、 BE的長(zhǎng) .證明：連接 BD,CDDGBC 于 G 且平分 BC所以 GD 為 BC 垂直平分線(xiàn)垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)距離相等BD=CD角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊距離相等,AD 平分 BAC，DEAB 于 E，DFAC 的延長(zhǎng)于 F所以 DE=DF在 RT BED,RT CFD 中線(xiàn)AEDE=DFBD=CDRT BED RT CFD(HL)GBCFDBE=CF應(yīng)用：五、旋轉(zhuǎn)例 1 正方形 ABCD中， E 為 BC上的一點(diǎn)， F 為 CD上的一點(diǎn)， BE+DF=EF，求 EAF的度數(shù) .將三角形 ADF 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

12、90 度，至三角形 ABGA則 GE=GB+BE=DF+BE=EFD又 AE=AE ， AF=AG ，F(xiàn)所以三角形 AEF 全等于 AEG所以 EAF= GAE= BAE+ GAB= BAE+ DAF又 EAF+ BAE+ DAF=90BEC所以 EAF=45 度例 2 D 為等腰 Rt ABC 斜邊 AB 的中點(diǎn)， DMDN,DM,DN分別交 BC,CA 于點(diǎn) E,F 。（1）當(dāng) MDN 繞點(diǎn) D 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證 DE=DF。（2）若 AB=2，求四邊形 DECF的面積。B做 DPBC，垂足為 P，做 DQAC，垂足為 Q D 為中點(diǎn)，且 ABC 為等腰 RT ABCAE DP=DQ=?BC=?ACCMAF又 FDQ= PDE( 旋轉(zhuǎn)） DQF= DPE=90° DQF DPE SDQF=S DPE又 S 四邊形 DECF=S 四邊形 DFCP+S DPE S 四邊形 DECF=S 四邊形 DFCP+S DQF=?BC*?AC=?